[高三] 2.4《极限的四则运算(2)》旧人教 选修二.pdf

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1、2.52.5 极限的四则运算极限的四则运算(2)(2)教学目的：教学目的：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限教学重点：教学重点：运用数列极限的运算法则求极限.教学难点：教学难点：数列极限法则的运用.授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数a，那么就说数列an以a为极限.记作liman an2.几个重要极限：（1）lim1 0（2）limC C（C 是常数）nnnnn（3）无穷等比数列q（q 1）的极限是

2、 0，即limq 0(q 1)n3.函数极限的定义:(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作：xlimf(x)=a，或者当x+时，f(x)a.(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作xlimf(x)=a或者当x时，f(x)a.(3)如果xlimf(x)=a且limf(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，x记作：limf(x)=a或者当x时，f(x)a.x4.常数函数f(x)=c.(xR

3、 R)，有limf(x)=c.xlimf(x)存在，表示limf(x)和limf(x)都存在，且两者相等.所以limf(x)中的既有+，又有xxxx的意义，而数列极限liman中的仅有+的意义x5.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x无限趋近于x0（x x0）时，如果函数y f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向x0时，函数y f(x)的极限是a，记作lim f(x)a特别xx0地，limC C；limxx x0 xx0 x06.lim f(x)a limxx0 xx0f(x)xlimx0f(x)a7.对于函数极限有如下的运算法则：如果limxxf(x)A,lim g(x)B，那么lim

4、f(x)g(x)A B,oxxoxxoxlimx f(x)g(x)AB,limf(x)oxxg(x)AB(B 0)o当 C 是常数，n 是正整数时:lim nnxxCf(x)Climxf(x),limf(x)limf(x)oxoxxoxxo这些法则对于x 的情况仍然适用二、讲解新课：二、讲解新课：1.数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果liman A,limbn B,那么nnlimn(anbn)A Blimn(anbn)A Blim(an.bn)A.BlimannnbA(B 0)nB2.推广：上面法则可以推广到有限有限多个数列的情况如，若an，bn，lim(anbncn)limn

5、an limnbn limncnn三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 已知limnan 5,limnbn 3，求limn(3an4bn).解：因为limnan 5,limnbn 3，所以lim(3nan4bn)lim3nanlim4nbn3limnan4limnbn1512 3例例 2 2求下列极限：（1）lim(54（2）12nn)；limn(n1)解：（1）lim(544nn)lim5nlimnn 50 5；（2）lim(1nn1)2(lim1nnlim1)2n(01)21例例 3 3 求下列极限：(1)lim123n22n2 n3n3 nn(n2n).(2)limnn.(3)lim

6、n3n2 2.(4)limn2n4n2.解：(1)lim1n(n22n)lim1nn2lim2nn 0 2lim1nn 00 有极限，则(2)(方法一)lim3n2221lim(3)lim3lim 32lim 303.nnnnnnnnn(方法二)n，n0.分子、分母同除 n 的最高次幂.lim3n2 limnnn322lim(3)nnn33.1lim11n第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是 3n2+2，有常数项，所以(2)的方法一就不能用了.111lim(2)lim2lim2n nnnnnnn202.lim(3

7、)limn3n22n22232lim(32)lim3lim2303nnnnnn22规律一：一般地，当分子与分母是关于 n 的次数相同的多项式时，这个公式在 n时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.解：(4)分子、分母同除 n 的最高次幂即 n4，得.3131limlim3nnnn33n3 n00nnlim4 lim 0.n2n n2n1122lim2lim220nnnn规律二：一般地，当分子、分母都是关于 n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n时，这个分式极限为0.例例 4 4 求下列极限.n233n2 33n15n).(2)lim(1)lim(.(3)lim.nn1nnn1n

8、123n 3n 3n nn3n1.lim(n)limlimlim解：(1)nn1nnn1n1n11n222123n2 3n(2)limlimnn12n11n33n3 03.102n3153152lim2limnnn3n1500nnnnn(3)limlim0.nn11n1101lim1limnnnn说明：当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在四、课堂练习四、课堂练习：1已知liman 2,limbn nn1，求下列极限：3（1）lim(2an 3b

9、n)；（2）limnan bnnan2.求下列极限：（1）lim(4n1（2）lim)；nn235n3.求下列极限：5n 2n2n 1n3n 2（1）lim；（2）lim；（3）lim；（4）limn3n21nn3n 2n1 n2n4.已知lim an 3,limbn 5,求下列极限：nn（1）.lim(3an 4bn).（2）.limnanbnna bnn答案：1.3 7/6 24-2/53.1 1/3 0-2/34.-11 -1/4五、小结五、小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的和或积是成立的求数列极限的一种主要的方法就是分子

10、、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了.六、课后作业六、课后作业：求下列极限:11123n211 3n1.（1）lim(7);（2）.lim(25)；（3）lim(4)；(4).lim；(5).lim；2nnnnnn nn1n2n1n2 14n2n17 5n)；(6).lim；(7).lim2；（8）lim(2n n 9n6n 11n1nn 111 nn an242；（9）lim（10）.已知liman 2,求limnn ann111n1 n3931答案：7-5 0-1 1/4 5/6 0-4 4/3 1.七、板书设计七、板书设计（略）八、课后记：八、课后记：