上海市普陀区2013届高三数学二模试题 文（含解析）.doc

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1、2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）（2009上海）函数y=log2（x1）的定义域是（1，+）考点：对数函数的定义域专题：计算题分析：由函数的解析式知，令真数x10即可解出函数的定义域解答：解：y=log2（x1），x10，x1函数y=log2（x1）的定义域是（1，+）故答案为（1，+）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键2（4分）（2013普陀区二模）若且sin20，则tan=考点：二倍角的正弦；

2、同角三角函数基本关系的运用专题：三角函数的求值分析：由条件求得cos0，可得cos= 以及 tan= 的值解答：解：，且sin2=2sincos0，cos0，故 cos=，tan=，故答案为点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式的应用，属于基础题3（4分）（2013普陀区二模）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f1（x）=x2（x0）考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数专题：计算题；函数的性质及应用分析：通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可解答：解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以

3、a=，所求幂函数为：y=，x0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f1（x）=x2（x0）故答案为：x2（x0）点评：本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用4（4分）（2013普陀区二模）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=2考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：根据且= 为纯虚数，可得 a+2=0，且2a0，由此解得a的值解答：解：z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且= 为纯虚数，故有 a+2=0，且2a0，解得a=2，故答案为2点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题5（4分

4、）（2013普陀区二模）若，则=243考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：给x赋值1，1，要求的式子用平方差公式分解，把赋值后的结果代入求出最后结果解答：解：因为，令x=1得到35=a0+a1+a2+a3+a4+a5，令x=1得到1=a0a1+a2a3+a4a5，又（a0+a2+a4）2（a1+a3+a5）2=（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0a1+a2a3+a4a5）=35=243故答案为：243点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是理解赋值法的应用，观察要求的式子的结构特点，本题是一个中档题目6（4分）（2013普陀区二模）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则

5、函数的最小值为2考点：二次函数的性质；函数奇偶性的性质专题：计算题；函数的性质及应用分析：依题意，可求得a=0，从而可得y=|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值解答：解：f（x）=x2+ax+1是偶函数，f（x）=f（x），a=0f（x）=x2+1，y=|x|+2（当且仅当x=1时取“=”）函数y=的最小值为2故答案为：2点评：本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题7（4分）（2013普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的焦距为10，点

6、P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程解答：解：双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，解得，a=2双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题8（4分）（2013普陀区二模）若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：计算题分析：利用列举法列举出从4名男生、2名女生中选出3人的所有方法，然后找出至少有两名男生的方法种数，直接利用古典概型的概率计算公式计算解答：解：设4名男生分别记为1，2，3，4两名女

7、生分别记为a，b则从4名男生、2名女生中选出3人的选法共有：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b），（1ab），（2ab），（3ab），（4ab）共20种其中至少含有2名男生的是：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b）共16种所以从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的

8、概率为故答案为点评：本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解答此题的关键是列举时做到不重不漏，是基础题9（4分）（2013普陀区二模）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由此求出A点坐标，不难得到本题的答案解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于ABO及其内部的阴影部分将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值

9、由解得A（2，2）zmax=F（2，2）=2+22=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题10（4分）（2013普陀区二模）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2xy+1=0相交于一点，则行列式的值为0考点：三阶矩阵；两条直线的交点坐标专题：直线与圆分析：先求x+y+2=0和2xy+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可解答：解：解方程组得交点坐标为（1，1），代入ax+y+3=0，得a=2行列式=2+436+41=0故答案为：0

10、点评：本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力11（4分）（2013普陀区二模）ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cosC=，可得角C的值解答：解：ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得 a2=b2+2bcos=b2，a=b再根据cosC=，故有 C=，故答案为 点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题12（4分）（2013普陀区二模）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线

11、与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为3考点：向量在几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：设的夹角为，过C作CMAB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得DAB=ACM=，再利用三角函数的定义可用表示AM，代入向量的数量积的定义=|cos，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解解答：解：设的夹角为过C作CMAB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得DAB=ACM=在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sinACM=AM=3sin，AB=6sin=|cos=|AB|cos=6sincos=3sin23当sin2=1即=45时取等号故答案

12、为：3点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13（4分）（2013普陀区二模）已知函数，若f（1a2）f（2a），则实数a的取值范围是考点：指、对数不等式的解法专题：计算题；函数的性质及应用分析：通过函数的单调性，转化不等式组求解即可解答：解：函数，x0时是常函数，x0时是增函数，由f（1a2）f（2a），所以，解得：，故答案为：点评：本题考查函数单调性的应用，不等式的解法，考查计算能力14（4分）（2013普陀区二模）若ai，j表示nn阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，n，且ai+1，j

13、+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，3，n1），则=考点：高阶矩阵专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n最后利用极限公式即可得出答案解答：解：依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，a3，2a3，1=53=2，（1）a3，3a3，2=85=3，（2）a3，4a3，3=128=4，（3）a3，na3，n1=n，（n1）将这（n1）个等式左右两端

14、分别相加得：a3，na3，1=2+3+（n1）=n2+n1，a3，n=n2+n1+3=n2+n+2则=故答案为：点评：本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（2013普陀区二模）若集合A=x|y2=4x，yR，则AB=（）A0，1B（2，1C（2，+）D1，+）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：由yR，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算解答：

15、解：由y2=4x，yR，所以x0，所以A=x|y2=4x，yR=x|x0；再由，得，解得2x1所以=x|2x1，则AB=x|x0x|2x1=0，1故选A点评：本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题16（5分）（2013普陀区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A1：1B2：1C3：2D4：1考点：球的体积和表面积专题：计算题分析：根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案解答：解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所

16、以等边圆柱的表面积为：S1=6，球的表面积为：S2=4所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2故选C点评：本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题17（5分）（2013普陀区二模）若aR，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：一方面由aR，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到=a240，解得a的取值范

17、围，即可判断出“z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“aR，z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出0是否成立即可解答：解：aR，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，=a240，解得2a232a13，3a11，因此z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；若“aR，z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得0，关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确综上可

18、知：若aR，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件故选B点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键18（5分）（2013普陀区二模）如图，ABC是边长为1的正三角形，点P在ABC所在的平面内，且（a为常数）下列结论中，正确的是（）A当0a1时，满足条件的点P有且只有一个B当a=1时，满足条件的点P有三个C当a1时，满足条件的点P有无数个D当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个考点：平面向量的综合题专题：计算题；平面向量及应用分析

19、：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y）2=（a1），讨论a的取值范围，可得当a1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意解答：解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（，0），B（，0），C（0，），设P（x，y），可得=x2+（y）2，=（x+）2+y2，=（x）2+y2x2+（y）2+（x+）2+y2+（x）2+y2=a化简得：3x2+3y2y+a=0，即x2+y2y+=0配方，得x2+（y）2=（a1）（1）当a1

20、时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C点评：本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）（2013普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，）的图象与y轴的交点为（0，1）

21、，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角满足，求f（2）的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出，利用函数经过（0，1）结合的范围求出的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2）的值解答：解：（1）由题意可得A=2（1分）即T=4，（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且为锐角，所以f（2）=点评：本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与

22、差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力20（14分）（2013普陀区二模）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点（1）求三棱锥EFCC1的体积（2）求异面直线D1F与A1E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间角分析：（1）根据给出的多面体是正方体，所以三角形ECC1的面积易求，且F点到面ECC1的高可求，把三棱锥EFCC1的体积转化为三棱锥FECC1的体积，直接利用体积公式求解；（2）取AB的中点G，连接A1G，则EA1G即为两异面直线D1F与A1E所成角，在A1G

23、E中直接利用余弦定理即可求解解答：解：（1）由=因给出的多面体为正方体，所以FC平面ECC1，且FC=1，又ECC1的底CC1=2，高为E到CC1的距离等于2，所以=（2）如上图，取AB的中点为G，连接A1G，GE由于A1GD1F，所以直线A1G与A1E所成的锐角或直角即为异面直线A1E与D1F所成的角在A1GE中，由余弦定理得，0所以即异面直线A1E与D1F所成的角的大小为点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键

24、技巧，此题是中档题21（14分）（2013普陀区二模）已知a0且a1，函数f（x）=loga（x+1），记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）m=0在区间0，1）内有解，求实数m的取值范围考点：函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1x=t（0，1，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a0且a1）由，可解得1x1，所

25、以函数F（x）的定义域为（1，1）令F（x）=0，则（*） 方程变为，即（x+1）2=1x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=3，经检验x=3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0（2）方程可化为=，故，设1x=t（0，1函数在区间（0，1上是减函数当t=1时，此时x=0，ymin=5，所以am1若a1，由am1可解得m0，若0a1，由am1可解得m0，故当a1时，实数m的取值范围为：m0，当0a1时，实数m的取值范围为：m0点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题22（16分）（2013普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的

26、右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k=1，P（6，0），求PAB的面积；（3）当k（kR且k0）变化时，试求一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的标准方程和a2=b2+c2，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l的方程；（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用即可得到面积；（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC和

27、BC的斜率，令其和为0解出x0即可解答：解：（1）由题意a2=18，b2=9得c=3，F（3，0），且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=1，直线l：，即直线l的方程为x+y3=0（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k=1时，直线l：y=x3将直线与椭圆方程联立，消去x得，y2+2y3=0，解得y1=3，y2=1，|y1y2|=4，（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，直线l：y=k（x3）（k0），消去y得，（1+2k2）x212k2x+18（k21）=00恒成立，=2kx1x2k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，解得x0=6，

28、所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0点评：熟练掌握椭圆的标准方程和a2=b2+c2、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键23（18分）（2013普陀区二模）对于任意的nN*，若数列an同时满足下列两个条件，则称数列an具有“性质m”：； 存在实数M，使得anM成立（1）数列an、bn中，an=n、（n=1，2，3，4，5），判断an、bn是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列cn的前n项和为Sn，且，求证：数列Sn具有“性质m”；（3）数列dn的通项公式（nN*）对于任意n3，100且nN*，数列dn具有“

29、性质m”，求实数t的取值范围考点：等差数列与等比数列的综合专题：综合题；新定义分析：（1）在数列an中，令n=1可验证不满足条件；在数列bn中，按“性质m”的定义验证条件即可；（2）将代入S3=可求得q，从而求得cn，Sn，利用放缩法可验证数列Sn满足及Sn2；（3）写出dn+1，dn+2，数列dn具有“性质m”，由条件得dn+dn+22dn+1恒成立，代入后化简分离出t，转化为最值问题可得t的范围，在该范围下可判断数列dn为递增数列，从而可知dn最大项的值为d100，由此知存在M满足条件，从而得知t的范围；解答：（1）解：在数列an中，取n=1，则，不满足条件，所以数列an不具有“m性质”；

30、在数列bn中，b1=1，b3=2，b5=1，则，所以满足条件；（n=1，2，3，4，5）满足条件，所以数列bn具有“性质m”（2）证明：由于数列cn是各项为正数的等比数列，则公比q0，将代入S3=，得6q2q1=0，解得或（舍去），所以c1=1，对于任意的nN*，且Sn2，所以数列Sn满足条件和，所以数列Sn具有“m性质”；（3）由于dn=，则，由于任意n3，100且nN*，数列dn具有“性质m”，所以dn+dn+22dn+1，即，化简得，t（n2）1，即对于任意n3，100且nN*恒成立，所以t1，=，由于n3，100及，所以dn+1dn，即n3，100时，数列dn是单调递增数列，所以dn最大项的值为，满足条件只需即可，所以这样的M存在，所以t1即可点评：本题考查等差数列、等比数列的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力，考查学生对题目的阅读理解能力，对能力要求较高18