2020年高考理科数学试卷.pdf

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1、2 2 0 0 2 2 0 0 年年 高高 考考 理理 科科 数数 学学 试试 卷卷(全全 国国 1 1卷卷)(附附 详详 细细 答答 案案)(总总 1 1 1 1 页页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-绝密启用前20202020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 5 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题

2、选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21若 z 1 i,则z 2z()A0B1C2D2222解：z 1

3、iz 2z=z(z 2)=(1 i)(i1)=i 1=2|z2 2z|选 D2设集合 A=x|x2 4 0，B=x|2x+a 0且 AB=x|2 x 1 则 a（）A-4解：A=-2,2,B=(-,B-2C2D4aa,A B=-2,1=1a=2.选B223.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）5 15 15 15 1A.4 B.2 C.4 D.2解：设正四棱锥的底面边长为a,高为 h，斜高为 b,则1b151 b b（舍负）.选 C.ab h2b

4、2a 421 02a42aa4.已知 A 为抛物线 C:y2 2 px p 0 上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p （）A2解：9B3C6D922p12 p 6.选 C.225.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度 x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 xi,yi（i 1，2，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10 至40 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A.y a bx B.y a bx2 C.y a bexDy a bln x解：选D6.函数

5、 f x x4 2x3 的图像在点1，f 1 处的切线方程为（）A y 2x 1 B y 2x+1 C.y 2x 3D y 2x+1解：f(x)4x36x2,f(1)1,k f(1)2切线方程为y(1)2(x1),即y 2x1.选B7.设函数 f x cos(x6)在,的图像大致如下图，则 f x 的最小正周期为（A.1079 B.6C.43 D.32解：由图可知 T-(-)2T,即2 2 221 2又496 2k2,kZ 94(232k),k Z当k 0时，32，从而T 43，选 C8.xy25x的展开式中x yx3 y3 的系数为（）A 5B10C15D 20解：xy2xx y5 xx y

6、5y25xx yxy25223y244xx y的展开式中含 x3 y3 的项为xC5x y xC5x y3）y2524x的展开式中 x3 y3 的系数为C5C515,选 Cx yx9已知0,，且 3cos28cos 5，则 sin（A.）2155 B.C.D.33393cos28cos 53（2cos2）8cos5=0（3cos+2)(cos2)=0cos=232这里0,，所以sin 1cos 1()2235，选 A.310.已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1 为ABC 的外接圆若 O1 的面积为 4，AB=BC=AC=OO1，则球 O 的表面积为A 64B48C36D32解：

7、设 AB=BC=AC=OO1=a，则 O1A=23a r33222又SOr，从而r 4a 4 a 123222在 RtO1OA中，R a r 16选 A.S球 4R26411.已知M:x2 y2 2x 2y 2 0，直线 l：2x y 2 0，P 为 l 上的动点，过点P 作M的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|AB|最小时，直线 AB 的方程为（）A 2x y 1 0 B 2x y 1 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1 0解：M:(x1)2(y1)2 4的圆心为M（1，1），半径为2M的切线，设PM AB=C，则PAAM，PMABPA，PB是RtPAM1ACACAMAMR

8、tACM，即2 PM AB 2AM PA 4PAPAPMPAPM45当|PM|AB|最小时，PA 最小，此时，PMl，ABPM|2112|22125AM2 MC MP22 MC 5MC PC PM MC 5（）Aa2b41|c2|1 c 12alog2a 4b2log4b，则5555Cab2Dab2Ba2b解：显然f(x)2xlog2x是R+上的增函数4若a2b，则f(a)f(2b)，即2alog2a 22blog22bab2b2 log a 4 2log b 2log2b24又-得0 log22blog2b 1怛成立，选 B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2x y

9、2 013.若 x，y 满足约束条件x y1 0，则 z x 7 y 的最大值为y1 0解：解方程组2x y2 0 x 1得x y1 0y 0作出可行域，平移直线 x+7y=0，当直线 x+7y=z 经过点 M（1，0）时，z 最大，最大值为 1+7 0=1.14.设 a a，b b 为单位向量，则|a a b|b|1，则|a a b|b|解：ab 1 a 2a bb 1 2a b 1a 1,b 1 22ab a 2a bb 1(1)13 ab 3x2y215.已知 F 为双曲线C:221a 0,b 0 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的ab点，且 BF 垂直于 x 轴若 AB

10、的斜率为 3，则 C 的离心率为222b2b2解:BF x轴 BF 22aa 3，即c a3 ca 3a e c 2caa(ca)aBF又 3,AF caAF16.如图，在三棱锥 P-ABC 的平面展开图，AC=1，AB=AD=3，AB AC，AB AD，CAE 30，则 cosFCB 5222解：在RtABC中，BC AC2 AB2 2,在等腰RtPAB中，PB 6在RtPAC中，PC PA AC 2 31cos30 1 PC 1PC2 BC2 PB2122261cos 2PC BC2124三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考

11、生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）设an是公比不为 1 的等比数列，a1为 a2，a3的等差中项(1)求an 的公比；(2)若a11，求数列nan的前 n 项和解：（1）在等比数列an中，2a1 a3a3，即2a1 a1qa1q2 q2q2 0 q 2(2)a11，令bn n(2)n1Sn1(2)02(2)13(2)22Sn1(2)12(2)23(2)3-得3Sn1(2)(2)Sn12(n1)(2)n2n(2)n1(n1)(2)n1n(2)n n1(2)1(2)nn(2)n(2)n1(2)n113n1(2)n918(12 分

12、)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO(1)证明：PA 平面PBC(2)求二面角B-PC-E的余弦值.(1)证明：不妨设底面圆的半径为1，则正三角形ABC的边长为3，AD=2,所以，OD=3,从而 OP=在RtAOP中，AP 1 26DO62.216 PB226AB PA PB PA PB222DO 平面ABC DO BCBC 平面ABCAE是正ABC的直径 AE BCBC 平面ADE BC PADOAE OPA 平面ADEPA BCPA PB PA 平面PBCPBBC B（2）解：分别以OE,OD

13、所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.则3 13 12B(,0)，C(,0)，E(0,1,0)，P(0,0,)，A(0,-1,0)222223123 1CP (,),CB (3,0,0),CE (,0)2222232由（1）知AP (0,1,)是平面PBC的法向量，AP 22设平面EPC的法向量是n (a,b,c)，则zyx3123n CP n CP abc 0a b2223n CE n CE 3a1b 0c 2b22103,1,2)，n 令b=1，得n (33AP n112 5设AP,n，则cos5310AP n232 5二面角B-PC-E的余弦值为.519（12 分）甲、乙、丙

14、三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率解：（1）甲连胜四场的概率为1.211111222216（2）根据赛制，至少需要进行4场比赛，至多需进行5场比赛。71；161乙连胜四场的概率为；16甲连胜四场的概率为丙上场后连胜三场的概率为1；81113

15、-=16 16841；81，16所以需要进行第五场比赛的概率为1-丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束，且丙最终获胜的概率为比赛五场结束，且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空的结果，有三种情况：()胜胜负胜；（)胜负空胜；()负空胜胜.其概率分别为111115，；共+=.88168816157 丙最终获胜的概率为+=816 1620（12 分）x22已知 A，B 分别为椭圆 E：2 y 1a 1 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，aAG GB 8P为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线

16、CD 过定点解：（1）A(a,0),B(a,0),G(0,1)，AG GB 8，即(a,1)(a,1)8 a218 a 3x2 y21E 的方程为9（2）设P(6,m)，则PA:y mm(x3),PB:y(x3)93当m=0 时，直线CD为x轴，纵坐标为0.（定点必在x轴上）m3m227y(x3)xC 29m 9当m 0时，解方程组2得x y21y 6mCm29 9m3(m21)y(x3)xD23m 1解方程组2得x y21y 2mDm21 96m2m224mm 9m 1kCD3m2273(m21)3(m23)2m 9m21833，所以，所求定点为(,0).222m4m3(m21)直线CD:y

17、2x22m 13(m 3)m 1当m 3时，CD x轴，此时xC xD2m4m33(m21)下面证明当m 3时，02恒成立.22m 13(m 3)2m 12m4m33(m21)22202 m 3 2(m 1)(m 1)3 322m 13(m 3)2m 13显然恒成立.所以，直线 CD 过定点(,0)221已知函数f(x)exax2 x（1）当 a=1 时，讨论 f x 的单调性；x31，求（2）当 x0 时，f(x)2解：（1）当a 1时,f(x)ex x2 x，f(x)ex2x1 0 x 0当x 0时，f(x)0，当x 0时，f(x)0，f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增

18、.132x ax x1x1，即g(x)2（2）当 x0 时，f(x)1x2e3 g(x)x(x2)(x2a1)0 x1 2a1,x2 2x2e若a 1，则g(x)0，g(x)在0，+）上单调递减，2g(x)max g(0)1，符合题意.若a 1，则当x0,2)时，g(x)0，g(x)单调递增，2g(x)g(0)1，不合题意.若11 a 22x0（0,2a 1)2a1(2a1,2)-0+20(2,+)-g(x)9g(x)1递减极小值递增极大值递减依题意g(x)max74a7e2 g(2)1 a 2e47e21 a 4213132x ax x1x x1122若a，则g(x)h(x)，由知h(x)1

19、2exexg(x)h(x)1，符合题意7e2综上所述：a 的取值范围是,4（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）x coskt在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数）以坐标原点为极ky sin t点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin 3 0（1）当 k=1 时，C1 是什么曲线？（2）当 k=4 时，求 C1与 C2的公共点的直角坐标解：（1）当 k=1 时，C1:x2 y21表示圆心在原点，半径为1的圆.2x cos4tx

20、 cos tx y 1（2）当 k=4 时，42y sin ty sin t4cos16sin 3 0 4x16y 3 0由得x 1y，代入得4(1y)216y 3 0 2y 16y 7 01 1 1，故 C1与 C2的公共点的直角坐标为，44 4y 11 y 24从而x 10 x cos4t444cos t 16sin t 3 0（2）当 k=4 时，把代入 4x-16y+3=0 得4y sin t(2cos2t 4sin2t)(2cos2t 4sin2t)3 01cos2t 2(1cos2t)1cos2t 2(1cos2t)3 0(3cos 2t 1)(cos2t 3)3 0 cos2t(

21、3cos 2t 10)0 cos2t 021cos2t14x cos t 2421cos2t 14y sin t 24C1与 C2的公共点的直角坐标为，23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 f x|3x 1|2|x 1|（1）画出 y f x 的图象；（2）求不等式 f x f x 1 的解集解：（1）f x|3x 1|2|x 1|可化为 1 1 4 4y=f(x+1)1x3,x ;31f(x)5x1,.x 1;3x3,x 1.81f(1)2；f；f(1)4；f(2)5；3318有 A（-1，2），B,，C（1，4），D（2，5）33作射线BA，作线段BC，作射线CD，即得函数 y f x 的图象.（2）把函数 y f x 的图象向左平移1个单位得到函数 y f x+1 的图象.y x37解方程组 x ，6y 5(x1)1由图象可知不等式 f x f x 1 的解集为x|x 7611