上海市普陀区2013届高三数学二模试题 理（含解析）.doc

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1、2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）（2013普陀区二模）函数的定义域为2，+）考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域专题：计算题分析：函数的定义域为，由此能求出结果解答：解：函数的定义域为，解得x2故答案为：2，+）点评：本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答2（4分）（2013普陀区二模）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=2考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：根据且= 为纯

2、虚数，可得 a+2=0，且2a0，由此解得a的值解答：解：z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且= 为纯虚数，故有 a+2=0，且2a0，解得a=2，故答案为2点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题3（4分）（2013普陀区二模）若且sin20，则=3考点：半角的三角函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题；三角函数的求值分析：根据同角三角函数的平方关系，可得cos2=，结合二倍角的正弦公式和sin20得cos=，最后根据切化弦的思路，结合二倍角的正、余弦公式即可算出的值解答：解：，cos2=1sin2=sin2=2sincos0，cos

3、=（舍正）因此，=3故答案为：3点评：本题给出角的正弦之值，求一半的正切，着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和半角的三角函数求法等知识，属于中档题4（4分）（2013普陀区二模）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f1（x）=x2（x0）考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数专题：计算题；函数的性质及应用分析：通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可解答：解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f1（x）=x2（x0）故答案为：

4、x2（x0）点评：本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用5（4分）（2013普陀区二模）若，则=311考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+a11=311，再令x=1可得（a0+a2+a4+a10）（a1+a3+a5+a11）=1，相乘，即得所求解答：解：，令x=1可得a0+a1+a2+a3+a11=311再令x=1可得（a0+a2+a4+a10）（a1+a3+a5+a11）=1两式相乘可得 =311，故答案为311点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数，是

5、解题的关键，属于中档题6（4分）（2013普陀区二模）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为2考点：二次函数的性质；函数奇偶性的性质专题：计算题；函数的性质及应用分析：依题意，可求得a=0，从而可得y=|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值解答：解：f（x）=x2+ax+1是偶函数，f（x）=f（x），a=0f（x）=x2+1，y=|x|+2（当且仅当x=1时取“=”）函数y=的最小值为2故答案为：2点评：本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题7（4分）（2013普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程

6、为考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程解答：解：双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，解得，a=2双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题8（4分）（2013普陀区二模）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差D=0.4考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：本题是一个超几何分步，用表示其中男生的人数，可能取的值为1，2，3结合变量

7、对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和方差解答：解：依题意得，随机变量服从超几何分布，随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为1，2，3P（=k）=，k=1，2，3所以X的分布列为：123P由分布列可知E=1+2+3=2，E2=，D=E2（E）2=22=0.4，故答案为：0.4点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查运用概率知识解决实际问题的能力9（4分）（2013普陀区二模）若曲线：（为参数且），则的长度为考点：参数方程化成普通方程；弧长公式专题：直线与圆分析：根据同角三角函数关系消去参数，即可求出曲线的普通方程，得出是一段圆弧，再利用弧长公式求其长

8、度即可解答：解：由（为参数且），即，得（x1）2+（y2）2=9其中得曲线表示一段圆心角为，半径为3的圆弧，如图其弧长为l=R=故答案为：点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及参数方程化成普通方程，属于基础题10（4分）（2013普陀区二模）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2xy+1=0相交于一点，则行列式的值为0考点：三阶矩阵；两条直线的交点坐标专题：直线与圆分析：先求x+y+2=0和2xy+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可解答：解：解方程组得交点坐标为（1，1），代入ax+y+3=0，得a=2行列式=2+436+

9、41=0故答案为：0点评：本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力11（4分）（2013普陀区二模）ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cosC=，可得角C的值解答：解：ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得 a2=b2+2bcos=b2，a=b再根据cosC=，故有 C=，故答案为 点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题12（4分）（2013普陀区二模）若圆C的半径为3

10、，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为3考点：向量在几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：设的夹角为，过C作CMAB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得DAB=ACM=，再利用三角函数的定义可用表示AM，代入向量的数量积的定义=|cos，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解解答：解：设的夹角为过C作CMAB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得DAB=ACM=在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sinACM=AM=3sin，AB=6sin=|cos=|AB|cos=6sincos=3sin23当sin2=1即

11、=45时取等号故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13（4分）（2013普陀区二模）函数y=sin2x+2cosx在区间，a上的值域为，2，则a的取值范围是 0，考点：余弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cosx的解析式，令t=cosx，则原函数可化为y=（t1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解解答：解：由已知得，y=1cos2x+2cosx=（cosx1）2+2，令t=cosx，得到：y=（t1）2+2，显然当t=cos（）=时，y=，当t=1时，y

12、=2，又由x，a可知cosx，1，可使函数的值域为，2，所以有a0，且a，从而可得a的取值范围是：0a故答案为：0，点评：本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题14（4分）（2013普陀区二模）若ai，j表示nn阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，n1），则a3，n=考点：数列的应用；矩阵变换的性质专题：综合题；等差数列与等比数列分析：依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累

13、加法即可求得a3，n解答：解：依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，a3，2a3，1=53=2，（1）a3，3a3，2=85=3，（2）a3，4a3，3=128=4，（3）a3，na3，n1=n，（n1）将这（n1）个等式左右两端分别相加得：a3，na3，1=2+3+（n1）=n2+n1，a3，n=n2+n1+3=n2+n+2故答案为：n2+n+2点评：本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个

14、正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（2013普陀区二模）若集合A=x|y2=4x，yR，则AB=（）A0，1B（2，1C（2，+）D1，+）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：由yR，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算解答：解：由y2=4x，yR，所以x0，所以A=x|y2=4x，yR=x|x0；再由，得，解得2x1所以=x|2x1，则AB=x|x0x|2x1=0，1故选A点评：本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题16（5分）（2013普陀区二

15、模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A1：1B2：1C3：2D4：1考点：球的体积和表面积专题：计算题分析：根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案解答：解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6，球的表面积为：S2=4所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2故选C点评：本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题17（5分）（2013普陀区二模）若aR，则“关于x

16、的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：一方面由aR，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到=a240，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“aR，z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出0是否成立即

17、可解答：解：aR，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，=a240，解得2a232a13，3a11，因此z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；若“aR，z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得0，关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确综上可知：若aR，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a1）+（a1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件故选B点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式的关系、复数z位于第四象限的充要条件

18、事件他的关键18（5分）（2013普陀区二模）如图，ABC是边长为1的正三角形，点P在ABC所在的平面内，且（a为常数）下列结论中，正确的是（）A当0a1时，满足条件的点P有且只有一个B当a=1时，满足条件的点P有三个C当a1时，满足条件的点P有无数个D当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个考点：平面向量的综合题专题：计算题；平面向量及应用分析：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y）2=（a1），讨论a的取值范围，可得当a1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知

19、只有C项符合题意解答：解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（，0），B（，0），C（0，），设P（x，y），可得=x2+（y）2，=（x+）2+y2，=（x）2+y2x2+（y）2+（x+）2+y2+（x）2+y2=a化简得：3x2+3y2y+a=0，即x2+y2y+=0配方，得x2+（y）2=（a1）（1）当a1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C点评：本题给出正三

20、角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）（2013普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角满足，求f（2）的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值专题：计算题；三角函数的图像与性质

21、分析：（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出，利用函数经过（0，1）结合的范围求出的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2）的值解答：解：（1）由题意可得A=2（1分）即T=4，（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且为锐角，所以f（2）=点评：本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力20（14分）（2013普陀区二模）已知a0且a1，函数f（x）=loga（x+1），记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）m

22、=0在区间0，1）内有解，求实数m的取值范围考点：函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1x=t（0，1，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a0且a1）由，可解得1x1，所以函数F（x）的定义域为（1，1）令F（x）=0，则（*） 方程变为，即（x+1）2=1x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=3，经检验x=3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点

23、为0（2）方程可化为=，故，设1x=t（0，1函数在区间（0，1上是减函数当t=1时，此时x=0，ymin=5，所以am1若a1，由am1可解得m0，若0a1，由am1可解得m0，故当a1时，实数m的取值范围为：m0，当0a1时，实数m的取值范围为：m0点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题21（14分）（2013普陀区二模）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1（1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥DBCD1A1的体积考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）建立空间直角坐标系，如图所示利用斜线的方

24、向向量和平面的法向量的夹角即可得到线面角；（2）利用点到平面的距离公式及四棱锥的体积计算公式即可得出解答：解：（1）以D为坐标原点，分别以射线DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），设是平面A1BCD1的法向量，则，即令z=1，则y=1，x=0，设直线DB与平面A1BCD1所成角为，则=由于，即直线DB与平面A1BCD1所成角的大小为；（2）由（1）得点D到平面A1BCD1的距离四边形A1BCD1是矩形，面积S=BCCD1=点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹

25、角得到线面角；利用向量表示点到平面的距离公式，四棱锥的体积计算公式是解题的关键22（16分）（2013普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k0，P（6，0）且PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上

26、位于x轴上方的点A满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=1，即可求出直线l的方程；（2）设直线l：y=k（x3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据PAB的面积为6建立关于k的方程，化简整理得k4k22=0，解之得k=1（舍负）；（3）设直线l方程为y=k（x3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x212k2x+18（k21）=0，由根与系数的关系得到，然后化简kAD+kBD=0为关于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化简整理得2kx1x2k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再将前面算

27、出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x0=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0解答：解 （1）椭圆方程为a2=18，b2=9，得c=3，可得F（3，0）（1分）且点A在x轴的上方，（2分）可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）由此可得l的斜率k=1，（3分）因此，直线l的方程为：，化简得x+y3=0（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x3）（5分）将直线与椭圆方程联列，（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky9k2=0（7分）由于0恒成立，根据根与系数的关系可得（8分）（9分）因此，可得SPAB=化简整

28、理，得k4k22=0，由于k0，解之得k=1（10分）（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x3）（k0）由消去y，得（1+2k2）x212k2x+18（k21）=0（12分）由于0恒成立，根据根与系数的关系可得（*）（13分） 而，（14分）=由此化简，得2kx1x2k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，（15分）将（*）式代入，可得，解之得x0=6，存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0（16分）点评：本题给出椭圆方程，在直线l经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足的情况下求直线l的方程，并且讨论了x

29、轴上是否存在一点C使得直线AC和BC的斜率之和为0的问题着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题23（18分）（2013普陀区二模）对于任意的nN*，若数列an同时满足下列两个条件，则称数列an具有“性质m”：； 存在实数M，使得anM成立（1）数列an、bn中，an=n、（n=1，2，3，4，5），判断an、bn是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列cn的前n项和为Sn，且，证明：数列Sn具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列dn的通项公式（nN*）对于任意的n3（nN*）考点：等差数列与等比数列的综

30、合专题：综合题；新定义；等差数列与等比数列分析：（1）利用数列an具有“性质m”的条件对an=n、bn=2sin2（n=1，2，3，4，5）判断即可；（2）数列cn是各项为正数的等比数列，则公比q0，将c3=代入S3=+c3=可求得q，从而可求得c1=1，cn=及Sn=2，分析验证即可；（3）由于dn=3t，可求得dn+1=3t，dn+2=3t，利用任意n3，+且nN*，数列dn具有“性质m”，由dn+dn+22dn+1可求得t1，可判断n3时，数列dn是单调递增数列，且=（3t）=3t，从而可求得t3，于是有1t3，经检验t=2不合题意，于是得到答案解答：解：（1）在数列an中，取n=1，则

31、=2=a2，不满足条件，所以数列an不具有“m性质”；（2分）在数列bn中，b1=1，b2=，b3=2，b4=，b5=1，则b1+b3=32=2b2，b2+b4=24=2b3，b3+b5=32=2b4，所以满足条件；bn=2sin2（n=1，2，3，4，5）满足条件，所以数列bn具有“性质m”（4分）（2）因为数列cn是各项为正数的等比数列，则公比q0，将c3=代入S3=+c3=得，6q2q1=0，解得q=或q=（舍去），（6分）所以c1=1，cn=，Sn=2（7分）对于任意的nN*，=22=Sn+1，且Sn2（8分）所以数列数列Sn具有“m性质”（9分）且M2（10分）（3）由于dn=3t，则dn+1=3t，dn+2=3t，由于任意n3，+且nN*，数列dn具有“性质m”，所以dn+dn+22dn+1即+2，化简得，t（n2）1（12分）即t对于任意n3，+）且nN*恒成立，所以t1（14分）dn+1dn=由于n3及，所以dn+1dn即n3时，数列dn是单调递增数列，且=（3t）=3t（16分）只需3t9，解得t3（17分）由得1t3，所以满足条件的整数t的值为2和3经检验t=2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t=3（18分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查理解新概念与分析运算能力，考查函数的单调性，考查创新思维与综合运算能力，属于难题19