数值计算方法期末考试题.docx

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1、 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.   A4和3          B3和2   C3和4          D4和42. 已知求积公式，则（ ）A      B      C &

2、#160;   D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（    ）   A0，        B 0，        C1，         D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（    ）敛速。    A超线性   

3、  B平方       C线性           D三次5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（   ）.       A                B

4、60;       C                 D 单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则        ，        .2. 一阶均差   &

5、#160;                 3. 已知时，科茨系数，那么             4. 因为方程在区间上满足                 ，

6、所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式                      .填空题答案 1.       9和 2.        3.       4. &#

7、160;     5.       三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案 1.       解 ，           ，所以分段线性插值函数为          &

8、#160;                         2. 已知线性方程组（1）       写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2）       对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字

9、）.计算题2.答案 1.解 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案  3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ，              方程的根 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案 4 解  梯形公式 

10、60;                                 应用梯形公式得                 

11、            辛卜生公式为                     应用辛卜生公式得                  

12、                                     四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相

13、等，得                                   得，。所求公式至少有两次代数精确度。     又由于       

14、0;                               故具有三次代数精确度。  一、          填空（共20分，每题2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近

15、似值x=      .2.设一阶差商 ，    则二阶差商 3. 设, 则        ，        。4求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么     5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径          

16、;     。 7、设   ，则                和                  。        8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对

17、角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都               。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为               。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成         &#

18、160;                    。 填空题答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、8、 收敛9、10、二、计算题  （共75 分，每题15分）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式计算题1.答案 1、（1）    （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一

19、个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？计算题2.答案 2、由 ，可得 ，               3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： （提示： 利用Simpson求积公式。）计算题4.答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上

20、积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得    所以得数值解公式： 5 利用矩阵的LU分解法解方程 组 计算题5.答案 5、解：三、证明题 （5分）1设  ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有                 位有效数字。(2). 对, 差商(    

21、;  )。(3). 设, 则        。(4).牛顿柯特斯求积公式的系数和                       。 填空题答案（1）3    （2）1    （3）7     

22、   （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算题1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。计算题2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案 3）迭代公式  4).（15分）求系数。计算题4.答案 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案  5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角

23、占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：. 三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。简答题答案 1）凭你的理解去叙述。2）参看书本99页。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有(     )位有效数字.2.  是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则     (     

24、).3.  设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是(                  ).4.  迭代公式收敛的充要条件是            。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为(      

25、60;  ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为(           )。填空题答案132.3.4. 5.迭代矩阵，    二、判断题（共10分）1.          若，则在内一定有根。             &#

26、160; (   )2.          区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。         (   )3.          若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。     (   )4.

27、          若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。                                    

28、;      (   )5.          用近似表示产生舍入误差。                     (   )判断题答案 1.×  2.×  3.×

29、;  4.  5.×三、计算题（70分）1.      （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=(                   )，=(           &

30、#160; ), 插值多项式P2(x)=(                ), 用三点式求得(         ).计算题1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式 

31、;    的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案 4. （15分）设初值问题  . (1)     写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)     写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4.答案 4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。计算题5.答案 5     

32、0;        =1+2(                         ， 一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有             和&#

33、160;            。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                        ；     。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 &

34、#160;       ；插值型求积公式中求积系数                    ；且          。4、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为     

35、;                                           。5、则。填空题答案1.相对误差  绝对误差 2.  

36、0;    13. 至少是n              b-a 4. 3    5. 1      0二、计算题1、已知函数的相关数据 由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。计算题1.答案 解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。计算题2.答案 解：3、（15分）确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；

37、并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.答案 解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。4、（15分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。计算题4.答案 解：设则可得 于是，即。5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。计算题5.答案 解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解线性方程组计算题6.答案 解：即一、填空题（25分）1).设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有     

38、0;  位有效数字。2).          ，        。3).求方程根的牛顿迭代格式是           。4).已知,则            ,      

39、;     。5). 方程求根的二分法的局限性是             。 填空题答案1）4；     2）1，0；    3）； 4）7, 6；5）收敛速度慢，不能求偶重根。 二、计算题1).（15分）已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；(2)求， 使。计算题1.答案 解：2).（15分）试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。 计算题2.答案 解

40、：由等式对精确成立得：,解此方程组得     又当时    左边右边  此公式的代数精度为2 3).（15分）取步长h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题     计算题3.答案 3）梯形法为即 迭代得4). （15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.计算题4.答案 解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得5). （15分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留

41、五位小数。计算题5.答案   5). 解：是的正根，牛顿迭代公式 为，  即     取x0=1.7, 列表如下：一、填空题( 每题4分，共20分)1、辛普生求积公式具有    次代数精度，其余项表达式为                         

42、60;                      。2、则。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数            

43、;        ；且          。4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                        ；     。5、按四舍五入原则

44、数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为               和             。 填空题答案1、3        2、         

45、60;   3、              14、至少是n                5、            二、计算题1、（10分）已知数据如下： 求形如拟合函数。计算题1.答案 解：2、（

46、15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。计算题2.答案 解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得  。3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。计算题3.答案 解：4、（15分）已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。计算题4.（1）答案 计算题4.（2）&（3）答案 （2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得故代数精度是3次。（3）由（2）可得：。(1)所求插值型的求积公式形如：。5、（15分）讨论用Jacobi和Gaus

47、s-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.计算题5.答案 解：  三、简述题（本题 10 分）叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？简述题答案 解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。  误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。 一、           填空（共25分，每题5分

48、）1、，则A的谱半径               2、设则          和                    3、若 x = 1.345678, ，则x*的近似数具有  

49、     位有效数字.  4、抛物线求积公式为                                         .  5、设

50、可微，求方程根的牛顿迭代公式是             。 填空题答案1、； 2、；3、4；4、；5、.二、计算题1).（15分）设 （1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足, 以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式计算题1.答案 （1）（2）2).（15分）设有解方程的迭代法: , （1） 证明,均有（为方程的根）；（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 计算题2.答案 （1）（2）取，则有各次

51、迭代值   取，其误差不超过（3）    故此迭代为线性收敛。3). (15分) 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度 .计算题3.答案 令代入公式精确成立，得；解得，得求积公式对；故求积公式具有2次代数精确度。4).（15分）用Gauss消去法求解下列方程组计算题4.答案 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。；故. 5).（15分） 已知方程组，其中（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。计算题5.答案 （1），因此两种迭代法均收敛。（2）当时，该迭代公式收敛。