人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：几个重要不等式.docx

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1、几个重要不等式知识讲解一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式代数形式（定理1）：对任意实数，则.（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）.向量形式：设是平面上任意两个向量，则.（当且仅当向量与向量共线时，等号成立）。三角形式:对任意实数，则（当且仅当时，等号成立.）证明：几何背景：如图，在三角形中，则 将以上三式代入余弦定理，并化简，可得 或因为，所以， 于是 注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；定理1的变形：若a、b、c、d都是正实数，则，（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）2.一般形式的柯西不等式定理2：设与是两组实数，则，当且仅当向量与向量共线时，等号成立。

2、注意：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数：， ， ， ，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。二、排序不等式定理1 设a，b和c，d都是实数，如果，那么当且仅当a=

3、b（或c=d）时取“=”号.定理2（排序不等式） 设有两个有序实数组：及则 （顺序和） （乱序和） （逆序和） . 其中，是1，2，的任一排列形式，上式当且仅当（或）时，取“=”号。注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列三、贝努利不等式1.定理（贝努利不等式）：对任意实数和任何正整数n；有.推广：，且，有；，有；则有设，则当且仅当时取到“=”2.贝努利不等式的证明：证法1：（数学归纳法）1）当时，等式显然成立.2）假设时，等式成立，即当n=k

4、+1时，综上可知，不等式成立证法2：联想到当时，当 证法3： 当，当，则证法4：证法5：只证； 设，故.四、数学归纳法概念：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法注意：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。证明了第一步，就获得了递推的基础；证明了第二步，就获得了递推的依据。 典型例题一选择题（共16小题）1实数ai（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a

5、3）2+（a5a4）2+（a6a5）2=1则（a5+a6）（a1+a4）的最大值为（）A3B22C6D1【解答】解：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2=（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）28，（a5+a6）（a1+a4）22，（a5+a6）（a1+a4）的最大值为22，故选：B2若实数a、b、cR+，且ab+ac+bc+25=6-a2，则2a+b+c的最小值为（）A5-1B5+1C25+2D25-2【解答】解：ab

6、+ac+bc+25=6-a2，a2+ab+ac+bc=625（625）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c252，故选：D3若实数x+y+z=1，则2x2+y2+3z2 的最小值为（）A1B23C611D11【解答】解：（2x2+y2+3z2）×（12+1+13）（x+y+z）2=1，2x2+y2+3z21×611=611，故 2x2+y2+3z2的最小值为611，故选：C4已知a，b0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为（）A18B9C3

7、2D23【解答】解：由题意，（a+1+b+3）2（1+1）（a+1+b+3）=18，a+1+b+3的最大值为32，故选：C5已知x，y，z，aR，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3za恒成立的a的最小值为（）A6B66C8D88【解答】解：由x2+4y2+z2=6，利用柯西不等式可得（x+2y+3z）2（x2+4y2+z2）（12+12+32）=66，故有x+2y+3z66，当且仅当x1=2y1=z3 时，取等号再根据不等式x+2y+3za恒成立，可得a66，故选：B6已知n为正偶数，用数学归纳法证明112+1314+1n-1=2（1n+2+1n+4+12n）时，若已假设n=k（

8、k2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2k+2时等式成立Dn=2（k+2）时等式成立【解答】解：若已假设n=k（k2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立故选：B7某个命题与正整数有关，若当n=k（kN*）时该命题成立，那么推得n=k+1时该命题成立，现已知当n=8时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=7时，该命题成立B当n=7时，该命题不成立C当n=9时，该命题成立D当n=9时，该命题不成立【解答】解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立，否则n=

9、7时命题成立，由已知必推得n=8也成立与当n=8时该命题不成立矛盾故选：B8利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-1f（n）（n2，nN*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A1项Bk项C2k1项D2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+12+13+12n-1f（n）（n2，nN*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+12k-1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12k+1+12k+1-1，共（2k+11）2k+1=2k项，故选：D9用数学归

10、纳法证明不等式1+12+13+12n-1n2（nN*），第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）A12kB12k-1+1+12kC12k-1+1+12k-1+2+12kD12k-1+1+12k-1+2+12k【解答】解：用数学归纳法证明等式1+12+13+12n-1f（n）（n2，nN*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+12k-1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k-1+1+12(k+1)-1，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k-1+1+12(k+1)-1=12k-1+1+12k，故选：D10等式12+22+32+n2=12（5n

11、27n+4）（）An为任何正整数都成立B仅当n=1，2，3时成立C当n=4时成立，n=5时不成立D仅当n=4时不成立【解答】解：当n=1时，左边=1，右边=1，成立；当n=2时，左边=1+4=5，右边=5，成立；当n=3时，左边=1+4+9=14，右边=14，成立；当n=4时，左边=1+4+9+16=40，右边=28，不成立；当n=5时，左边=1+4+9+16+25=65，右边=94，不成立；故选：B11用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A1k+1+12k+12

12、k+1B1k+1+12k+12k+1+12k+2C1k+2+12k+12k+1D1k+2+12k+1+12k+2【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边=1(k+1)+1+12(k+1)-1+12(k+1)=1k+2+12k+1+12k+2故选：D12“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n（nN*）”，在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中，由n=k（kN*，k1）推导到n=k+1时，等式的右边增加的式子是（）A12(k+1)B12k+1+12k+2C12(k+1)-1k+1D12k+1+12(k+1)-1k+1【解答】解：n=k时，右边=1k+1+1k+

13、2+12k，n=k+1时，左边=1k+2+12k+12k+1+12k+2，从n=k到n=k+1时，左边要增加的表达式为 1k+2+12k+12k+1+12k+2（1k+1+1k+2+12k）=12k+1+12(k+1)-1k+1故选：D13用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，（nN*）时，若记f（n）=n+（n+1）+（n+2）+（3n2），则f（k+1）f（k）等于（）A3k1B3k+1C8kD9k【解答】解：因为f（k）=k+（k+1）+（k+2）+（3k2），f（k+1）=（k+1）+（k+2）+（3k2）+（3k1）+（3k）+（3k+1）则f（k+1

14、）f（k）=3k1+3k+3k+1k=8k故选：C14用数学归纳法证明等式12+22+（n1）2+n2+（n1）2+22+12=n(2n2+1)3，当n=k+1时，等式左端在n=k的基础上加上（）A（k+1）2+2k2B（k+1）2+k2C（k+1）2D13（k+1）2（k+1）2+1【解答】解：当n=k时，左边=12+22+（k1）2+k2+（k1）2+22+12，当n=k+1时，左边=12+22+（k1）2+k2+（k+1）2+k2+（k1）2+22+12，可得（k+1）2+k2故选：B15用数学归纳法证明“1+12+13+12n-1n（n2）”时，由n=k的假设证明n=k+1时，不等式左

15、边需增加的项数为（）A2k1B2k1C2kD2k+1【解答】解：n=k时，左边=1+12+13+12k-1，当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1左边增加的项数为2k+11（2k1）=2k+12k=2k故选：C16用数学归纳法证明不等式12+13+12nn（nN*）时，从n=k到n=k+1不等式左边增添的项数是（）AkB2k1C2kD2k+1【解答】解：当n=k时，不等式左边为12+13+14+12k，共有2k1项，当n=k+1时，不等式坐左边为12+13+14+12k+1，共有2k+11项，增添的项数为2k+12k=2k故选：C二解答题（共9小题

16、）17设正项数列an的前n项和为Sn，且Sn=12（an+1an），（1）求a1，a2，a3，并猜想数列an的通项公式（2）用数学归纳法证明你的猜想【解答】解：（1）由于Sn=12（an+1an），当n=1时，a1=12（a1+1a1），可得a1=1，当n=2时，a1+a2=12（a2+1a2），可得a2=21，当n=3时，a1+a2+a3=12（a3+1a3），可得a3=32，猜想：an=nn-1（nN+）（2）证明：当n=1时，已证假设n=k（k1）时，ak=kk+1成立，则当n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=12（aK+1+1ak+1）12（aK+1ak）即aK+1+1ak+1=（a

17、K+1ak）=（kk-1+1k-k-1）=2kak+1=k+1k由可知对nN+，成立18已知数列an满足Sn=2nan（nN+）（1）计算a1，a2，a3，a4，猜想出an的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想【解答】解：（1）由a1=2a1，得a1=1，由a1+a2=4a2，得a2=32，由a1+a2+a3=6a3，得a3=74，由a1+a2+a3+a4=8a4，得a4=158，猜想an=2n-12n-1=2（12）n1，（2）证明：当n=1，由上面计算可知猜想成立，假设n=k时猜想成立，即ak=2（12）k1，此时Sk=2kak=2k2+（12）k1，当n=k+1时，S k+1=2（

18、k+1）a k+1，得Sk+ak+1=2（k+1）ak+1，因此ak+1=（k+1）12Sk=（k+1）k+12ak=1+112×（12）k1=2（12）k，当n=k+1时也成立，an=2（12）n119在数列an中，已知a1=2，an+1=an3an+1，(nN*)（）计算a2，a3，a4的值，并猜想出an的通项公式； （）请用数学归纳法证明你的猜想【解答】解：（）a2=a13a1+1=23×2+1=27，a3=a23a2+1=213，a4=a33a3+1=219，于是猜想出an=26n-5，（）当n=1时，显然成立；假设当n=k时，猜想成立，即ak=26k-5，则当n=

19、k+1时，ak+1=ak3ak+1=26k-53×26k-5+1=26k+1=26(k+1)-5，即当n=k+1时猜想也成立综合可知对于一切nN*，an=26n-520（1）当x1时，求证：x2+1x2x+1x；（2）用数学归纳法证明1n+1+1n+2+13n56（nN*）【解答】证明：（1）x2+1x2-(x+1x)=(x-1)2(x2+x+1)x2，x1（x1）20，x20，x2+x+10，x2+1x2x+1x，（2）当n=1时，左边=12+13=5656，所以当n=1时，命题成立；假设当n=k时，命题成立，则有1k+1+1k+2+13k56，则当n=k+1时，左边=1k+2+1

20、k+2+13k+3=(1k+1+1k+2+1k+2+13k)+13k+1+13k+2+13k+3-1k+156+13k+3×3-1k+1=56，所以当n=k+1时，命题也成立，综上可知原命题成立21已知数列an满足：a1=32，an+1=n(an-1)4n(n+1)an-4n2-3n+1+1（）试求数列a2，a3，a4的值；（）请猜想an的通项公式an，并运用数学归纳法证明之【解答】解：（）由题意：a1=32，an+1=n(an-1)4n(n+1)an-4n2-3n+1+1得a2=1312，a3=3130，a4=5756（）依据（），得a2=1312=112+1，a3=3130=13

21、0+1，a4=5756=156+1，由此猜想an=12n(2n-1)+1下面用数学归纳法证明之：当n=1时，a1=32=12×1+1，结论成立；假设n=k时，结论成立，即有ak=12k(2k-1)+1，则对于n=k+1时，ak+1=k(ak-1)4k(k+1)ak-4k2-3k+1+1=k×12k(2k-1)4k(k+1)(12k(2k-1)+1)-4k2-3k+1+1=12k(2k-1)(k+1)×8k2-4k+22k-1-(4k-1)(k+1)+1=12k(2k-1)(k+1)8k2-4k+22k-1-(4k-1)+1=12(2k-1)(k+1)(2k+1)2

22、k-1+1=12(2k-1)2k+22k-1+k+1+1=12(2k+2)+2(k+1)(2k-1)+1=12(k+1)(2k+1)+1当n=k+1时，结论成立综上，可得对nN*，有an=12n(2n-1)+1成立22设数列an满足an+1=an2nan+1，nN*（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列an的一个通项公式；（2）当a13时，证明对所有nN*，有：ann+2（用数学归纳法证明）；11+a1+11+a2+11+an12【解答】（1）解：由a1=2，得a2=a12a1+1=3；由a2=3，得a3=a222a2+1=4；由a3=4，得a4=a323a3+1=5；由此猜

23、想an的一个通项公式：an=n+14分（2）证明：当n=1时，a13=1+2，不等式成立6分假设当n=k时结论成立，即akk+2，则ak+1+1=ak（akk）+1（k+2）（k+2k）+1k+3=（k+1）+2，即n=k+1时，结论也成立由和可知，ann+210分（3）证明：由（2）知，an+1=an（ann）+12an+1，即an+1+12（an+1），于是于是11+an+11211+an，反复放缩，可得11+an12×11+an-1122×11+an-212n-1×11+a1=（12）n+1，11+a1+11+a2+11+an(12）2+（12）3+（12）

24、n+1=12-(12)n+11223已知正数x，y，z满足x2+y2+z2=6（1）求x+2y+z的最大值；（2）若不等式|a+1|2ax+2y+z对满足条件的x，y，z恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由柯西不等式（x2+y2+z2）（12+22+12）（x+2y+z）2，即有（x+2y+z）236又x，y，z是正数，x+2y+z6，即x+2y+z的最大值为6，当且仅当x1=y2=z1，即当x=z=1，y=2时取得最大值（2）由题意及（1）得，|a+1|2a（x+2y+z）max=6即：a+10且a+12a6，a+10，且a12a6，即a1，且a5；a1且a73，解得a无解或a73

25、，综上，实数a的取值范围为a|a-7324已知a0，b0，c0，函数f（x）=|x+a|xb|+c的最大值为10（1）求a+b+c的值；（2）求14（a1）2+（b2）2+（c3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值【解答】解：（1）f（x）=|x+a|xb|+c|b+a|+c，当且仅当xb时等号成立，a0，b0，f（x）的最大值为a+b+c又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10（4分）（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得14（a1）2+（b2）2+（c3）2（22+12+12）（a+b+c6）2=16，即14（a1）2+（b2）2+（c3）283（7分）当且仅当14（a1）=b2=c3，即a=113，b=83，c=113时等号成立（10分）25设不等式|x+1|+|x1|2的解集为M（）求集合M；（）若xM，|y|16，|z|19，求证：|x+2y3z|53【解答】解：（）根据绝对值的意义，|x+1|+|x1|表示数轴上的x对应点到1、1对应点的距离之和，它的最小值为2，故不等式|x+1|+|x1|2的解集为M=1，1（）xM，|y|16，|z|19，|x+2y3z|x|+2|y|+3|z|1+2×16+3×19=53，：|x+2y3z|53成立