专升本高等数学真题及答案.pdf

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1、河南省河南省 20142014 年普通高校等学校年普通高校等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学高等数学一选择题（每小题 2 分，共 60 分）1.函数f(x)sin9 x ln(x1)的定义域是（）A.(1,3C.3,22B.(1,)D.3,1)2.已知f(2x)x 2x,则f(x)（）A.12x 14B.12x 14C.12x x4D.1x143.设f(x)的定义域为R,则g(x)f(x)f(x).()A.是偶函数B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数ax244.已知lim 4,则（）x2x2A.a 1B.a 0C.a 1D

2、.a 2x215.x 1是函数y 2的（）x x2A.跳跃间断点C.连续点B.可去间断点D.第二类间断点6.当 x0 时，比1cosx高阶的无穷小是（）A.x211B.ln(1 x)D.arctan x32C.sin xf2(xh)f2(x)7.已知f(x)ln x,则lim=（）h02hA.ln xx21C.-2xBln xx1D.x8.曲线y sint(t 为参数）。在t 对应点处切线的方程为（）2x 2cos tB.y 1D.y x1A.x 1C.y x19.函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)，则方程f(x)0实根的个数为（）A.2C.4B.3D.5x10.设y y(x)是由

3、方程y xye确定的隐函数。则A.dydx1 x y1 x1 y1 xB.2y xy1 x1 x2x xyC.D.11.已知函数f(x)在区间0,a（a0)上连实，f(0)0 且在（0，a)上恒有f(x)0,设S1f(x)dx,S2 af(0),S1与S2的关系是（0a）A.S1S212.曲线y x 1(A.C.无拐点有两个拐点3B.S1=S2D.不确定)B有一个拐点D.有三个拐点）B13.曲线 y=1的渐近线的方程为（x2A.x 0,y 1C.x 2,y 114.设F(x)是f(x)的一个原函数则eA.F(e)cC.F(e)cxxx 1,y 0D.x 2,y 0 xf(ex)dx=(x)B.

4、F(e)cD.F(e)cx15.设f(x)在a,b上连续，则由曲线y f(x)与直线 x=a,x=b,y=0 所围成平面图形的面积为（AC.）B.baf(x)dxbabaf(x)dxf(x)dxD.f(b)f(a)(ba)16.设f(x)是连实函数，满足f(x)=A.0B.-1sin x1_f(x)dx,则lim f(x)=（x1 x21D）6C.36)D.(x1)sin x17.设f(x)=x0(t 1)sintdt,则f(x)=(B.(x1)cosx）C.A.sin x xcosxC.sin x xcosx18.下列广义积分收敛的是（A.2ln xdxxB.11dxx211dxx1D.1c

5、osxdx19.微方程dxdy 0的通解是（）yxB.3x4y cxA.x y 2522C.x y c22D.y x 7）2x2220 解常微方程y2y y xe的过程中，特解一般应设为（A.y=（Ax Bx)e半2xB.y=Axe半xC.y=Ae半xD.y=x e(Ax B)）半21.已知 a,b,c 为非零向量，且ab 0，bc 0则（A.a b且b c22、直线 L:B.a b且bcC.a c且b cD.a c且bcxyz=与平面：6x4y10z 1 0的位置关系是（）3-25B、L 与平行但无公共点D、L 与垂直22A、L 在上C、L 与相交但不垂直23、在空间直角坐标系内，方程2x-

6、y=1表示的二次曲面是（A、球面 B、双曲抛物面 C、圆锥面 D、双曲柱面24、极限limx0y0）2xy=（）xy+1-1C、11D、-4425、点（0,0）是函数z xy的（）A、0B、4A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点26、设D (x,y)x 2，y 1则A、0B、-1C、2xy+ydxdy=（D）D、127、设fx,y为连续函数，到（A、C、）1y10dxfx,ydy+dx01x22-x0fx,ydy交换积分次序后得100dyy2fx,ydx22-yyB、20dyfx,ydx0ydyfx,ydxD、02dyy2fx,ydx2y28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）

7、的折线，则A、1B、2C、013.下列级数条件中收敛的是（D、-1）Lx2dy+ydx=（）2n-1A、2n=1n+11B、（-1）n3n=1nn2+n+1C、2n=1n-n+1D、（-1）n=1n1n30、级数1的和是（）24n-1n=1B、2C、A、112D、14二、填空题（每题 2 分，共 20 分）31、设fxx-1，则fx=_.=（x 0,1）xx-1232、设连续函数fx满足f(x)x 33、已知fx320f(x)dx,则f(x)dx=_.02xa,x1lnx，x1，若函数fx在x 1连续，则 a=_.334、设f(x 1)12x是f0 1，则fx=_.35、不定积分cos2xdx

8、=_.36、若向量a 0,1,1;b 1,0,1;c 1,1,0则abc=_.37、微分方程y 4y4y 0的通解yx=_.38、设f(x,y)earctanyxln(x2 y2)cosxy2，则fx(1,0)=_.22239、函数fx,y,z x y z在点（1，1,1）处方向导数的最大值为_.40、函数fx1的幂级数展开式是_.12x三、计算题（每题 5 分，共 50 分）x2(ex1)41、求极限limx01 tan x-1 x42、设an为曲线y x与y xnn1(n 1,2,3,4.)所围的面积，判定级数nan的敛散性n143.求不定积分40 xdxx 12.44.计算定积分x2 d

9、x.345.解方程xy y x.46.已知函数z f(x,y)由方程exy2z ez 0所确定，求dz.47.已知点A(4,1,2),B(1,2,2),C(2,0,1)求ABC的面积.48.计算二重积分49.计算曲线积分lnDx2 y2dxdy,其中D(x,y)1 x2 y2 4.y(1 x2)dx x(1 y2)dy其中 L 是圆x2 y21（逆时针方向）.xn50.试确定幂级数的收敛域并求出和函数.n0n1四应用题（每小题 7 分，共 14 分）51.欲围一个面积 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米 6 元，其余三面是每平方 3 元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价

10、最低？52.已知 D 是抛物线 L:y 2x和直线x 21所围成的平面区域，试求：2（1）区域 D 的面积（2）区域 D 绕 Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五证明题（6 分）53.设e a b e证明ln bln a 2224(ba)e22014 专升本真题答案一选择题1-10A C B A B D B B C B11-20 C B D B C B D C C D21-30 B D D B A A C A D C二填空题1832.x9135.sin2x c231.38.241.33.136.234.x x137.c1e2xx2xc2e239.2 340.1 1nn2 xx(,),2 2n0

11、 x2(ex1)lim1 tan x 1 xx0 x3lim1 tan x 1 xx0 x3(1 tan x 1 x)lim1 tan x(1 x)x0 x3(1 tan x 1 x)limtan x xx02x3limx0tan x x6x3lim2x0sec x16x2lim2x0tan x6x2lim2 6xx0 xn1xn2111nn142.解：由题意知an(x x）dx 0n1n20n1n2(n1)(n2)11故nann1nn此级数为正项级数且un(n1)(n2)n1(n1)(n2)由正项级数比较判别法的极限形式知nn1(n1)(n2)lim1 0故与级数3的敛散性相同n1n1(n1

12、)(n2)n12n3n21n且3为收敛级数，故为收敛级数即级数an收敛n12n1(n1)(n2)n1n43.xdxx2111d(x21)2x21112(x 1)2d(x21)21(x 1)211221 12c x21c44.040 x2dx42 xdx(x2)dx24x2x22x2x2022 22 445.原方程可化为y241y x2x为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为121xxy=edxx edxc2lnx elnxxedxc1 xx2dxcx xxdxcx2 x(+c)2x3=cx2 46.解：令F(x,y,z)=exy2z ez则Fx yexy,Fy xexy,FZ ez2Fxy

13、exyz故 zxFze 2Fzxexyy.zyFze 2所以dz zzdxdyxyyexyxexyzdxzdye 2e 247.解：AB=3,3，4，AC=2,1，1ijk AB*AC=334 1,5,3211 ABAC=12523235 135ABC的面积等于ABAC=2248.在极坐标下lnx y dxdy dlnr.rdr012r222x2r2 2ln d1222rr2r2 2.ln l1d lnr12222r21 22ln.dr12 22r 4ln22dr12r222 4ln 2l143 4ln2249.由格林公式知22y(1 x)dx x(1 y)dy 22 x(1 y)y(1 x)

14、22dxdy，其中D：x y 1xy22(1 y)(1 x)dxdy(x2 y2)dxdy dr2rdr(用极坐标计算）002x1 2r3dro1r41 2l04 2xn150.解：幂级数中ann1n0n1an1an1 limn21n1n1有公式知 limn故收敛半径R 11，收敛区间为(1,1)(1)n收敛；x 1时，幂级数为n1n0 x 1时，幂级数为1发散；n1n0 xn故幂级数的收敛域为1,1)n1n0 xnxn设幂级数的和函数为s(x)，即s(x)n0n1n0n1xn1则xs(x)n0n1xn1n1由x n11 xn0n0 x1x1xn1则dx d(1 x)ln(1x)01 x01

15、xn0n1故xs(x)ln即s(x)(1x)1(1x)lnx51.解：设场地的长为x，宽为y，高为h。造价为 S,面积为A,则由题意知A xy 150。S 6xh3(2y x)h 9xy6yh问题转化为在条件xy 150下求S 9h6yh的最小值构造函数L(x,y,)9xh6yh(xy150)Lx 9hy 0由Ly 6hx 0L xy150 0解得x 10,y 15故由实际意义知当场地的长为 10 米，宽为 15 米时造价最低。52、解：D 的图形如图所示：（1）区域 D 的面积21y1A 1(1)dy12221y1dy12y3116111323(2)区域 D 绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积V(2x)dx2xdxx212012021204253、证明：令f(x)ln x，则f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导由拉格朗日中值定理知存在(a,b)，使得f()f(b)f(a)ba即2lnln2bln2a2又e a b e且a bba2所以 e2lne4所以22eeln2bln2a4所以2bae所以ln bln a 22ln24(ba)2e