钢管下料.pdf

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1、20122012 年西安铁路职业技术学院第二届大学生数学建模竞赛年西安铁路职业技术学院第二届大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了西安铁路职业技术学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参

2、赛选择的题号是（从 C/D 中选择一项填写）：D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安铁路职业技术学院参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2012年 6月 10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20122012 年西安铁路职业技术学院第二届大学生数学建模竞赛年西安铁路职业技术学院第二届大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页评阅人评分备注赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：交卷邮箱：交卷时间：截止 2012 年 6 月 11 日早 8:30论文

3、题目：论文题目：关于钢管下料的最优解关于钢管下料的最优解目录一一.摘摘要要2.2.二二.问问题的提出题的提出3 3三三.问问题的分析题的分析3 3四四.建建模过程模过程(3 至 8)1.1.模型假设模型假设.(3.(3 与与 4)4)2.2.定义符号和说明定义符号和说明.（4 4 与与 5 5）3.3.模型建立模型建立（5 5 至至 7 7）4.模型求解模型求解.（7 与 8）五五.结果分析、模型的评价与改进结果分析、模型的评价与改进（8 与 9）六六.参参考文献考文献.9.9七七.附附录录.（9 至 20）1.用 Matlab 求解切割模式种类的程序及解（9 至 10）2.用 LINGO 求

4、解余料与根数最优解的程序及解.（11 至 20）1一一.摘要摘要在生产中常常会遇到这样的问题，就是我们通过用切割、剪裁、冲压等手段将原材料加工成所需大小，这种工艺称为原料下料问题。本问题研究的是原料钢管如何下料（切割）使得总费用最少，所以在我们考虑建模时主要考虑如何根据顾客的不同需求对原料钢管进行下料，使得不仅总的费用最小，并且余料浪费最少。根据题意，我们采用数学中的线性规划模型，对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件 Lingo，对题目所提供的数据进行计算，从而得到最优解。、关键词：关键词：线性规划最优解钢管下料2二、问题提出、问题提出某钢管零售店从钢厂管进货，将

5、钢管按照顾客的要求切割出售。已知从钢管厂进货得到的钢管长度都是1850mm，现在一顾客需要15 根 290mm,28根 315mm,21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割方式的种类不能超过 4 种，并且使用频率最高的一种切割模式按照一根原料价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照 2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的次数不能太多（一根原材料最多生产 5 根产品），此外余料不能超过 100mm，所以为了减少费用，该如何去下料？三、问题的分析三、问题的分析从问题中，首先我们要确定合理的切割模式，其次对于不同的模式进行分别计

6、算得到加工费用，然后比较不同的切割模式，按照一定的排列组合，得到最优的切割模式组，从而使得总费用最小。四.建模过程1.模型假设1）每根钢管的长度相等2）不考虑偶然因素导致的失误33）不考虑其它费用4）不靠虑市场的价格波动5）每根管子质量相同且切割无损耗2.2.符号定义和说明：符号定义和说明：j j每根管子的价格i1,2,3，18 这几个自然整数r单根管子剪裁剩余的长度k1单根管子剪裁 290mm 规格的数量k2单根管子剪裁 315mm 规格的数量k3单根管子剪裁 350mm 规格的数量k4单根管子剪裁 455mm 规格的数量xi按照第 i 种模式切割的原来哦钢管的根数ri第 i 种模式的余料z

7、1切割后剩余的总余料量z2切割原料钢管的总根数ai第 i 种模式下 290mm 钢管的根数bi第 i 种模式下 315mm 钢管的根数ci第 i 种模式下 350mm 钢管的根数di第 i 种模式下 455mm 钢管的根数yi只能取 01 两种值的变量4M自然整数 10003.3.模型的建立模型的建立首先分析 1 根 1850mm 的钢管切割为 290mm，315mm，350mm455mm 的钢管模式，所有模式相当于求解不等式方程290k1+315k2+350k3+455k41850的整数解，但要求生于材料 r=1850-（290k1+315k2+350k3+455k4）100利用 Matla

8、b 程序求出的所有模式（见表 1）。表 1钢管切割模式模式切割的数量（根）290mm0000011122233344315mm0012301201402312350mm0532132010001010455mm4011111222020000余料（mm）3010030651005590201045107003525601234567891011121314151651718550110005085决策变量用 表示按照第 i 种模式（i=1,2,16）切割的原料钢管的数。决策目标，以切割剩余的总余料最小为目标，设第 i 种模式的余料为，测有表 5,7 可得min z1rixii118以切割原料钢

9、管的总跟数最少为目标，则有minz2xii118设第 i 中切割模式下 290mm 长的钢管 ai根，6m 长的钢管 bi根，8m长的钢管 ci根，10m 长的钢管 di根，约束条件如下为了满足客户的需求，290mm 的钢管至少 15 根，有18a xii1i15315mm 的钢管至少 28 根，有b xii118i 28350mm 的钢管至少 21 根，有455mm 的钢管至少 30 根，有c xii118i 21d xii118i 306为了实现最多使用 4 种切割模式，增加 0-1 变量 yi，i=1,2.,18。yi当=0 时，xi=0,表示不使用第种切割模式；当 yi=1 时，xi1

10、表示使用第 i 中切割模式。因此，有xiyi，xiM yi,i=1,2,.18其中 M 足够大，如取 1000。因此模式如下min z1rixii118yi118i 4minz2xii11818aixi15i118bixi 28i118cixi 21i118dixi 30s.t.i1x My,i 1,2,.18iiyi xi,i 1,2,.1818yi 4i12，3,18xi取整，i 1，yi 0或1，i 1,2,3,18M足够大4.4.模型的求解模型的求解7解得：1）当所用钢管z1时求得的解为x9=15，x13=14，其余为0.目标值z1=150，z2=29.即15根钢管用模9:2根290m

11、m，0根315mm，1根350mm，2根445mm，余料为10mm；14跟采用模13:3根290mm，3根315mm，0根350mm，0根445mm余料为0mm。切割模式采用了2种，余料z1=150，使用钢管z2=29。单根钢管的价格为j，即此时总费用为29j+15*0.1+14*0.2=33.3j。2）当所用钢管z2最少时，求得的解为x3=6，x=10，x9=2，x13=1，8其余为0。目标值z1=400，z2=19.即6根钢管用模3:0根290mm，余料为30mm；10根钢管采用切割模式8:1根290mm，2根315mm，0根350mm，2根455mm余料20mm；2根钢管采用切割模式9:

12、2根290mm，0根315mm，1根350mm，2根455mm，余料1为10mm；1根钢管采用切割模式13:3根290mm，2根315mm1根350mm，0根455mm，余料为0mm。切割模式采用了4种，余料为z1=400，使用钢管z2=19。单根钢管的价格为j，即此时总费用为19j+10*0.1j+6*0.2j+2*0.3j+1*0.4j=22.2j。与余料最少时比较知所用钢管数最少时费用最低即22.2j。五、结果分析、模型的评价与改进五、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用8枚举出下料模式，对规格太多的

13、，则适用于本模型.本模型共有多达 18 种模型，数量较多所以我们用了 LINGO 软件求解，简化求解过程、提高精度。建立本模型我们先将情况理想化，做出诸多假设，减小求解难度。建模中我们用到Matlab 与 LINGO 数学上的两大强大软件。建模所求得的结果在本文模型下绝对准确，并可用于日常的真实生活解决实际问题。本模型因时间原因，做的仓促做的很简单，且有待进一步改进。语句还需要琢磨精炼。六、参考文献：六、参考文献：2012.6.10【1】肖华勇实用数学建模与软件应用（第 1 版）西北工业大学出版社【2】肖 书钢管下料（文章）2012.6.10【3】数学建模比赛预选赛数学建模比赛预选赛 B B

14、题题温室中的绿色生态臭氧病虫害防温室中的绿色生态臭氧病虫害防七、附录：七、附录：1.1.用用 MatlabMatlab 求解切割模式种类的程序及解：求解切割模式种类的程序及解：number=0;fprintf(模式290mm315mm350mm455mm余料n);for k1=0:5for k2=0:5for k3=0:5for k4=0:4r=1850-(290*k1+315*k2+350*k3+455*k4);if(r=0)&(r=15;!290mm长钢管的约束;sum(model(i):b(i)*x(i)=28;!315mm长钢管的约束;sum(model(i):c(i)*x(i)=21

15、;!350mm长钢管的约束;sum(model(i):d(i)*x(i)=30;!455mm长钢管的约束;for(model(i):x(i)=y(i);for(model(i):x(i)=1000*y(i);sum(model(i):y(i)=5;for(model(i):gin(x(i);for(model(i):bin(y(i);Endmodel/1.18/:a,b,c,d,r,x,y;解：Rows=44 Vars=38 No.integer vars=36 (all are linear)Nonzeros=178 Constraint nonz=172(110 are+-1)Densit

16、y=0.104 Smallest and largest elements in abs value=1.00000 1000.00 No.:22,Obj=MIN,GUBs=15;!290mm长钢管的约束;sum(model(i):b(i)*x(i)=28;!315mm长钢管的约束;sum(model(i):c(i)*x(i)=21;!350mm长钢管的约束;sum(model(i):d(i)*x(i)=30;!455mm长钢管的约束;for(model(i):x(i)=y(i);for(model(i):x(i)=1000*y(i);sum(model(i):y(i)=5;for(model

17、(i):gin(x(i);for(model(i):bin(y(i);End解：Rows=44 Vars=38 No.integer vars=36 (all are linear)Nonzeros=178 Constraint nonz=172(110 are+-1)Density=0.104 Smallest and largest elements in abs value=1.00000 1000.00 No.:22,Obj=MIN,GUBs=19 Single cols=1 Global optimal solution found at step:65 Objective valu

18、e:19.00000 Branch count:5 Variable Value Reduced Cost Z2 19.00000 0.0000000 Z1 400.0000 0.0000000 A(1)0.0000000 0.0000000 A(2)0.0000000 0.0000000 A(3)0.0000000 0.0000000 A(4)0.0000000 0.0000000 A(5)0.0000000 0.0000000 A(6)1.000000 0.0000000 A(7)1.000000 0.0000000 A(8)1.000000 0.000000016 A(9)2.00000

19、0 0.0000000 A(10)2.000000 0.0000000 A(11)2.000000 0.0000000 A(12)3.000000 0.0000000 A(13)3.000000 0.0000000 A(14)3.000000 0.0000000 A(15)4.000000 0.0000000 A(16)4.000000 0.0000000 A(17)5.000000 0.0000000 A(18)5.000000 0.0000000 B(1)0.0000000 0.0000000 B(2)0.0000000 0.0000000 B(3)1.000000 0.0000000 B

20、(4)2.000000 0.0000000 B(5)3.000000 0.0000000 B(6)0.0000000 0.0000000 B(7)1.000000 0.0000000 B(8)2.000000 0.0000000 B(9)0.0000000 0.0000000 B(10)1.000000 0.0000000 B(11)4.000000 0.0000000 B(12)0.0000000 0.0000000 B(13)2.000000 0.0000000 B(14)3.000000 0.0000000 B(15)1.000000 0.0000000 B(16)2.000000 0.

21、0000000 B(17)0.0000000 0.0000000 B(18)1.000000 0.0000000 C(1)0.0000000 0.0000000 C(2)5.000000 0.0000000 C(3)3.000000 0.0000000 C(4)2.000000 0.0000000 C(5)1.000000 0.0000000 C(6)3.000000 0.0000000 C(7)2.000000 0.0000000 C(8)0.0000000 0.0000000 C(9)1.000000 0.0000000 C(10)0.0000000 0.0000000 C(11)0.00

22、00000 0.0000000 C(12)0.0000000 0.0000000 C(13)1.000000 0.0000000 C(14)0.0000000 0.0000000 C(15)1.000000 0.0000000 C(16)0.0000000 0.0000000 C(17)1.000000 0.000000017 C(18)0.0000000 0.0000000 D(1)4.000000 0.0000000 D(2)0.0000000 0.0000000 D(3)1.000000 0.0000000 D(4)1.000000 0.0000000 D(5)1.000000 0.00

23、00000 D(6)1.000000 0.0000000 D(7)1.000000 0.0000000 D(8)2.000000 0.0000000 D(9)2.000000 0.0000000 D(10)2.000000 0.0000000 D(11)0.0000000 0.0000000 D(12)2.000000 0.0000000 D(13)0.0000000 0.0000000 D(14)0.0000000 0.0000000 D(15)0.0000000 0.0000000 D(16)0.0000000 0.0000000 D(17)0.0000000 0.0000000 D(18

24、)0.0000000 0.0000000 R(1)30.00000 0.0000000 R(2)100.0000 0.0000000 R(3)30.00000 0.0000000 R(4)65.00000 0.0000000 R(5)100.0000 0.0000000 R(6)55.00000 0.0000000 R(7)90.00000 0.0000000 R(8)20.00000 0.0000000 R(9)10.00000 0.0000000 R(10)45.00000 0.0000000 R(11)10.00000 0.0000000 R(12)70.00000 0.0000000

25、R(13)0.0000000 0.0000000 R(14)35.00000 0.0000000 R(15)25.00000 0.0000000 R(16)60.00000 0.0000000 R(17)50.00000 0.0000000 R(18)85.00000 0.0000000 X(1)0.0000000 1.000000 X(2)0.0000000 1.000000 X(3)6.000000 1.000000 X(4)0.0000000 1.000000 X(5)0.0000000 1.000000 X(6)0.0000000 1.000000 X(7)0.0000000 1.00

26、0000 X(8)10.00000 1.00000018 X(9)2.000000 1.000000 X(10)0.0000000 1.000000 X(11)0.0000000 1.000000 X(12)0.0000000 1.000000 X(13)1.000000 1.000000 X(14)0.0000000 1.000000 X(15)0.0000000 1.000000 X(16)0.0000000 1.000000 X(17)0.0000000 1.000000 X(18)0.0000000 1.000000 Y(1)0.0000000 0.0000000 Y(2)0.0000

27、000 0.0000000 Y(3)1.000000 0.0000000 Y(4)0.0000000 0.0000000 Y(5)0.0000000 0.0000000 Y(6)0.0000000 0.0000000 Y(7)0.0000000 0.0000000 Y(8)1.000000 0.0000000 Y(9)1.000000 0.0000000 Y(10)0.0000000 0.0000000 Y(11)0.0000000 0.0000000 Y(12)0.0000000 0.0000000 Y(13)1.000000 0.0000000 Y(14)0.0000000 0.00000

28、00 Y(15)0.0000000 0.0000000 Y(16)0.0000000 0.0000000 Y(17)0.0000000 0.0000000 Y(18)0.0000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 19.00000 1.000000 2 0.0000000 0.0000000 3 0.0000000 -1.000000 4 2.000000 0.0000000 5 0.0000000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 0.0000000 0.

29、0000000 9 0.0000000 0.0000000 10 5.000000 0.0000000 11 0.0000000 0.0000000 12 0.0000000 0.0000000 13 0.0000000 0.0000000 14 0.0000000 0.0000000 15 9.000000 0.000000019 16 1.000000 0.0000000 17 0.0000000 0.0000000 18 0.0000000 0.0000000 19 0.0000000 0.0000000 20 0.0000000 0.0000000 21 0.0000000 0.000

30、0000 22 0.0000000 0.0000000 23 0.0000000 0.0000000 24 0.0000000 0.0000000 25 0.0000000 0.0000000 26 0.0000000 0.0000000 27 0.0000000 0.0000000 28 994.0000 0.0000000 29 0.0000000 0.0000000 30 0.0000000 0.0000000 31 0.0000000 0.0000000 32 0.0000000 0.0000000 33 990.0000 0.0000000 34 998.0000 0.0000000 35 0.0000000 0.0000000 36 0.0000000 0.0000000 37 0.0000000 0.0000000 38 999.0000 0.0000000 39 0.0000000 0.0000000 40 0.0000000 0.0000000 41 0.0000000 0.0000000 42 0.0000000 0.0000000 43 0.0000000 0.0000000 44 1.000000 0.000000020