2019年高考真题数学卷含答案.pdf

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1、-2019 年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的、号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的、号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式

2、：1n1n2样本数据x1,x2,xn的方差s xi x，其中x xini1ni12柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高锥体的体积V 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高3一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位置上置上1已知集合A 1,0,1,6，B x|x 0,xR R，则AB.2已知复数(a 2i)(1i)的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数a的值是.3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.-.可修编.-4函数y 76x x2的定义域

3、是.5已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是.y27在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 21(b 0)经过点（3，4)，则该双曲线的b2渐近线方程是.*8 已知数列an(nN)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5a8 0,S9 27，则S8的值是.9如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.10 在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y x的距离的最小值是.11 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲

4、线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A的坐标是.4则点P到直线x+y=0(x 0)上的一个动点，x-.可修编.-12如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若ABAC 6AOEC，则AB的值是.AC13已知tan2，则sin2的值是.34tan414设f(x),g(x)是定义在 R R 上的两个周期函数，f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且k(x2),0 x 1，f(x)是奇函数.当x(0,2时，f(x)1(x1)2，g(x)1,1 x 2 2其中k0.若在区间(0，9上，关于x的方程f(x

5、)g(x)有 8 个不同的实数根，则k的取值围是.二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6小题，共计小题，共计9090分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=2，cosB=2，求c的值；3（2）若sin AcosB，求sin(B)的值2a2b16（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E-.可修

6、编.-17（本小题满分 14 分）x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(a b 0)的焦点为F1（1、0），abF2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x1)2 y2 4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=52（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标18（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离

7、均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；-.可修编.-（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离19（本小题满分 16 分）设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR、f(x)为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和f(x)的零点均在集合3,1,3中，求f（x）的极小值；（3）若a0

8、,0b 1,c1，且f（x）的极大值为M，求证:M20（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M 数列”.*（1）已知等比数列an(nN N)满足：a2a4a5,a34a24a40，求证:数列an 为427“M 数列”；（2）已知数列bn 满足:b11,求数列bn 的通项公式；设m为正整数，若存在“M 数列”(nN N)，对任意正整数k，当km时，都有ckbkck 1成立，求m的最大值*122，其中Sn为数列bn 的前n项和Snbnbn 1数学数学(附加题附加题)2121【选做题】【选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C 三小题，三小题，请选定其中两小题，请选

9、定其中两小题，并在相应的答题区域作答并在相应的答题区域作答若若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）-.可修编.-31已知矩阵A A 22（1）求A A；2（2）求矩阵A A的特征值.B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A3,sin，直线l的方程为,B2,3.442（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设xR R，解不等式|x|+|2 x1|2.

10、【必做题】第【必做题】第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域作答，解答作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤n222.（本 小 题 满 分 10 分）设(1 x)a0 a1x a2x anxn,n 4,nN N*.已 知2a3 2a2a4.（1）求n的值；（2）设(13)n ab3，其中a,bN N*，求a23b2的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An(0,0),(1,0),(2,0),(n,0)，Bn(0,1),(n,1),

11、Cn(0,2),(1,2),(2,2),令Mn An离.（1）当n=1时，求X的概率分布；,(n,2),nN N.BnCn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距-.可修编.-2019 年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学答案数学答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题每小题5 5分，共计分，共计7070分分.1.1,62.28.163.54.1,75.576.7.y 2x3109.1010.412211.(e,1)12.313.14.,1034二、解答题二、解答题15.15.本小题主要考查正弦

12、定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力算求解能力.满分满分1414分分.解：（1）因为a 3c,b 2,cos B 2，3a2c2b22(3c)2c2(2)21由余弦定理cosB，得，即c2.323cc2ac3所以c 3.3sin AcosB，a2bcosBsin Bab由正弦定理，得，所以cosB 2sin B.2bbsin Asin B422从而cos B (2sin B)，即cos2B 41cos2B，故cos2B.5（2）因为因为sinB 0，所以cosB 2sin B 0，从

13、而cosB 2 5.5因此sinB2 5.cosB 2516.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力想象能力和推理论证能力.满分满分 1414 分分.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，-.可修编.-所以A1B1ED.又因为ED 平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱

14、，所以CC1平面ABC.又因为BE 平面ABC，所以CC1BE.因为C1C 平面A1ACC1，AC 平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E 平面A1ACC1，所以BEC1E.17.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分满分 1414 分分.解：（1）设椭圆C的焦距为 2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以

15、F1F2=2，c=1.又因为DF1=553，AF2x轴，所以DF2=DF12F1F22()222，222因此 2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b=a-c，得b=3.2222x2y21.因此，椭圆C的标准方程为43（2）解法一：x2y21，a=2，由（1）知，椭圆C：43因为AF2x轴，所以点A的横坐标为 1.将x=1 代入圆F2的方程(x-1)+y=16，解得y=4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.22y 2x2由，得5x26x11 0，22(x1)y 16解得x 1或x 11.5-.可修编.-1112代入y 2x2，得y ，55

16、11123因此B(,).又F2(1，0)，所以直线BF2：y(x1).554将x 3y(x1)1342x x 1由2，得，解得或.7x 6x13 02xy713 4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x 1.将x 1代入y 解法二：333(x1)，得y .因此E(1,).224x2y21.如图，连结EF1.由（1）知，椭圆C：43因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而BF1E=B.因为F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴.x 13因为F1(-1，0)，由x2y2，得y .213 4又因为E是线段BF2与椭圆的交

17、点，所以y 3.23E(1,).因此218.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分满分1616分分.解：解法一：解：解法一：（1）过A作AE BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE BE AC 6,AE CD 8.因为PBAB，所以cosPBD sinABE 84.105-.可修编.-所以PB BD1215.cosPBD45因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D

18、处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知AD AE2 ED210，AD2 AB2 BD27 0，所以BAD为锐角.从而cosBAD 2AD AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在PPB中，PB PB11由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ QA2 AC215262 3 21.此时，

19、线段QA上所有点到点O的距离均不小于-.可修编.-圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=3 21时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21（百米）.解法二：解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x+y=25.22从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为因为PBAB，所以直线PB的斜率为直线P

20、B的方程为y 3.44，3425.x33所以P（13，9），PB(134)2(93)215.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：y 3x6(4 x 4).421515222在线段AD上取点M（3，），因为OM 3 3 4 5，44-.可修编.-所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在PPB中，PB PB11由上可知，d15.

21、再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ(a4)2(93)215(a 4)，得a=43 21，所以Q（43 21，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（43 21，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ 43 21(13)17 3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173 21（百米）.1919本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及

22、逻辑推理能力满分以及逻辑推理能力满分1616分分解：（1）因为a b c，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3因为f(4)8，所以(4a)8，解得a 23（2）因为b c，所以f(x)(xa)(xb)x(a 2b)x b(2a b)xab，从而f(x)3(xb)x23222a b 2abx f(x)0令，得或x b33-.可修编.-2ab，都在集合3,1,3中，且a b，32ab所以1,a 3,b 33因为a,b,此时f(x)(x3)(x3)，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x 3或x 1列表如下：2xf(x)(,3)+30极大值2(3,1)10极小值(1,)+f(x)所以

23、f(x)的极小值为f(1)(13)(13)32（3）因为a 0,c 1，所以f(x)x(xb)(x1)x(b1)x bx，32f(x)3x22(b1)xb因为0b1，所以 4(b1)12b (2b1)3 0，22则f(x)有2个不同的零点，设为x1,x2x1 x2b1b2b1b1b2b1,x2由f(x)0，得x133列表如下：xf(x)(,x1)+x10极大值x1,x2x20极小值(x2,)+f(x)所以f(x)的极大值M fx1解法一：3M fx1 x1(b1)x12bx122 b b1xb1b(b1)213x12(b1)x1bx 13999-.可修编.-2b2b1(b1)27b(b1)29

24、27b b123b(b1)2(b1)2(b1)2(b(b1)1)32727274b(b1)24因此M 27272727解法二：因为0b1，所以x1(0,1)当x(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)2令g(x)x(x1),x(0,1)，则g(x)3x(x1)令g(x)0，得x 2131列表如下：3xg(x)g(x)所以当x 1(0,)3+130极大值1(,1)3114时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g3327所以当x(0,1)时，f(x)g(x)44，因此M 27272020本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转本小题主

25、要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分1616分分解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.a12q4 a1q4a2a4 a5a11由，得2，解得a 4a 4a 0q 2a q 4a q4a 0213111因此数列an为“M数列”.122（2）因为，所以bn 0Snbnbn1-.可修编.-122，则b2 2.b 1,S b由111得11b2bnbn1122S 由，得n，2(bn1bn)Snbnbn1b bbb当n 2时，由bnn1n Sn Sn1，得b

26、n2bbn1 n，n1n2bnbn1整理得bn1bn1 2bn所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=nnN N*.由知，bk=k，kN N*.因为数列为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以qk1 k qk，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有lnkk lnq lnkk 1设f（x）=lnxx(x 1)，则f(x)1lnxx2令f(x)0，得x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)f(x)+0f（x）极大值因为ln2ln2ln86ln96ln33，所以f(k)3max f(3)3取q 33，当k

27、=1，2，3，4，5时，lnkklnq，即k qk，经检验知qk1 k也成立因此所求m的最大值不小于5-.可修编.-351515若m6，分别取k=3，6，得3q，且q6，从而q243，且q216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5数学数学(附加题附加题)参考答案参考答案2121【选做题】【选做题】A A 选修选修4 42 2：矩阵与变换：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分1010分分31解：（1）因为A A，2231312A A 所以2222=33123112

28、 115=10623222122（2）矩阵A A的特征多项式为f()3212254.令f()0，解得A A的特征值11,2 4.B B 选修选修4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分1010分分解：（1）设极点为O.在OAB中，A（3，），B（2，），42由余弦定理，得AB=3(2)232cos(22)5.24（2）因为直线l的方程为sin()3，4则直线l过点(3 2,)，倾斜角为2343(3 2 2)sin()2.B(2,)又，所以点B到直线l的距离为42

29、2-.可修编.-C C 选修选修4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分1010分分1x12x 2解：当x0时，原不等式可化为，解得x2，即x时，原不等式可化为x+2x12，解得x1.2综上，原不等式的解集为x|x 或x 1.22.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分解能力，满分1010分分122nnCnx，n 4，解：（1）因为(1

30、 x)n C0nCnxCnx n(n1)n(n1)(n2)2,a3 C3所以a2 Cn，n26n(n1)(n2)(n3)a4 C4n2413因为a3 2a2a4，所以2n(n1)(n2)2n(n1)n(n1)(n2)(n3)2，6224解得n5（2）由（1）知，n5(13)n(13)5022334455C5C153C5(3)C5(3)C5(3)C5(3)a b 3解法一：解法一：024135*因为a,bN N，所以a C53C59C5 76,b C53C59C5 44，从而a23b2 7623442 32解法二：解法二：022334455(1 3)5C5C15(3)C5(3)C5(3)C5(3

31、)C5(3)-.可修编.-022334455C5C153C5(3)C5(3)C5(3)C5(3)因为a,bN N，所以(13)5 ab 322555因此a 3b (a b 3)(a b 3)(13)(13)(2)32*2323【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分考查逻辑思维能力和推理论证能力满分1010分分2，5解：（1）当n 1时，X的所有可能取值是1，2，X的概率分布为P(X 1)7744,P(X 2)，22C615C615P(X 2)222

32、2,P(X 5)22C615C615b)和B(c，d)是从Mn中取出的两个点（2）设A(a，因为P(X n)1 P(X n)，所以仅需考虑X n的情况若b d，则AB n，不存在X n的取法；d 1，若b 0，则AB(ac)21 所以X n当且仅当ABn21，n21，c n或a n，c 0，有 2 种取法；此时a 0，d 2，则AB(ac)24 n24，因 为 当n3时，若b 0，c n或(n1)24 n，所 以X n当 且 仅 当ABn24，此 时a 0，a n，c 0，有 2 种取法；d 2，若b 1，则AB(ac)21 所以X n当且仅当ABn21，n21，c n或a n，c 0，有 2 种取法此时a 0，综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和n24，且P(X n21)4C22n4,P(X n2 4)22C2n4P(X n)1 P(X n21)P(X n24)1因此，6C22n4-.可修编.