随机变量及其分布函数.ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.12.1 随机变量及其分布随机变量及其分布函数函数 2.22.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 2.32.3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 2.42.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 2.12.1 随机变量及其分布随机变量及其分布函数函数一、一、随机变量随机变量的引入的引入二、随机变量的概念二、随机变量的概念三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、随机变量的分类四、随机变量的分类下 页上 页 返 回1.为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的概念引入一、随机变量的概念引入

2、2.随机变量的引入随机变量的引入 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念下 页上 页 返 回实例实例1袋中有袋中有3只黑球，只黑球，2只白球，从中任意取出只白球，从中任意取出3只球，

3、只球，观察取出的观察取出的3只球中的黑球的个数只球中的黑球的个数我们将我们将3只黑球分别记作只黑球分别记作1，2，3号，号，2只白球分别只白球分别记作记作4，5号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为我们记取出的黑球数为 X，则则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3因此，因此，X 是一个变量是一个变量但是，但是，X 取什么值依赖于试验结果，取什么值依赖于试验结果，即即 X的取值带有随机性，的取值带有随机性，所以，我们称所以，我们称 X 为随机变量为随机变量下 页上 页 返 回X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结

4、果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间是样本空间上的函数上的函数.下 页上 页 返 回 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间是样本空间上的函数：上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件情况来刻划随机事件例如例如表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；表示至少取出表示至少取出2

5、个黑球这一事件，等等个黑球这一事件，等等下 页上 页 返 回实例实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观观察摸出球的颜色察摸出球的颜色.=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 数量化数量化 可采用下列方法可采用下列方法 红色红色 白色白色即有即有 X(红色红色)=1,X(白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 =红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.下 页上 页 返 回实例实例3 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数.S=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有则有则有下 页上 页 返 回

6、二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义 设设E是一个随机试验，是一个随机试验，是其样本空间是其样本空间为一个随机变量，为一个随机变量，我们称样本空间上的函数：我们称样本空间上的函数：R随机事件数量化随机事件数量化下 页上 页 返 回说明说明(4)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质但它与普通的函数有着本质的差别的差别,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是而随机变量是定义在样本空间上的定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数样本空间的元素不一定是实数).即随机事件数量化即随机

7、事件数量化.下 页上 页 返 回(5)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由由于试验的各个结果的出现具有一定的概率于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机因此随机变量的取值也有一定的概率规律变量的取值也有一定的概率规律.(6)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内内.或者说或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究

8、随机现象而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.下 页上 页 返 回实例实例4 掷一个硬币掷一个硬币,观察出现的面观察出现的面,共有两个结果共有两个结果:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有即即 X()是一个随机变量是一个随机变量.随机事件数量化随机事件数量化2.例子例子下 页上 页 返 回实例实例5 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时,则有则有可得随机变量可得随机变量 X(),下 页上 页 返 回实例实例6 设盒中有设盒中有5个

9、球个球(2白白3黑黑),从中任抽从中任抽3个个,则则是一个随机变量是一个随机变量.实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:且且 X()的所有可能取值为的所有可能取值为:下 页上 页 返 回称为称为 X 的的分布函数分布函数对于任意的实数对于任意的实数 x1,x2(x1 x2)，有：，有：x1 x2 xXo0 xxX三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数1.概念概念定义定义 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，

10、函数是任意实数，函数注意到注意到 X 的分布函数是一个普通函数的分布函数是一个普通函数.下 页上 页 返 回0 xX-1x2.例子例子例例 1 设随机变量设随机变量 X 的为：的为：解：解：当当 x-1 时，满足时，满足求求 X 的分布函数的分布函数.满足满足下 页上 页 返 回满足满足x-1xX例例 1 设随机变量设随机变量 X 的为：的为：求求 X 的分布函数的分布函数.满足满足满足满足下 页上 页 返 回总之总之-1 0 1 2 3 x1下 页上 页 返 回例例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆

11、盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数.解：解：X（1）若若 x 0,满足满足（2）满足满足据题意据题意下 页上 页 返 回0 1 2 31F(x)x例例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量X的分

12、布函数的分布函数.解：解：（1）若若 x 0,（2）（3）满足满足是必然事件，是必然事件，于是于是总之总之下 页上 页 返 回3.性质性质从以上分布函数的图象可以看出，分布函数从以上分布函数的图象可以看出，分布函数 F(x)具具有以下基本性质：有以下基本性质：10 F(x)是一个不减的函数是一个不减的函数事实上，事实上，0 1 2 31F(x)x2030性质性质20，30不加证明了不加证明了,可以直观理解可以直观理解.下 页上 页 返 回3.性质性质10 F(x)是一个是一个单调单调不减的函数不减的函数0 1 2 31F(x)x2030-1 0 1 2 31xF(x)另外，可以证明另外，可以证

13、明:(1)分布函数必须满足以上分布函数必须满足以上三个性质三个性质.(2)满足以上三个性质的函满足以上三个性质的函数一定是某一个随机变量数一定是某一个随机变量的分布函数的分布函数.下 页上 页 返 回4.用分布函数计算某些事件的概率用分布函数计算某些事件的概率则则F(x)是一个是一个单调单调不减的函数不减的函数，单侧极限一定存在，单侧极限一定存在.下 页上 页 返 回例例 3下 页上 页 返 回例例 4由分布函数的性质，我们有由分布函数的性质，我们有解：解：解方程组解方程组得得下 页上 页 返 回四、随机变量的分类四、随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它 根据随机变量可能的取值的特点，将随机变量分根据随机变量可能的取值的特点，将随机变量分为：为：离散型随机变量、非离散型随机变量离散型随机变量、非离散型随机变量.根据随机变量分布函数的特点，将根据随机变量分布函数的特点，将非离散型随机变非离散型随机变量量分为：分为：连续型随机变量、其它型随机变量连续型随机变量、其它型随机变量.本课程只介绍本课程只介绍离散型和连续型随机变量。离散型和连续型随机变量。