椭圆方程及几何性质精品文稿.ppt

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1、椭圆方程及几何性质第1页，本讲稿共68页基基础知知识梳理梳理 1椭圆的定的定义 (1)平面内一点平面内一点P与两定点与两定点F1、F2的距离的和的距离的和等于常数等于常数(大于大于|F1F2|)的点的的点的轨迹，迹，即即 若常数等于若常数等于|F1F2|，则轨迹是迹是 .若常数小于若常数小于|F1F2|，则轨迹迹 注意：注意：一定要注意椭圆定义中限制一定要注意椭圆定义中限制条件条件“大于大于|F1F2|”是否满足是否满足|PF1|PF2|2a|F1F2|线段段F1F2不存在不存在第2页，本讲稿共68页 (2)平面内点平面内点M与定点与定点F的距离和它到定直的距离和它到定直线l的距离的距离d的比

2、是常数的比是常数e(0e|F1F2|)M|e(0eb0)(ab0)第5页，本讲稿共68页顶点顶点轴轴对称轴：对称轴：，长轴长：，长轴长：，短轴长：短轴长：焦点焦点准线准线方程方程A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)x轴、轴、y轴轴|A1A2|2a|B1B2|2bF1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)第6页，本讲稿共68页焦半径焦半径焦距焦距离心率离心率通径通径|MF1|aex0，|MF2|aex0|MF1|aey0，|MF2|aey0|F1F2|2c(c0)，c2a2b2e (0en0

3、”是是“方程方程mx2ny21表示焦点在表示焦点在y轴上的上的椭圆”的的_条件条件答案：充要答案：充要第8页，本讲稿共68页2.已知已知椭圆的中心在原点，焦点在的中心在原点，焦点在x轴上，上，离心率离心率为 ，且，且过P(5,4)，则椭圆的方程的方程为_第9页，本讲稿共68页3(08年浙江年浙江)已知已知F1、F2为椭圆 1(5b0)的两个焦点，的两个焦点，过F1的直的直线交交椭圆于于A，B点，若点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_.解：解：由椭圆定义知由椭圆定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以，所以|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，即，即|AB|AF2|BF

4、2|4a，|AB|4a(|F2A|F2B|)45128.第10页，本讲稿共68页4（2010全国卷）已知全国卷）已知F是椭圆是椭圆C的一个焦点，的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段是短轴的一个端点，线段BF的延长线交的延长线交C于点于点D，且且BF=2FD，则，则C的离心率为的离心率为 .第11页，本讲稿共68页5（2010湖北）湖北）:已知椭圆已知椭圆的两焦点分别为的两焦点分别为 ,点点 满足满足 ,则则|+|的取值范围为的取值范围为_，直线，直线 与椭圆与椭圆C的公的公共点个数共点个数_。第12页，本讲稿共68页利用利用椭圆的定的定义可以将可以将椭圆上的点到两上的点到两个焦点的距离个焦点的

5、距离进行行转化，一般地，解决与化，一般地，解决与到焦点的距离有关的到焦点的距离有关的问题时，首先，首先应考考虑用定用定义来解来解题椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用考点一考点一第13页，本讲稿共68页例例1(09北京北京)椭圆 1的焦点的焦点为F1、F2，点点P在在椭圆上若上若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的大小的大小为_第14页，本讲稿共68页【答案答案】2120第15页，本讲稿共68页【点评点评】椭圆的定义具有鲜明的特椭圆的定义具有鲜明的特点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出现时，才会出现椭圆的定义，因此，能现时，才会出现椭圆的定义，因此，能不能应用

6、定义，也就应注意条件中是否不能应用定义，也就应注意条件中是否出现椭圆上的点与焦点的连线这种条出现椭圆上的点与焦点的连线这种条件件第16页，本讲稿共68页椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题考点二考点二例例2：求椭圆求椭圆 上的动点上的动点P到其中到其中一个焦点一个焦点F的距离的最大值和最小值。的距离的最大值和最小值。xyPF第17页，本讲稿共68页练习练习1：已知已知A(-1,1),B(1,0)点点P在椭圆在椭圆 上上运动，求运动，求PA+2PB的最小值。的最小值。练习练习2 2：求求PA-PB的范围。的范围。练习练习3 3：求求PA+PB的最大值。的最大值。第18页，本讲稿共68页练习练习4：求

7、椭圆求椭圆 上上的动点的动点P到直线到直线 的距的距离的最小值。离的最小值。第19页，本讲稿共68页例例3：设设P是椭圆是椭圆 在第一象限的点，在第一象限的点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形为原点，求四边形OAPB的面积的面积的最大值的最大值。xyAOPB第20页，本讲稿共68页练习练习（2008 全国卷全国卷 ）设椭圆）设椭圆中心在坐标原点，点中心在坐标原点，点 是是它的两个顶点，直线它的两个顶点，直线 与与 相交于点相交于点 ，与椭圆相交于，与椭圆相交于 两点。两点。（）若）若 ，求，求 的值；的值；（）求四边形）求四边形 面积的最大值面积的最大值。第21页，本讲稿共68页

8、小结：椭圆中最值问题的求解策略：小结：椭圆中最值问题的求解策略：总方针：建立目标函数（或目标不等式）总方针：建立目标函数（或目标不等式）具体方法具体方法：（1）转化成二次函数的最值问题。）转化成二次函数的最值问题。（2）利用三角换元，转化成三角函数的最）利用三角换元，转化成三角函数的最值问题。值问题。（3）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几何）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征求最值。特征求最值。（4）利用基本不等式放缩求最值。）利用基本不等式放缩求最值。第22页，本讲稿共68页 椭圆标准方程的求法准方程的求法 (1)定定义法；法；(2)待定系数法若已知焦点的位置可惟一待定系数法若已知焦点的

9、位置可惟一确定确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的的方程方程为Ax2By21，其中，其中A，B为不相等的正不相等的正常数或由已知条件常数或由已知条件设椭圆系系(如如 ，0)来求解，以来求解，以避免避免讨论和繁和繁琐的的计算算椭圆的标准方程椭圆的标准方程考点三考点三第23页，本讲稿共68页例例4第24页，本讲稿共68页第25页，本讲稿共68页(2)由题意，可知直线由题意，可知直线l的斜率存在，设的斜率存在，设直线斜率为直线斜率为k，则直线，则直线l的方程为的方程为yk(x1)，则有，则

10、有M(0，k)设设Q(x1，y1)，由于，由于Q、F、M三点共三点共线，且根据题意得线，且根据题意得(x1，y1k)2(x11，y1)，第26页，本讲稿共68页据题意得据题意得(x1，y1k)2(x11，y1)，解得解得k0，k4，所以直线所以直线l的斜率为的斜率为0或或4.第27页，本讲稿共68页【点评点评】求椭圆的方程，关键在于求椭圆的方程，关键在于寻找到能求寻找到能求a2，b2的关系式或条件，的关系式或条件，观察图形，由条件转化是常用到的解观察图形，由条件转化是常用到的解题办法题办法第28页，本讲稿共68页练习1(09年广年广东)已知已知椭圆G的中心在坐的中心在坐标原点，原点，长轴在在x

11、轴上，离心率上，离心率为 ，两个焦点，两个焦点分分别为F1和和F2，椭圆G上一点到上一点到F1和和F2的距离的距离之和之和为12.圆Ck：x2y22kx4y210(kR)的的圆心心为点点Ak.(1)求求椭圆G的方程；的方程；(2)求求AkF1F2的面的面积；(3)问是否存在是否存在圆Ck包包围椭圆G？请说明理明理由由第29页，本讲稿共68页第30页，本讲稿共68页第31页，本讲稿共68页(3)椭圆椭圆G与圆心与圆心Ak所在直线所在直线y2均关于均关于y轴对称轴对称不妨考虑不妨考虑k0的情形，此时，圆心的情形，此时，圆心Ak(k,2)到椭圆到椭圆G的右顶点的右顶点N(6,0)的距离为的距离为点点

12、N(6,0)总在圆外；若总在圆外；若k0，可知点可知点(6,0)在圆在圆Ck外外所以任何圆所以任何圆Ck都不能包围椭圆都不能包围椭圆第32页，本讲稿共68页练习练习2、（、（2010安徽理数）已知椭圆安徽理数）已知椭圆E经过点经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离轴上，离心率心率0.5。()求椭圆求椭圆E的方程；的方程；()求角求角F1AF2的角平分线所在直线的方程；的角平分线所在直线的方程；()在椭圆在椭圆E上是否存在关于直线上是否存在关于直线l 对称的相异对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由由。第33

13、页，本讲稿共68页1直直线方程与方程与椭圆方程方程联立，消元后得到立，消元后得到一元二次方程，然后通一元二次方程，然后通过判判别式式来判断直来判断直线和和椭圆相交、相切或相离相交、相切或相离2消元后得到的一元二次方程的根是直消元后得到的一元二次方程的根是直线和和椭圆交点的横坐交点的横坐标或或纵坐坐标，通常是写成两，通常是写成两根之和与两根之根之和与两根之积的形式，的形式，这是是进一步解一步解题的的基基础直线与椭圆的关系直线与椭圆的关系考点四考点四第34页，本讲稿共68页本本类问题中主要是直中主要是直线与与椭圆相交的相交的问题，可以分可以分为两两类：直直线过椭圆焦点（可以焦点（可以联想定想定义或

14、焦或焦半径等；半径等；直直线不不过椭圆焦点焦点处理的理的办法也分法也分为两种：两种：设而不求而不求(点差法，涉及中点）；点差法，涉及中点）；直直线与与椭圆联立方程立方程组，运用，运用韦达定理达定理处理理第35页，本讲稿共68页例例5 设F1、F2为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，若的左、右两个焦点，若椭圆C上点上点A(1，)到到F1、F2两点的距离之和等于两点的距离之和等于4.(1)求出求出椭圆C的方程和焦点坐的方程和焦点坐标；(2)过点点P(0，)的直的直线与与椭圆交于两点交于两点M、N，若以，若以M、N为直径的直径的圆通通过原原点，求直点，求直线MN的方程的方程第36页，本讲稿共68

15、页【解解】(1)椭圆椭圆C的焦点在的焦点在x轴上，由椭轴上，由椭圆上的点圆上的点A到到F1、F2两点的距离之和是两点的距离之和是4，得，得2a4，即，即a2.第37页，本讲稿共68页第38页，本讲稿共68页第39页，本讲稿共68页总结总结：直线与椭圆相交往往是联立方程直线与椭圆相交往往是联立方程组，利用韦达定理等知识，但某些条件组，利用韦达定理等知识，但某些条件的转化应用往往是解题的突破口和关的转化应用往往是解题的突破口和关键，如本题中向量数量积的应用，这就键，如本题中向量数量积的应用，这就要求解题过程中对条件的分析要准确，要求解题过程中对条件的分析要准确，与其它知识点的转化要熟练与其它知识点

16、的转化要熟练第40页，本讲稿共68页练习1已知已知F1，F2是是椭圆的两个焦点，的两个焦点，P为椭圆上一点，且上一点，且F1PF260.(1)求求椭圆的离心率的范的离心率的范围；(2)求求证：F1PF2的面的面积与与椭圆的的长轴无无关关第41页，本讲稿共68页第42页，本讲稿共68页第43页，本讲稿共68页练习2第44页，本讲稿共68页(1)求求椭圆的方程；的方程；(2)若直若直线AB过椭圆的焦点的焦点F(0，c)(c为半半焦距焦距)，求直，求直线AB的斜率的斜率k的的值；(3)试问：AOB的面的面积是否是否为定定值？如？如果是，果是，请给予予证明；如果不是，明；如果不是，请说明明理由理由第4

17、5页，本讲稿共68页第46页，本讲稿共68页第47页，本讲稿共68页第48页，本讲稿共68页第49页，本讲稿共68页第50页，本讲稿共68页第51页，本讲稿共68页试卷试卷18题题第52页，本讲稿共68页主要主要问题有两有两类，第一第一类根据根据椭圆方程研究方程研究椭圆的几何的几何性性质，第二第二类根据根据椭圆的几何性的几何性质，综合其合其他知他知识求求椭圆方程或者研究其他方程或者研究其他问题，这一一类利用性利用性质是关是关键椭圆的几何性质椭圆的几何性质考点五考点五第53页，本讲稿共68页例例6(1)求求椭圆C的方程的方程(2)椭圆C上任一上任一动点点M(x0，y0)关于直关于直线y2x的的对

18、称点称点为M1(x1，y1)，求，求3x14y1的的取取值范范围第54页，本讲稿共68页第55页，本讲稿共68页第56页，本讲稿共68页第57页，本讲稿共68页3x14y15x0.点点P(x0，y0)在椭圆在椭圆C：1上，上，2x02，105x010.即即3x14y1的取值范围为的取值范围为10,10第58页，本讲稿共68页总结：椭圆的几何性质如离心率题，总结：椭圆的几何性质如离心率题，范围问题都是常考的内容，本题中是范围问题都是常考的内容，本题中是利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转化的，这是解决有关范围问题常用的化的，这是解决有关范围问题常用的一个方法，但并不是

19、惟一的方法，题一个方法，但并不是惟一的方法，题目设置的条件不同，采用的方法也会目设置的条件不同，采用的方法也会随之不同，因此，需要在平时总结不随之不同，因此，需要在平时总结不同的题型，以便归纳规律和方法同的题型，以便归纳规律和方法第59页，本讲稿共68页练习：(2010年年苏、锡、常、常、镇调研研)已知中已知中心在原点心在原点O，焦点在，焦点在x轴上的上的椭圆C的离心率的离心率为 ，点，点A、B分分别是是椭圆C的的长轴、短、短轴的端点，点的端点，点O到直到直线AB的距离的距离为 .(1)求求椭圆C的的标准方程；准方程；(2)已知点已知点E(3,0)，设点点P、Q是是椭圆C的两个的两个动点，点，

20、满足足EPEQ，求，求 的取的取值范范围第60页，本讲稿共68页第61页，本讲稿共68页第62页，本讲稿共68页第63页，本讲稿共68页规律方法总结1椭圆的定的定义有两种形式，有两种形式，习惯上称上称为第一定第一定义和第二定和第二定义在第一定在第一定义中，描述中，描述椭圆为“到两定点的到两定点的距离之和等于定距离之和等于定长的点的集合的点的集合(轨迹迹)”，其中限，其中限制条件制条件为“两定点两定点间距离小于定距离小于定长”，这个定个定义中的条件是常考内容；中的条件是常考内容；在第二定在第二定义中，描述中，描述椭圆为“到定点和定到定点和定直直线的距离之比等于常数的距离之比等于常数e(0eb0，

21、e 等等)及每个量的本及每个量的本质含含义，并能熟，并能熟练地地应用于用于解解题若已知焦点在若已知焦点在x轴或或y轴上，上，则标准方准方程惟一；若无法确定焦点位置，程惟一；若无法确定焦点位置，则需考需考虑两种两种形式形式第66页，本讲稿共68页3求求椭圆方程的方法，除了直接根据定方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法外，常用待定系数法(先定性、再定型、后定先定性、再定型、后定参参)当当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其的焦点位置不明确而无法确定其标准方程准方程时，可，可设方程方程为 1(m0，n0)，可以避免，可以避免讨论和繁和繁杂的的计算，也可以算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在种形式在解解题中中简便便第67页，本讲稿共68页 4熟熟练掌握常用基本方法的同掌握常用基本方法的同时，注意体会解，注意体会解题过程，并程，并优化解化解题思思维，特，特别是化是化简的的过程需仔程需仔细揣摩揣摩第68页，本讲稿共68页