2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 不等式的证明 教案.doc

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1、1 第二节第二节 不等式的证明不等式的证明 最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 1基本不等式 定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 2：如果 a，b 为正数，则ab2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc33abc，当且仅当 abc 时，等号成立 定理 4： (一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1， a2， ， an为 n 个正数，则a1a2annna1a2an，当且仅当 a1a2an时，等号成立 2柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实

2、数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当 adbc 时，等号成立) (2)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则|，当且仅当 或 是零向量，或存在实数 k，使 k(， 为非零向量)时，等号成立 (3)柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3R， 则（x1x2）2（y1y2）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x3）2（y1y3）2. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得 a

3、ikbi(i1，2，n)时，等号成立 3不等式的证明方法 (1)比较法 2 作差法(a，bR)：ab0ab；ab0a0，b0)：ab1ab；ab1a0， M2a3b3， N2ab2a2b， 则 M， N 的大小关系为_ MN 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab) 因为 ab0，所以 ab0，ab0，2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0，故 2a3b32ab2a2b. 3已知 a，b，c 是正实数，且 abc1，则1a1b1c的最小值为_ 9 abc1， 1a1b1c3baab(caac)cbbc 32baab2caa

4、c2cbbc 369，当且仅当 abc 时等号成立 4设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，则 m2n2的最小值为_ 5 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，即 m2n25，所以 m2n2的最小值为 5. 考点 1 用综合法与分析法证明不等式 用综合法证明不等式是“由因导果”， 用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以开阔解题思路，开阔

5、视野 1.已知 x，y 均为正数，且 xy，求证：2x1x22xyy22y3； 4 证明 因为 x0，y0，xy0， 2x1x22xyy22y2(xy)1（xy）2 (xy)(xy)1（xy）2 33（xy）21（xy）23(当且仅当 xy1 时，等号成立)，所以 2x1x22xyy22y3. 2设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc 3. 证明 因为 a，b，c0，所以要证 abc 3， 只需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3， 而 abbcca1， 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证 a2b2c2abbcca. 而 ab

6、bccaa2b22b2c22c2a22 a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)成立， 所以原不等式成立 3(2019 全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明： (1)1a1b1ca2b2c2； (2)(ab)3(bc)3(ca)324. 解 (1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c. 所以1a1b1ca2b2c2. (2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有 (ab)3(bc)3(ca)333（ab）3（bc）3（ac）3 3(ab)(bc)(ac) 5 3(2 ab)(

7、2 bc)(2 ac) 24. 所以(ab)3(bc)3(ca)324. (1)利用综合法证明不等式时，常用的不等式有：a20；|a|0；a2b22ab， 它的变形形式又有(ab)24ab，a2b22(ab2)2等； ab2 ab(a0，b0)，它的变形形式又有 a1a2(a0)，baab2(ab0)，baab2(ab0，b0，a3b32.证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24. (2)(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab

8、) 23（ab）24(ab)23（ab）34， 所以(ab)38，因此 ab2. 考点 2 放缩法证明不等式 (1)在不等式的证明中， “放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有： 变换分式的分子和分母，如1k21k（k1），1k2k k1，上面不等式中 kN，k1； 利用函数的单调性； 6 利用结论，如“若 0a0，则ab0，|x1 a3，|y2|a3，求证：|2xy4|a. (2)求证：1121221321n20，|x1|a3，可得|2x2|2a3， 又|y2|a3， |2xy4|(2x2)(y2)| |2x2|y2|2a3a3a. 即|2xy4|a. (2)1n21n（n1）1n1

9、1n 1121221321n21122(12131n11n) 54(121n)74. (1)本例 1 采用了绝对值不等式的性质证明不等式，通过变形、配凑达到证明的目的；(2)本例 2 采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处 1.设 n 是正整数，求证：12 1n11n212n1. 证明 由 2nnkn(k1，2，n)，得 12n 1nk1n. 当 k1 时，12n 1n11n； 当 k2 时，12n 1n21n； 7 当 kn 时，12n 1nn1n， 12n2n 1n11n212nnn1. 原

10、不等式成立 2若 a，bR，求证：|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|. 证明 当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时， 由 0|ab|a|b|1|ab| 1|a|b|， 所以|ab|1|ab|11|ab|1 111|a|b| |a|b|1|a|b|a|1|a|b|b|1|a|b| |a|1|a|b|1|b|. 考点 3 柯西不等式的应用 柯西不等式的解题策略 (1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题 (2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不

11、能忘记检验等号成立的条件. (2019 全国卷)设 x，y，zR，且 xyz1. (1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值； (2)若(x2)2(y1)2(za)213成立，证明：a3 或 a1. 解 (1)由于 (x1)(y1)(z1)2 (x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1) 3(x1)2(y1)2(z1)2， 故由已知得(x1)2(y1)2(z1)243，当且仅当 x53，y13，z13时8 等号成立 所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为43. (2)由于 (x2)(y1)(za)2 (x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)

12、(y1)(za)(za)(x2) 3(x2)2(y1)2(za)2， 故由已知得(x2)2(y1)2(za)2（2a）23，当且仅当 x4a3，y1a3，z2a23时等号成立 因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为（2a）23. 由题设知（2a）2313，解得 a3 或 a1. 利用柯西不等式证明不等式或求解某些含有约束条件的多变量的最值问题，解决的关键是构造两组数，并向柯西不等式的形式进行转化 1.已知 a，b，cR，且满足 a2b3c6，求 a22b23c2的最小值 解 由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1 a 2 2b 3 3c)2. 得 6(a22b23c2)(a2

13、b3c)236. 所以 a22b23c26. 当且仅当a12b23c3，即 abc1 时，上式等号成立 所以 a22b23c2的最小值为 6. 2设 x，y，zR，且x216y25z241，求 xyz 的取值范围 解 由柯西不等式，得 42( 5)222x42y52z22 4x4 5y52z22， 即 251(xyz)2. 9 所以 5|xyz|，所以5xyz5. 即 xyz 的取值范围是5，5 3(2017 江苏高考)已知 a，b，c，d 为实数，且 a2b24，c2d216，证明：acbd8. 证明 由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2) 因为 a2b24，c2d216， 所以(acbd)264，因此 acbd8.