公选课-数学建模论文-钢管下料问题.pdf

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1、钢管下料问题钢管下料问题摘要摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺将原材料加工成所需大小这种工艺过程过程,称为原料下料问题称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求按照进一步的工艺要求,确定下料方案确定下料方案,使用料最省使用料最省,或利润最或利润最大是典型的优化问题大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件 Lingo

2、 11.0Lingo 11.0，对题目所提供的数据进，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解行计算，从而得出最优解.关键词关键词线性规划线性规划 最优解最优解 钢管下料钢管下料1 1、问题的提出、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售将钢管按照顾客的要求切割出售从钢管厂进货得到从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是的原材料的钢管的长度都是 1850mm1850mm，现在一顾客需要，现在一顾客需要 1515 根根 290290 mmmm，2828 根根 315315 mmmm，2121根根 350 mm350 mm 和和 3030 根根

3、455 mm455 mm 的钢管为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类的钢管为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过不能超过 4 4 种，种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/101/10 增加费用，增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 2/102/10 增加费用，以此类推，且每种增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产 5 5 根产品）根产品），此外为了减少余料，此

4、外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过 100 mm100 mm，为了使总费用最小，应该如何下，为了使总费用最小，应该如何下料？料？2 2、问题的分析、问题的分析首先确定合理的切割模式，首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同通过不同的切割模式进行比较，的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少费用最少.3 3、基本假设、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化假设每根

5、钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行进行.4 4、定义符号说明、定义符号说明（1 1）设每根钢管的价格为）设每根钢管的价格为 a a，为简化问题先不进行对，为简化问题先不进行对 a a 的计算的计算.（2 2）四种不同的切割模式：）四种不同的切割模式：x1、x2、x3、x4.（3 3）其对应的钢管数量分别为：）其对应的钢管数量分别为：r1i、r2i、r3i、r4i（非负整数）（非负整数）.5 5、模型的建立、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，由于不同的模式不能超过四种，可以用可以用xi表示表示i按照第种模式按照第种模式

6、（i=1,2,3,4=1,2,3,4）切割的切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第设所使用的第 i i 种切割模式下每根原料钢种切割模式下每根原料钢管生产管生产 290mm290mm，315mm,350mm315mm,350mm 和和 455mm455mm 的钢管数量分别为的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i（非负整数）（非负整数）.决策目标决策目标切割钢管总费用最小，目标为：切割钢管总费用最小，目标为：Min=Min=（x11.1+1.1+x21.2+1.2+x31.3+1.3+x41.41.4）a (1)a (1)为简化问

7、题先不带入为简化问题先不带入 a a约束条件约束条件为满足客户需求应有为满足客户需求应有r11x1+r12x2+r13x3+r14x415 (2)15 (2)r21x1+r22x2+r23x3+r24x428 (3)28 (3)r31x1+r32x2+r33x3+r34x421 (4)21 (4)r41x1+r42x2+r43x3+r44x415 (5)15 (5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于 1850mm1850mm 也不能小于也不能小于1750mm.1750mm.于是：于是：17501750290290

8、r11+315+315r21+350+350r31+455+455r4118501850（6 6）17501750290290r12+315+315r22+350+350r32+455+455r4218501850（7 7）17501750290290r13+315+315r23+350+350r33+455+455r4318501850（8 8）由于排列顺序无关紧要因此有由于排列顺序无关紧要因此有x1x2x3x4 (10)(10)17501750290290r14+315+315r24+350+350r34+455+455r4418501850（9 9）又由于总根数不能少于又由于总根数不能少

9、于（1515290+28290+28315+21315+21350+30350+30455455）/1850/185018.47 (11)18.47 (11)也不能大于也不能大于（1515290+28290+28315+21315+21350+30350+30455455）/1750/175019.525 (12)19.525 (12)由于一根原钢管最多生产由于一根原钢管最多生产 5 5 根产品，所以有根产品，所以有r1i+r2i+r3i+r4i5 (13)5 (13)7 7、模型的求解、模型的求解将（将（1 1）（1313）构建的模型输入）构建的模型输入 Lingo11.0Lingo11.0

10、经计算绘制成表格如下：经计算绘制成表格如下：切割模式切割模式290mm290mm315mm315mm350mm350mm455mm455mm余料余料 mmmmx1x2x30 03 30 00 02 20 01 10 02 20 03 30 01 12 21 14 46565707030303030 x4即取即取x1切割模式切割模式 1414 根及根及x2切割模式切割模式 5 5 根，即可得到最优解：根，即可得到最优解：Min=Min=（141411/10+511/10+512/1012/10）a a =21.4a =21.4a6 6、结果分析、模型的评价与改进、结果分析、模型的评价与改进下料问

11、题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模而从本模型中可以看出尽管切割模式型中可以看出尽管切割模式 x3x3、x4x4 的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7 7、参考文献、参考文献【1 1】姜启源，谢金星，叶俊】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型数学模型(第三版第三版)，清华大学出版社，第，清华大学出版社，第 1211

12、21 页页.8 8、附录、附录模型求解的算法程序：模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r

13、43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;x1+x2+x3+x4=19;x1+x2+x3+x4=x2;x2=x3;x3=x4;r11+r21+r31+r41=5;r12+r22+r32+r42=5;r13+r23+r33+r43=5;r14+r24+r34+r44=5;gin(x1);gin(x2);gin(x2);gin(x4

14、);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);end经运行得到输出如下：经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value:21.40000 Objective bound:21.40000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:1 To

15、tal solver iterations:34507 Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000