随机变量的分布函数.ppt

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1、随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.定义定义:设设X是任意一个随机变量是任意一个随机变量,称函数称函数 F(x)=P(Xx),x 为随机变量为随机变量X的分布函数的分布函数.(1)0F(x)1,x,(2)F(x)是是x的单调不减函数的单调不减函数;(3)(4)F(x)有至多可列个间断点有至多可列个间断点,且在间断点处右连续且在间断点处右连续,即即:F(x+0)=F(x)(5)P(aa)=1-P(Xa)=1-F(a);P(X=a)=F(a)-F(a-0)2.分布函数的性质分布函数的性质:一、分布函数一、分布函数例例1.设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为0.7的的0-1分布分布,即即:

2、X 0 1 P 0.3 0.7 ,求求X的分布函数的分布函数.解解:(1)当当x0时时,=0 (2)当当0 x1时时,(3)当当1x时时,=P(X=0)+P(X=1)=13.离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的性质的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数分布函数是分段函数,分段区间是由分段区间是由X的取值点划分成的的取值点划分成的 左闭右开区间左闭右开区间;(2)函数值从函数值从0到到1逐段递增逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增图形上表现为阶梯形跳跃递增;(3)函数值跳跃高度是函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值取值区间中

3、新增加点的对应概率值;(4)分布函数是右连续的；分布函数是右连续的；X的分布函数为的分布函数为:分布函数图形如下分布函数图形如下:0.3xF(x)110例例2.设设X的分布函数为的分布函数为求求X的概率分布及的概率分布及P(1-2),P(1X3),P(1X3)解解:(1)X 1 2 3 4 P 7/10 7/30 7/120 1/120 (2)F(x)=7/107/10+7/307/10+7/30+7/120 x11x22x33x-2)=1-P(X-2)=1-F(-2)=1 或或 P(X-2)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1 P(1X3)=P(X=2)=7/30P(

4、1X3)=F(3)-F(1)=7/30+7/1204、连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数xf(x)-110F(-1)F(1)例例4.设随机变量设随机变量X服从服从-1,2区间上的均匀分布，求区间上的均匀分布，求X的分布函数。的分布函数。解解:X如图如图:分析分析:F(-2)=0F(1)=2/3F(3)=1-12-213F(1)xf(x)F(3)所以所以,(1)x-1时时,F(x)=0(2)-1x2时时,F(x)=(3)2x时时,F(x)=1xF(x)-11210可见可见:(1)F(x)为从为从0到到1单调递增的连续函数单调递增的连续函数;(2)F(x)为分段函数为分段函数,区间划

5、分与区间划分与f(x)的区间划分相同的区间划分相同,区间区间 划分点可以属于该点左右的任何一个区间划分点可以属于该点左右的任何一个区间.X的分布函数为的分布函数为:分布函数图形如下分布函数图形如下:(3)PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=F(b)-F(a).连续型随机变量的分布函数的性质连续型随机变量的分布函数的性质:(1)F(x)是是(-,+)上的连续函数上的连续函数;(2)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;由此可得由此可得解解:(1)x0时时,F(x)=0(2)x0时时,F(x)=例例5.设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的指数分布，求的指数分布，求X的分布函数。的

6、分布函数。例例6.设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:(1)A;(2)P(0.3X0.7);(3)X的概率密度的概率密度f(x)解解:(1)F(x)在在x=1点连续点连续,由左连续性得由左连续性得:即即:所以所以,A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=22(3)f(x)=0 x02x 0 x10 1x即即:(4)f(x)=变上限的定积分公式变上限的定积分公式两种类型的比较两种类型的比较:连续型连续型1.概率密度概率密度 Xf(x):P(aXb)=2.4.PaXb=PaXb =PaXb=PaXb =F(b)-F(a)=离散型离散型1.概率分布概

7、率分布:pn=P(X=xn)(n=1,2,.)2.F(x)=3.P(aa)=1-F(a);P(X=a)=F(a)-F(a-0)4.P(xA)=5.F(x)有可列个间断点有可列个间断点,且右连续且右连续5.F(x)连续连续,且且f(x)=P(X=a)=0P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0)课堂练习课堂练习1.设设X,求求F(x).2.设设X,求求(1)P(-2X3);(2)P(X2)(3)f(x)4.已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)=A+Barctanx,求求:(1)A,B;(2)X的概率密度的概率密度 f(x).5.（934）设）设Xf(x)，且，且

8、f(-x)=f(x)，F(x)是是X的分布的分布 函数，则对函数，则对 任意实数任意实数a，有，有()F(-a)=1-F(-a)=F(-a)=F(a)F(-a)=2F(a)-1 6.(895）设）设 r.v X的分布函数为的分布函数为则则P|X|/6=（）7.设设X求求(1)A,(2)F(x),(3)P0X/4.8.(901)设设X 求求X的分布函数的分布函数.定义定义:若若=0,2=1,即即称称X服从服从标准正态分布标准正态分布.XN(0,1)性质性质:f(x)x0(1)f(x)以以y轴为对称轴轴为对称轴;(2)分布函数为分布函数为:(3)x-x1.标准正态分布标准正态分布思考思考:对一般正

9、态分布对一般正态分布(3)成立吗成立吗?二、正态分布的分布函数及其计算二、正态分布的分布函数及其计算计算计算(1)x0时时,查标准正态分布分布函数表查标准正态分布分布函数表:(2)若若x0,应用应用转化为转化为(1)的计算方法的计算方法.一般地一般地,若若XN(0,1),则则 (1)P(X=a)=0;(2)P(Xa)=P(Xa)=P(Xa)=1-(a);(4)P(aXb)=(b)-(a);(5)P(|X|a)=P(-aX-1.96)P(|X|-1.96)P(|X|1/2,所以所以,a0,反查表得反查表得:(1.66)=0.95154,故故而而(b)=0.049471/2,所以所以,b0,反查表

10、得反查表得:(1.65)=0.95053,即即:-b=1.65,故故,称称 随机变量随机变量 X服从参数为服从参数为,2的正态分布的正态分布,0，是任意实数，若是任意实数，若正态分布正态分布定义定义:性质性质:(1)(2)概率密度图形是以概率密度图形是以 x=为对称轴的为对称轴的R上的连续函数上的连续函数,f(x)x0在在 x=点点 f(x)取得最大值取得最大值;(3)若若固定固定,改变改变,密度曲线随对称轴左右移动密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变形状保持不变;若若 固定固定,改变改变,越大越大,曲线越平坦曲线越平坦,越小越小,曲线越陡峭曲线越陡峭.小小大大一般正态分布一般正态分布X N

11、(,2)2.一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系定理定理 设设XN(,2),则则YN(0,1).推论推论:若若XN(,2),则则证明证明:F(x)=P(Xx)=YN(0,1)所以所以,若若XN(,2),则则P(Xa)=P(aXb)=例例9.设设XN(10,4),求求P(10X13),P(|X-10|2).解解:P(10X13)=(1.5)-(0)=P(|X-10|2)=P(8X12)或或=2(1)-1例例10.设设XN(,2),P(X-1.6)=0.036,P(X5.9)=0.758,求求及及.解解:P(X-1.6)=反查表得反查表得:又又P(X5.9)=反查表得反

12、查表得:联立解方程组得联立解方程组得:=3.8,=3特别特别:(0)=0.5;(1.28)=0.90;(1.64)=0.95;(1.96)=0.975;(2.33)=0.99.例例11.（904）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似分制）近似 服从服从 正态分布，平均成绩为正态分布，平均成绩为 72分，分，96分分 以以上上 的占考生总数的的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在，试求考生的外语成绩在 60 分至分至84分之间的概率。分之间的概率。解解:设设X为考生的外语成绩为考生的外语成绩,则则 XN(72,2),由题意得由题意得:=1-

13、(96-72)/=1-(24/)所以所以,反查表得反查表得:24/=2,故故:=12所求所求P(60XC=PXC 则则C=（）。）。例例2（935）设）设XN(，42),YN(，52),记记 p1=PX-4，p2=PY+5则则()对任意实数对任意实数，都有，都有p1=p2 对任意实数对任意实数，都有，都有p1p2例例3（954）设）设XN(，2),则随则随的增大，概率的增大，概率P|X-|（）单调增大单调增大 单调减少单调减少 保持不变保持不变 增减不定增减不定图示图示3练习练习图示图示:f(x)x0P(X)P(X)例例4.(881)设设 X N(10，则，则 X 落在区间（，）内的概率为落在区间（，）内的概率为().例例5(911)设设 X N(2,2),且且P2X4=0.3,则则 PX0 =().2.某地高考个人总分服从正态分布某地高考个人总分服从正态分布 N(400,1002)，在，在 200,000名考生中将择优录取名考生中将择优录取30,000名，考生要被录名，考生要被录 取至少需要考多少分？取至少需要考多少分？1.设设 X 求求(1)P(-2X3/2);(2)F(x).3.随机变量随机变量X服从服从 0,2 上的均匀分布，上的均匀分布，Y=|X-1|，求求Y的分布密度。的分布密度。,