第2章导数与微分优秀课件.ppt

《第2章导数与微分优秀课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章导数与微分优秀课件.ppt（58页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第2章 导数与微分第1页，本讲稿共58页第一节导数第二节 求导数的一般方法第三节高阶导数*第四节导数的近似计算第五节中值定理 洛必达法则第六节函数性态的研究第七节微分及其应用*第八节 泰勒公式*第九节 插值法 方程的近似解第2页，本讲稿共58页一、函数的变化率1、平均变化率称为函数y=f(x)从 变到 的平均变化率。2、瞬时变化率若极限存在，则极限值表示f(x)在 时的瞬时变化率。第3页，本讲稿共58页例例2 瞬时加速度瞬时加速度例例1 瞬时速度瞬时速度 V称为动点在时刻 的瞬时速度。设直线运动的物体路程函数为称在 时刻的瞬时加速度。设直线运动的物体速度函数为v=v(t)第4页，本讲稿共58页

2、例3 曲线的切线过点过点M且以且以k为斜率的直线称为在为斜率的直线称为在M上的切线。上的切线。令第5页，本讲稿共58页二、导数的定义 1、定义：如果极限存在，则称y=f(x)在点 可导。记为 、或 ，第6页，本讲稿共58页2、导函数若f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，则称函数在(a,b)内可导。例4 求线性函数y=ax+b在点x处的导数。例5 已知 ,求第7页，本讲稿共58页 3、左导数和右导数函数f(x)在点 可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。左导数：右导数：例6 讨论 在 处是否连续和可导？第8页，本讲稿共58页三、导数的物理意义和几何意义 1、物理意义：路程函数为s(t)

3、的质点在 时刻的 瞬时速度2、几何意义：曲线f(x)在点 处切线的斜率例 7 求 在点（4，2）处的切线斜率并写出切线方程和法线方程。切线方程：法线方程：第9页，本讲稿共58页四、函数的可导性与连续性之间的关系结论：可导 连续 推导过程：推导过程：例8 讨论函数 在x=0处的连续性和可导性。第10页，本讲稿共58页一、基本初等函数求导公式（见课本46页）二、函数的四则运算求导法则（见课本46页）三、复合函数的求导法则（链式法则）设有复合函数 则和 均可导第11页，本讲稿共58页第12页，本讲稿共58页例1 求下列函数的导数：如果熟悉了链式法则，可以不设中间变量求导。如果熟悉了链式法则，可以不设

4、中间变量求导。（2）（1）（3）（4）（5）（6）第13页，本讲稿共58页对数求导法例2求 （x0）的导数。例3求 的导数。对数求导法通常用在幂指函数、几个函数对数求导法通常用在幂指函数、几个函数相乘除的求导中。相乘除的求导中。第14页，本讲稿共58页四、反函数与隐函数的求导设函数y=f(x)在点x处有不为零的导数，且反函数x=g(y)在相应点连续，则反函数的导数为1、反函数的求导第15页，本讲稿共58页2、隐函数的导数（1）显函数：直接由自变量来表示因变量的规律的 表达函数。形如y=f(x)（2）隐函数：由方程F(x,y)=0所确定的函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如 (1

5、)(2)例4 已知 ，求例5 已知 ，求第16页，本讲稿共58页 1、参数方程所确定的函数 若参数方程 确定y与x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数 为由参数方程 所确定的函数。三、参数方程的求导公式2、求导公式第17页，本讲稿共58页例6已知椭圆的参数方程为 求椭圆在 处的切线方程。第18页，本讲稿共58页 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。若函数 在点 可导，则其导数称为f(x)在这个点处的二阶导数，记作或第19页，本讲稿共58页例已知自由落体路程函数为 ，求 落体的速度v及加速度a。例2 求 及 的n阶导数；例3 设参数方程 ,求y对x的二阶导数.第20页，本讲稿共58页一、中

6、值定理定理1 （罗尔Rolle定理）如果函数f(x)满足：（1）在闭区间 上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）在区间端点的函数值相等 ，那么在（a,b）内至少有一点 ，使第21页，本讲稿共58页1、罗尔定理的几何意义 在如下图的曲线弧 上（不包括端点）如果处处有不垂直于x轴的切线，则至少有一点C，在该点处的切线平行于x轴。yOxabACB第22页，本讲稿共58页例1 已知f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)，试直接判断方程 实根的个数和范围。例2设函数y=f(x)在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且导数恒不为零。又 。试证：方程 在 内有且仅有一个实根。第23页，本讲稿共58页

7、定理2（拉格朗日中值定理）如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；那么至少存在一点 ，使第24页，本讲稿共58页3、拉格朗日中值定理的几何意义如果连续曲线 的弧 上(除端点)处处具有不垂直于x轴的切线，那么 上至少有一点，该点处的切线平行于弦。COxyABQaxbP第25页，本讲稿共58页作辅助函数证明：则故因为因为F(a)=F(b)第26页，本讲稿共58页（在a、b间）拉格朗日中值公式的不同形式:例3 证明下列不等式:(2)当 时,(1)当x1时,第27页，本讲稿共58页推论推论1如果如果f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为零，则内的导数恒为零，则f(x

8、)在区间在区间(a,b)内是一个常数。内是一个常数。推论推论2 如果如果f(x)、g(x)在在(a,b)内的导数相等，则内的导数相等，则 f(x)与与g(x)相差一个常数。相差一个常数。例4 证明第28页，本讲稿共58页定理3(柯西中值定理)如果函数 及 满足（1）在闭区间 上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）对任一 ，则在 内至少有一点 ，使*取取g(x)=x，可知拉格朗日定理是柯西定理的一，可知拉格朗日定理是柯西定理的一种特殊情况。种特殊情况。第29页，本讲稿共58页二、洛必达法则1、未定式：、未定式：第30页，本讲稿共58页(1)当 时，f(x)及 g(x)都趋于零；(2)在

9、内(点a可以除外），及 都存在且(3)存在 则有2、洛必达法则第31页，本讲稿共58页证:由已知，则f(x)与g(x)在 内连续（若在点a不连续可补充定义f(a)=g(a)=0设 且xa，则在区间a,x上f(x)与g(x)满足柯西定理的条件，所以至少存在一点 ，使得即得证即得证第32页，本讲稿共58页例5 求极限1）2）3）注意注意：验证每次所求的极限是不是未定式，：验证每次所求的极限是不是未定式，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则。如果不是未定式，就不能应用洛必达法则。4）5）第33页，本讲稿共58页6）7）8）注意：注意：并不是所有的未定式极限都能用洛必达法则并不是所有的未定式极限都能用

10、洛必达法则 求得。求得。9）第34页，本讲稿共58页一、函数的单调性定理1 设f(x)在(a,b)内可导，则（1）若 ，则f(x)在(a,b)上递增；（2）若 ，则f(x)在(a,b)上递减。等号仅在有限个点处取得。第35页，本讲稿共58页例1 研究下列函数的单调性。3）求单调区间的方法：1），2）第36页，本讲稿共58页例2 证明下列不等式：1）当x1时，2）当x0时，第37页，本讲稿共58页二、函数的极值1、定义设函数 定义域为D，若对 有 （或 ）则称函数在点 有极大值 （或极小值 ）称为极大值点（或极小值点）。定理2 设函数在点处可导，且在处取得极值，则可导函数的极值点必定是它的驻点。

11、可导函数的极值点必定是它的驻点。但是，驻点不一定是极值点。但是，驻点不一定是极值点。第38页，本讲稿共58页极值的概念是局部性的abxyO第39页，本讲稿共58页定理3 设f(x)在 内可导且 当x在 的邻域从左至右经过 时，(1)如果 的符号由正变负，则在 处取得极值；(2)如果 的符号由负变正，则取得极小值。(3)如果 的符号不改变，则没有极值。例4 求函数 的极值。练习：求 的极值。第40页，本讲稿共58页例6 求函数 的极值。由例由例6可知，除驻点外，不可导点也可能是极值点。可知，除驻点外，不可导点也可能是极值点。定理4 设函数f(x)在处具有二阶导数 且 ，则(1)当 时，函数在处取

12、得极大值；(2)当 时，函数在 处取得极小值。说明：如果 ，则还是用定理3判定。例5 讨论函数 ,的极值。第41页，本讲稿共58页2、函数的最大值和最小值设在(a,b)内的驻点为，则 最大的就是在 上的最大值，最小的就是在 上的最小值。例7求函数 在上的最大值与最小值。第42页，本讲稿共58页例8 从半径为R的圆形铁皮上，割去一块中心角为 的扇形，将剩下部分围成一个圆锥形漏斗。当 多大时，漏斗的体积最大？RRhr第43页，本讲稿共58页、曲线凹凸性定义设为连续曲线弧。过上除端点外的每一点作的切线，如果曲线弧总是位于切线的上方，则称是凹的，或称凹弧；三、曲线的凹凸与拐点xyAB第44页，本讲稿共

13、58页如果曲线弧总是位于切线的下方，则称是凸的，或称凸弧。xyAB请思考:凹曲线与凸曲线的切线斜率随着x的增大各会如何变化?第45页，本讲稿共58页、曲线凹凸性的判定定理5设f(x)在上连续，在内具有二阶导数。(1)若在 内，则曲线弧是凹的；(2)若在 内，则曲线弧是凸的。拐点拐点：凹弧与：凹弧与凸弧的分界点。凸弧的分界点。例9判定下列曲线的凹凸性。1）2）3）第46页，本讲稿共58页注意：若在点 的二阶导数不为0，也可能是曲线的拐点。例10 求 的拐点。第47页，本讲稿共58页一、微分的定义 先看一个具体问题。一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 变到 ，问此薄片的面积改变了多少？

14、设此薄片的边长为x，面积为，则 。第48页，本讲稿共58页 定义如果 可以表示为 其中是常数，是比 高阶的无穷小，则称 在点 可微。叫做 在点 的微分，记作dy，则dy 。函数在任意点x 的微分，称为函数的微分。第49页，本讲稿共58页可微与可导的关系 可微 可导 称为自变量的微分，记作称为自变量的微分，记作dx，即，即dx=，又因为有又因为有 ，因此导数也叫因此导数也叫“微商微商”。第50页，本讲稿共58页例求 在x=1 和x=3 处的微分 例求当x=2,0.02时,的微分第51页，本讲稿共58页二、微分的几何意义当 是曲线 上点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上 点的纵坐标的相应增量。yx

15、。PQ可知点M附近的曲线可以用切线来代替。第52页，本讲稿共58页三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则、基本初等函数的导数和微分公式 、函数和、差、积、商的导数和微分法则、复合函数的微分法则 对复合函数 求微分，设 ，有由此可见，无论u是自变量还是中间变量，y=f(u)的微分都可用 与du的乘积来表示，这一性质称为微分形式不变性。第53页，本讲稿共58页例 ，求dy例 ，求dy.例第54页，本讲稿共58页一、微分在近似计算中的应用应用公式：例有一批半径为厘米的球，为了提高球面的光 洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01厘米。估计每 只球需 要铜多少克？（铜的密度是8.9克厘米3）例2利用微分计算 的近似值。第55页，本讲稿共58页 取 ,有 ，可以推出以下 常用近似公式：（是较小的数值）例计算 的近似值。（1）（2）（3）（4）（x 用弧度作单位来表达）；（x 用弧度作单位来表达）；（5）第56页，本讲稿共58页二、微分在误差估计中的应用、绝对误差和相对误差如果某个量的精确值为，它的近似值为a，那么 叫做a的绝对误差，叫做a的相对误差。、绝对误差限和相对误差限 如果 ，则 叫做的绝对误差限，而 叫做的相对误差限。第57页，本讲稿共58页 例设测得圆钢截面的直径 毫米，测量的绝对误差 毫米（通常记作 ）。利用计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。第58页，本讲稿共58页