极限习题及答案：极限的四则运算.pdf

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1、分类讨论求极限分类讨论求极限例例已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p q，且p 1，q 1，设cn anbn，Sn为数列Cn的前n项和，求lim（1997 年全国高考试题，理科难度0.33）Sn.nS 1na1pn1b1qn1解：解：Snp1q1Sna1q1pn1 b1p1qn1.Sn1a1q1pn11 b1p1qn11分两种情况讨论；（1）当p 1时，p q 0，故0 q1，plimSnnSn1 qn1 1 npa1q11pnb1p1pnpnlimn1 q1 1 pn1a1q1 1b p11n1n1n1ppp pa1q110b1p10a1q1 10 b1p1

2、0a1q1 pa1q1 p（2）当p 1时，0 q p 1，limSnnSn1a1q1pn1 b1p1qn1 limnaq1pn11 bp1qn1111a1q101b1p101a1q101b1p1011/13a1q1b1p11.a1q1b1p1说明：说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法自变量趋向无穷时函数的极限自变量趋向无穷时函数的极限例例 求下列极限：x45x21（1）limx1 x22x4x3x2（2）limx2x212x1分析：分析：第（1）题中，当x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用

3、极限的运算法则”型，变形x3x2第（2）题中，当x 时，分式2与都趋向于，这种形式叫“”2x 12x1型，变形的一般方法是先通分，变成“0”型或“”型，再求极限05112442x 5x 1xx解：解：（1）lim limx1 x22x4x112x4x251lim1lim2lim41001xxxxx.112lim4lim2lim2002xxxxxx3x2x3(2x1)x2(2x21)lim（2）lim2x2x21x2x1(2x 1)(2x1)x x limx(2x21)(2x1)x11(22)(2)xx1lim(1)101xx11lim(22)lim(2)(20)(20)4xxxx说明：说明：“

4、”型的式子求极限类似于数列极限的求法 lim3211x无穷减无穷型极限求解无穷减无穷型极限求解例例求极限：（1）lim(1 x x 1 x x)x22（2）lim(1 x x 1 x x)x22分析：分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限解：解：（1）原式xlim2x1 x x2 1 x x2xlim2 x21 x x2 1 x x2 2xlim111 1.x2x1x21x1（2）原式2xxlim1 x x2 1 x x2xlim2111.x21x1 x21x1说说明明：当x 0时，x x22x2 x x2 1 x x21111 21x2xx21x1利用运算

5、法则求极限利用运算法则求极限例例计算下列极限：（1）limn1n214n217n213n2n21；（2）11nlim391271n11 3n.（1992 年全国高考试题，文科难度0.63）因此，1n3n1解解：（1）原式 lim22nn 11323n nn3.lim limn2 n21n2222n（2）原式 lim11133113nnn11 lim1n431110.44说明：说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式 lim（2）原式14

6、3n2limlimnn21nn21nn2111111111n113 limlimlimlim10 n3n9n27n3n39271413用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限p111n*例例设p N，求limn1n11分析：分析：把1n1解：解：1n11n1np1p1用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得p11C1p11122p11p1Cp()C1p1()nnn112123p11p C1C()CCp1p1p1p1()nnn11nlimn1np11 C1p1 p1或：逆用等比数列求和公式：p1121原式 lim111 1 nnnn111

7、p1 p1个1说明：说明：要注意 p 是与 n 无关的正整数，1np1不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等零乘无穷型转化为无穷除无穷型零乘无穷型转化为无穷除无穷型例例求lim(n1n)n.n分析：分析：当n 时，所求极限相当于0型，需要设法化为我们熟悉的解：解：lim(n1n)nn型 lim lim(n1n)(n1n)nn(n1n)nnn1n11 lim.n2111n说明：说明：对于这种含有根号的0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现 如本题是通过分子有理化，从而化为n，即

8、为型，也可以将分子、分母同除以nn1n的最高次幂即n，完成极限的计算根据极限确定字母的范围根据极限确定字母的范围4n1例例已知limn2，求实数 m 的取值范围n4(m2)n16分析：分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决4n解：解：limn2 limn4(m2)nn1 m2164n116于是m21，即4 m2 4,6 m 241m2说明：说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim可知，的nn416m2164极限必为 0，而q 0的充要条件是q 1，于是解不等式n1nm214零比零型的极限零比零型的极限10例例求limx01 x 1x101 x 10分析：分析

9、：这是一个型的极限，显然当x 0时，直接从函数分子、分母中x010约去 x 有困难，但是101 x 1当x 0时也趋近于 0，此时x 化为(101 x)1，这就启10发我们通过换元来解决这一难题，即设y 101 x，则x y110解：解：设y 101 x，则x y1，于是，当x 0时，y 1原式 limy1y111 limy101y1y9 y8 y 110说明：说明：本题采用的换元法是把x 0化为y1 0，这是一种变量代换灵活地运用这种代换，可以解决一些0型的极限问题0 x21例如对于lim，我们一般采用因式分解，然后约去x1，得到lim(x1)2 其x1x1x1实也可以采用这种代换，即设t

10、x1，则当x 1时，t 0，这样就有x21(t 1)21lim lim lim(t 2)2.x1x 1t0t0t组合与极限的综合题组合与极限的综合题nC2例例limnn()nC12n2A0B2C11D24分析分析：将组合项展开后化简再求极限nC2解：解：limnnnC12n2(2n)!(n1)!(n1)!limnn!n!(2n2)!(n1)2 limn(2n1)(2n2)n22n11 lim2.n4n 6n24故应选 D说明：说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念高考填空题高考填空题1计算lim(nnn)_.n21(nN*)，则lim(a1n2an)_.nn(n1)2若数列an的通项公式是a

11、n3计算：lim(nn3n)_.n1n22nn22n1解析lim lim11nn2nn2n2n2nn2 e21说明：利用数列极限公式lim1 e，把原题的代数式稍加变形即可获解本题nn主要考查灵活运用数列极限公式的能力2解析an11,a1.n(n1)211limn2n2n(n1)1113 lim()1.n21221n说明：本题的思考障碍点是如何求a1？只要懂得在通项公式中令n 1，可立得a1的具体值，本题考查数列极限的基本知识3解析lim(nn3n)n1n122 lim(1)nn12nn1 e2说明：本题考查数列极限公式的应用根据已知极限和四则运算求其它极限根据已知极限和四则运算求其它极限例例

12、若lim2nan1，且liman存在，则lim(1n)an _.nnnA0B11CD不存在22分析：分析：根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论解：解：lim2nan1,limnan存在,nnlimannlim2nannn lim1 0 liman 0n2nnn又lim2nan1,limnan12nnlim(1n)an lim(annan)limanlimnan 0nn1122即lim(1n)an.n12选 C说明：说明：liman是关键，不能错误地认为liman 0，lim(1n)an 0nnn两个数列an、bn的极限存在是两个数列的和差、积存在极限的

13、充分条件但an的极限不一定存在bn化简表达式再求数列的极限化简表达式再求数列的极限例例求下列极限（1）lim572n13222nn21n 1n 1n 11111n393（2）limn1111n242（3）limn11 n 131111145n2分析：分析：先运用等差数列、等比数列的前 n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算解：解：（1）原式 lim357(2n1)2nn 121n(n2)n1 lim2 limnn 1n112n31123nn114lim3（2）原式 limn1n3n1n121 221lim1lim4nn34 103n33 1041lim1limnn2

14、（3）原式 limnnn2 3 4n12n lim 2.n3 4 5n2n2说说 明明：先 化 简，再 求 极 限 是 求 极 限 经 常 用 到 的 方 法，不 能 认 为2n135lim2 0,lim2 0,lim2 0而得到（1）的结果是 0nn 1nn 1nn 1无穷比无穷和字母讨论的数列极限无穷比无穷和字母讨论的数列极限例例求下列极限：2n153n11an(a 0)（1）lim（2）limn32n43nn1an分析：分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子 第（2）题中当 a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形

15、进行讨论 221522n153n3 lim解：解：（1）原式 limnn32n43nn 2343 22limlim15n3n2015 15.n3044 23limlim4n3n1 an11 lim 0，（2）当0 a 1时，limn1 ann11nn 1 11lim lim1na1 anan01 1.lim当a 1时，limnnn1 ann01 1 11lim lim1nnaa说明：说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为nnliman 0n根据极限确定等比数列首项的取值范围根据极限确定等比数列首项的取值范围例例已知等比数列an的首项为a1，公比为 q，且有lim值

16、范围分析：分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知limq存在，因此可得q 的取值范围，nn a11qn2，求a1的取n1q从而确定出a1的取值范围解：解：由lim a11nlimq，得存在qn 2nn1qq 1且q 0或q 1 当q 1时，有a11，1q2q 2a11，2a1 1解得0 a11，又q 0，因此a112 a111，a1 3n22当q 1时，这时有lim综上可得：0 a11，且a11或a1 32说明：说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑 q 的特点，容易将q 0这一条件忽视，从而导致错误求函数在某一点处的极限求函数在某一点处的极限例

17、例求下列极限：3x22x33（1）limx2x24x 22x217x35（2）lim2x5x 13x40sin2x（3）limx01cos3x（4）lim612x3x3x 9分析：分析：第（1）题中，x 2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“0”型，必须先对函数变形，然后施行四0则运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算3x22x33x22x33lim3解：解：（1）lim limx2x24x2x24x2x 2x 2lim(3x2)x2lim(x 4)x22lim2x3x2lim(x32)x23limxli

18、m2x2x2limx lim4x2x232limx3limx lim2x2x2x233222228132312 42 255.2x217x35(x5)(2x7)2x72(5)7 lim lim 1.（2）lim2x5x 13x40 x5(x5)(x8)x5x8(5)8sin2x1cos2x1cos lim lim（3）limx01cos3xx0(1cos x)(1cos xcos2x)x01cos xcos2x112.11136(x3)611112 lim lim.2x3x3x3x3x 9x 9x3336（4）lim16不存在，lim2也不存在，因此（4）式的x3x3x3x 90极限不存在（4

19、）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”0说明：说明：不能错误地认为，由于lim型，再求极限函数在某一点处零比零型的极限函数在某一点处零比零型的极限例例求下列极限：（1）limtan xsin x1x（2）limx2x113xsin3x分析：分析：第（1）题中，当x 1时，分子、分母的极限都是 0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：对多项式进行因式分解；对无理式分子或分母有理化；对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分解：解：（1）原式 lim(1x)(1x)(13x 3x2)(13x)(13x 3x2)(1x)x1(1 x)(13x 3x2)limx1(1 x)(1x)(13x 3x2)1113 lim.x11121xsin xsin xsin xsin xcoscosx（2）原式 lim limx2x2sin3xsin3xcosx1cos1 limx2sin2xcosx2(1cosx)cosx11.(11)12 lim说明：如果分子、分母同乘以13x，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是(13x 3x2)友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！