高三小专题复习平面向量教师版_2012.5.doc

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1、|平面向量复习教师版 2012.5一、基础训练：1. 设 ,abc是单位向量，且 abc，则 aA的值为 122. 在 中， 在线段 上， ，则 . ABCDBC2,DmBnAC123. 已知向量 = ,0,|1,|,|ababab 满 足 则4. 在平行四边形 中，已知 ， ， ， 为A160DE的中点，则 CEB235. 已知向量 ，则向量 与向量(1,0)(1cos,sin) OAOA的夹角的取值范围是 B,32二、例题探析：例题 1：在ABC 中，已知 BC=2， ,则ABC 面积的最大值是 . 1ABC 2设 ，O 为坐标原点，动点 满足 ，(,)0,12OMN(,)Pxy01,01

2、OPMPON则 的最大值是 zyx32如图，在梯形 ABCD 中，DA=AB=BC= CD=1.点 P 在阴影区域（含边界）中运动，则 的取值范围是 . BDAP ,如图，线段 长度为 ，点 分别在 非负半轴和 非负半轴上滑动，2,ABxy以线段 为一边，在第一象限内作矩形 ， ， 为坐标原点，CD1O则 的取值范围是 . OCA1,3已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为 32PBA例题 2：已知 中，过重心 的直线交边 于 ，交边 于 ，设 的面积为 ，CGPACQP1S的面积为 ， ， ，则（）（） 的取值范围是 .2SAPpBQqCpq

3、12【解析】设 ， ， ， ，因为 是 的重心，故ab1a2AbGAB，又 ， ，因为 与1()3AGb ()3G 21PQbaPG|共线，所以 ，即 ，又 与 不共线，所以PQPG12()()033abab及 ，消去 ，得 .1()32321（） ，故 ；12()()pqpq（） ，那么2312|sinSAPQBAC，当 与 重合时， ，当 位于 中点时，11139()41P，故 ，故 但因为 与 不能重合，故12,12S,.B12S4,).9已知 是锐角 的外接圆的圆心，且 ，若 ,则 OABCAAOmCAsincosi。 （用 表示）sin例题 3：已知 的坐标分别为 ，., 3(3,0

4、),(cos,in)(,)2BC（1）若 ，求角 的值；（2）若 ，求 |ACB1Asinta【点拨】向量与三角的综合问题，一般先用向量知识转化为三角问题，转化成三角函数的求值问题来解决.解：（1） (cos3,in)(cos,in3),BC，2| )106s(ii.BC 35|ncos.(,).24A又（2 ）由 1,()csin(s3)1.又 2sinco.3又2siisiioco.1tancs由式两边平方得 4in925sini52ins. .91ta9【点评】向量与三角的综合问题往往是利用两向量的数量积、两向量平行或垂直的充要条件、向量的模等知识，列出方程解出三角函数值，化为三角问题来

5、解决.例题 4：已知向量 ， ，其中 O 为坐标原点 (cos,in)(0OA (sin,co)OB（1）若 ，求向量 与 的夹角；6（2）若 对任意实数 都成立，求实数 的取值范围|B2| ,解：（1）设向量 与 的夹角为 ，|则 ， sin()cos|2|OAB当 时， ， ；当 时， ， 012301cos23故当 时，向量 与 的夹角为 ；当 时，向量 与 的夹角为 OAB2（2 ） 对任意的 恒成立，|B,即 对任意的 恒成立，22(cosin)(sico)4,即 对任意的 恒成立， 14,所以， 或 ，解得 或 202013故所求实数 的取值范围是 3,(),另法一：由 对任意的

6、恒成立，可得 ，解得 或21sin)4,4|213|，由此求得实数 的取值范围；|另法二：由 ，可得 的最小值为 ，然后将已知条件转|1ABOBOA|AB|化为 ，由此解得实数 的取值范围）|反思：三角恒等变换包括：化简、求值、证明，而求值又分直接求值和条件求值,它在三角函数中占有相当重要的地位，是研究三角函数性质及其应用的重要工具其中“变”是主线，变换主要体现在角的变换、三角函数名的变换以及三角函数结构的变换2在三角变换时要注意变换的等价性，特别注意角的范围及符号问题，避免出错三角与平面向量结合,成为高考命题的热点，应引起充分重视三、巩固提高1. 已知向量 ， ，且 ，则 。4)3,2(a)

7、6,(xbba/x2. 过ABC 的重心任作一直线分别交 AB，AC 于点 D、E若 ， ， ，则AxBEyAC0x的值为 31xy3. 已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,sin ),且 ，那么 与 的夹角的大小是 ababab 24. | |=1，| |=2， = + ，且 ，则向量 与 的夹角为 120bcc5. 已知向量 与 的夹角为 ， 则 等于 4a120o3,1,ab6. 平面向量 a 与 b 的夹角为 6，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于 2 37. 设 分别是 的斜边 上的两个三等分点，已知 ,则 . ,EFRtABC3,6ABCAEF10

8、|8. 已知向量 (1,2)a， (,3)b若向量 c满足 ()/ab， ()ca，则 c 7(,939. P 为 ABC 所在平面上的点，且满足 = + ，则 ABP 与 ABC 的面积之比是APB12C_1210. 在 中， 为 的中点， 为 的中点， 交于点 ，若 （OABMN,ONAMPAmOnB） ，则 1,mnR11. 已知向量 )2,(sia与 )cos,(b互相垂直，其中 (0,)2（1 ）求 和 co的值；（2 ）若 10sin(),2，求 cos的值 解 （1） a与 b互相垂直，则 0inba，即 cos2sin，代入cossin22得 5cos,5in，又 (,)， ,

9、5i .（2 ） 20， ， 2，则 103)(sin1)cos(2，12. 已知ABC 中，|AC|=1,ABC= ,BAC=,记 ()fABC。（1 ） 求 ()f关于 的表达式;求 ()f的值域。解：（1）由正弦定理，得 |1|2sinisin()3BCsin2323| si,| sin()siBCA41()|con()332fABCA|23131(cosin)ssin2cos2661in.(06（2 ）由 03，得 5,6si(2)1, 10in36，即 ()f的值域为 1(0 ,6.13. 已知 , , , 。5|AC8|BDBA15AC（1）求 ；|（2）设 BAC，且已知 cos

10、(+x) ， ，求 sinx454x解：（1）由已知 16 ,21|,5|,1,6 DBADABADB CDAB，在 RtBCD 中 BC2=BD2+CD2,0C又 CD2=AC2AD 2, 所以 BC2=BD2+AC2AD 2=49， 4 分所以 6 分7| C（2 ） 在ABC 中， 8 分cos354)3(csxx）（ 5sin）（ x而 如果 ，122, 120x则 10 分6sin1i)3sin( 3)si(034)(x14. 已知 ，其中 。（1）求证： 与 互相垂直；（2）若 与 （ ）的长度相等，求 。解析：（1）因为所以 与 互相垂直。|（2） ，所以 ，因为 ，所以 ，有

11、，因为 ，故 ，又因为 ，所以 。1 若非零向量 ,ab满足 ab，则与 ab的夹角为 30 2 已知向量 a( ，1)， b(0，1)， c( k， )若 a2 b 与 c 共线，则 k_.13 33 已知向量 a(1,2)， b(1,0)， c(3,4)若 为实数，( a b) c，则 _ .124.设向量 a， b 满足| a|2 ， b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_(4，2)55 设 A1， A2， A3， A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 ( R)，A1A3 A1A2 ( R)，且 2，则称 A3， A4调和分割 A1， A2，已知平面上的点 C，

12、 D 调和分割点A1A4 A1A2 1 1A， B，则下面说法正确的是_DA C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点C C、 D 可能同时在线段 AB 上 D C、 D 不可能同时在线段 AB 的延长线上6.已知 |1a， |b， a与 的夹角为 10， 0acb，则 a与 c的夹角为_ 907 已知直角梯形 ABCD 中， AD BC， ADC90， AD2， BC1， P 是腰 DC 上的动点，则| 3 |的PA PB 最小值为_58 若平面向量 ， 满足| |1，| |1，且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 12与 的夹角 的取值范围是_ 6， 569

13、 已知向量 a， b 满足( a2 b)(a b)6，且| a|1，| b|2，则 a 与 b 的夹角为_ 310 设向量 a， b 满足| a| b|1， ab ，则| a2 b|_12 311 已知 O 是坐标原点，点 A(1,1)，若点 M(x， y)为平面区域Error!上的一个动点，则 的取值范OA OM |围是_0,212 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 2 ， 3 ，则 _.BC BD CA CE AD BE 1413 若 a， b， c 均为单位向量，且 ab0，( a c)(b c)0 ，则 |a b c|的最大值为_114.已知 e1， e2是夹角为 的两个单位向

14、量， a e12 e2， b ke1 e2, 若 ab0，则实数 k 的值为23_5415 设向量 a， b， c 满足| a| b|1， ab ， a c， b c60，则| c|的最大值等于_21216 已知 a， b 是不共线的向量， a b， a b， ， R，那么 A、 B、 C 三点共线的充要条AB AC 件为_ 117 已知在平面直角坐标系中， O(0,0)， M(1,1)， N(0,1)， Q(2,3)，动点 P(x， y)满足不等式 0 OP OM 1,0 1，则 z 的最大值为_3OP ON OQ OP 18 已知平面向量 a， b， c 满足 a b c0，且 a 与 b 的夹角为 135， c 与 b 的夹角为 120，|c|2，则| a|_. 6