2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版).doc

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1、 2014 年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知全集 U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合 （AB）=（）UAx|x0Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x12（5 分）设复数 z 满足（z2i）（2i）=5，则 z=（）A2+3iB23iC3+2i，则（D32i3（5 分）已知 a=，b=log ，c=log）2AabcBacbCcabDcba4（5 分）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（）A若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nB若 m，n ，则 m

2、nD若 m，mn，则 n5（5 分）设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 =0， =0，则 =0；命题 q：若 ， ，则 ，则下列命题中真命题是（ ）Apq6（5 分）6 把椅子排成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（A144 B120 C72 D247（5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（BpqC（p）（q） Dp（q）1 A82B8C8D88（5 分）设等差数列a 的公差为 d，若数列为递减数列，则（）nAd0Bd0Ca d0Da d0119（5 分）将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间 ，C在区间 ， 上单调递减10（5 分）

3、已知点 A（2，3）在抛物线 C：y =2px 的准线上，过点 A 的直线与上单调递增B在区间 ，上单调递减D在区间 ， 上单调递增2C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（A B C D11（5 分）当 x2，1时，不等式 ax x +4x+30 恒成立，则实数 a 的取）32值范围是（）A5，3B6， C6，2D4，312（5 分）已知定义在0，1上的函数 f（x）满足：f（0）=f（1）=0；对所有 x，y0，1，且 xy，有|f（x）f（y）| |xy|若对所有 x，y0，1，|f（x）f（y）|m 恒成立，则m 的最小值为（）ABCD二、填空题：本大

4、题共 4 小题，每小题 5 分。考生根据要求作答13（5 分）执行如图的程序框图，若输入 x=9，则输出 y=2 14（5 分）正方形的四个顶点 A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）分别在抛物线 y=x 和 y=x 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形22ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是15（5 分）已知椭圆 C： + =1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A、B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|+|BN|=16（5 分）对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a 2ab+4b c=0 且使|2a+b|最22大时，

5、 + 的最小值为3 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 ac，已知=2，cosB= ，b=3，求：（）a 和 c 的值；（）cos（BC）的值18（12 分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；（）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望

6、 E（X）及方差 D（X）4 19（12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F 分别为 AC、DC 的中点（）求证：EFBC；（）求二面角 EBFC 的正弦值20（12 分）圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该22三角形面积最小时，切点为 P（如图），双曲线 C ： =1 过点 P 且离心1率为 （）求 C 的方程；1（）若椭圆 C 过点 P 且与 C 有相同的焦点，直线 l 过 C 的右焦点且与 C 交于2122A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程5 21（12

7、 分）已知函数f（x）=（cosxx）（+2x） （sinx+1）g（x）=3（x）cosx4（1+sinx）ln（3 ）证明：（）存在唯一 x （0， ），使 f（x ）=0；00（）存在唯一 x （ ，），使 g（x ）=0，且对（）中的x ，有 x +x 11001四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑选修 41 ：几何证明选讲.22（10 分）如图，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG=PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直

8、 EP，垂足为 F（）求证：AB 为圆的直径；（）若 AC=BD，求证：AB=ED6 选修 4-4：坐标系与参数方程23将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线22C（）写出 C 的参数方程；（）设直线 l：2x+y2=0 与 C 的交点为 P ，P ，以坐标原点为极点，x 轴正半12轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P P 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方1 2程不等式选讲24设函数 f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x 8x+1记 f（x）1 的解集为2M，g（x）4 的解集为 N（）求 M；（）当 xMN 时，证明：x f（x）+xf（x

9、） 227 2014 年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知全集 U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合 （AB）=（）UAx|x0Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】5J：集合【分析】先求 AB，再根据补集的定义求 C （AB）U【解答】解：AB=x|x1 或 x0，C （AB）=x|0x1，U故选：D【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法2（5 分）设复数 z 满足（z2i）（

10、2i）=5，则 z=（A2+3i B23i C3+2i）D32i【考点】A5：复数的运算【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】把给出的等式两边同时乘以 ，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则 z 可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i8 故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题3（5 分）已知 a=Aabc，b=log ，c=log，则（）2BacbCcabDcba【考点】4H：对数的运算性质【专题】11：计算题；15：综合题【分析】利用指数式的运算性质得到 0a1，由对数的运算性质得到 b0，c1，则答案可求【解答】解：0a=b=log log

11、 1=0，2 =1，022c=log=log 3log 2=1，22cab故选：C【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题4（5 分）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（）A若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nB若 m，n ，则 mnD若 m，mn，则 n【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B运用线面垂直的性质，即可判断；C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行

12、的位置即可判断；9 D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解：A若 m，n，则 m，n 相交或平行或异面，故 A 错；B若 m，n ，则 mn，故 B 正确；C若 m，mn，则 n 或 n ，故 C 错；D若 m，mn，则 n 或 n 或 n，故 D 错故选：B【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型5（5 分）设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 =0， =0，则 =0；命题 q：若 ， ，则 ，则下列命题中真命题是（）Apq Bpq C（p）（q） Dp（q）【考点】2

13、E：复合命题及其真假；96：平行向量（共线）【专题】5L：简易逻辑【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断 p，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：若 =0， =0，则 = ，即（ ） =0，则 =0 不一定成立，故命题 p 为假命题，若 ， ，则 平行，故命题 q 为真命题，则 pq，为真命题，pq，（p）（q），p（q）都为假命题，故选：A【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断 p，q 的真假是解决本题的关键6（5 分）6 把椅子排成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（A144 B120 C72 D24）10 【考点】D

14、3：计数原理的应用【专题】12：应用题；5O：排列组合【分析】使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6 种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在 1 号位置与 2 号位置之间摆放一张凳子，2 号位置与 3 号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4 个空挡，随便摆放即可，即有 种办法根据分步计数原理可得结论【解答】解：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在 1 号位置与 2 号位置之间摆放一张凳子，2 号位置与 3 号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4 个空挡，随

15、便摆放即可，即有 种办法根据分步计数原理，64=24故选：D【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键7（5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D811 【考点】L!：由三视图求面积、体积【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积 S=222 1 =4 ，2柱体的高 h=2，故该几何体的体积 V=Sh=8，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和

16、表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键8（5 分）设等差数列a 的公差为 d，若数列为递减数列，则（）nAd0Bd0Ca d0Da d011【考点】83：等差数列的性质【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列【分析】由于数列2为递减数列，可得=1，解出即可【解答】解：等差数列a 的公差为 d，a a =d，nn+1n又数列2为递减数列，=1，a d01故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题12 9（5 分）将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间 ，上单调递增B在区

17、间 ，上单调递减C在区间 ， 上单调递减D在区间 ， 上单调递增【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取 k=0 即可得到函数在区间 ，上单调递增，则答案可求【解答】解：把函数 y=3sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin2（x ）+ 即 y=3sin（2x当函数递增时，由得），取 k=0，得所得图象对应的函数在区间 ，故选：A上单调递增【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单

18、调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题10（5 分）已知点 A（2，3）在抛物线 C：y2=2px 的准线上，过点 A 的直线与C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（A B C D）13 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意先求出准线方程 x=2，再求出 p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB 的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF 的斜率【解答】解：点 A（2，3）在抛物线 C：y =2px 的准线上，

19、2即准线方程为：x=2，p0， =2 即 p=4，抛物线 C：y =8x，在第一象限的方程为 y=2，2设切点 B（m，n），则 n=2又导数 y=2 ，则在切点处的斜率为 ，=2 m舍去），即 m，解得 =2 （切点 B（8，8），又 F（2，0），直线 BF 的斜率为故选：D，【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题11（5 分）当 x2，1时，不等式 ax x +4x+30 恒成立，则实数 a 的取32值范围是（）A5，3B6， C6，2D4，3【考点】3R：函数恒成立问题；7E：其他不等式的解法【专题】15：综合题；53：导

20、数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】分 x=0，0x1，2x0 三种情况进行讨论，分离出参数 a 后转化14 为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对 a 取交集【解答】解：当 x=0 时，不等式 ax x +4x+30 对任意 aR 恒成立；32当 0x1 时，ax x +4x+30 可化为 a，32令 f（x）=，则 f（x）=（*），当 0x1 时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x） =f（1）=6，a6；max当2x0 时，ax x +4x+30 可化为 a，32由（*）式可知，当2x1 时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0

21、，f（x）单调递增，f（x） =f（1）=2，a2；min综上所述，实数 a 的取值范围是6a2，即实数 a 的取值范围是6，2故选：C【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集12（5 分）已知定义在0，1上的函数 f（x）满足：f（0）=f（1）=0；对所有 x，y0，1，且 xy，有|f（x）f（y）| |xy|若对所有 x，y0，1，|f（x）f（y）|m 恒成立，则m 的最小值为（A B C D）【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用【

22、分析】依题意，构造函数 f（x）=（0k ），分 x0， ，且 y0， ；x0， ，且 y ，1；x0， ，且 y ，1；及15 当 x ，1，且 y ，1时，四类情况讨论，可证得对所有 x，y0，1，|f（x）f（y）| 恒成立，从而可得 m ，继而可得答案【解答】解：依题意，定义在0，1上的函数 y=f（x）的斜率|k| ，依题意可设 k0，构造函数 f（x）=（0k ），满足 f（0）=f（1）=0，|f（x）f（y）| |xy|当 x0， ，且 y0， 时，|f（x）f（y）|=|kxky|=k|xy|k| 0|=k ；当 x0， ，且 y ，1，|f（x）f（y）|=|kx（kky）

23、|=|k（x+y）k|k（1+ ）k|= ；当 y0， ，且 x ，1时，同理可得，|f（x）f（y）| ；当 x ，1，且 y ，1时，|f（x）f（y）|=|（kkx）（kky）|=k|xy|k（1 ）= ；综上所述，对所有 x，y0，1，|f（x）f（y）| ，对所有 x，y0，1，|f（x）f（y）|m 恒成立，m ，即 m 的最小值为 故选：B【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。考生根据要求作答13（5 分）执行如图的程序框图，若输入

24、 x=9，则输出 y=16 【考点】EF：程序框图【专题】11：计算题；5K：算法和程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 |yx|1，计算输出 y的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环 x=9，y= +2=5，|59|=41；第二次循环 x=5，y= +2= ，| 5|= 1；第三次循环 x= ，y= +2| +2 |= 1，满足条件|yx|1，跳出循环，输出 y= 故答案为： 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法14（5 分）正方形的四个顶点 A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）分别在抛物线 y=x

25、和 y=x 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形22ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是17 【考点】CF：几何概型【专题】5I：概率与统计【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【解答】解：A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），正方体的 ABCD 的面积 S=22=4，根 据 积 分 的 几 何 意 义 以 及 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 阴 影 部 分 的 面 积S=2=2=2（1 ）（1+ ）=2 = ，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是故答案为： 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用

26、积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键15（5 分）已知椭圆 C： + =1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A、B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|+|BN|= 12 【考点】K4：椭圆的性质【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值18 【解答】解：如图：MN 的中点为 Q，易得Q 在椭圆 C 上，|QF |+|QF |=2a=6，12|AN|+|BN|=12故答案为：12【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查16（5 分）对于 c0，当非零

27、实数 a，b 满足 4a 2ab+4b c=0 且使|2a+b|最22大时， + 的最小值为 2 【考点】7F：基本不等式及其应用【专题】59：不等式的解法及应用【分析】首先把：4a 2ab+4b c=0，转化为 =，再由柯西不22等式得到|2a+b| ，分别用 b 表示 a，c，在代入到 + 得到关于 b 的二次2函数，求出最小值即可【解答】解：4a 2ab+4b c=0，22=由柯西不等式得，故当|2a+b|最大时，有=|2a+b|219 + =，当 b= 时，取得最小值为2故答案为：2【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或

28、演算步骤17（12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 ac，已知 =2，cosB= ，b=3，求：（）a 和 c 的值；（）cos（BC）的值【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理【专题】56：三角函数的求值【分析】（）利用平面向量的数量积运算法则化简 =2，将 cosB 的值代入求出 ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将 b，cosB 以及 ac 的值代入得到a +c =13，联立即可求出 ac 的值；22（）由 cosB 的值，利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值，由 c，b，sinB，利用正弦定理

29、求出 sinC 的值，进而求出 cosC 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（） =2，cosB= ，cacosB=2，即 ac=6，b=3，20 由余弦定理得：b =a +c 2accosB，即 9=a +c 4，22222a +c =13，22联立得：a=3，c=2；（）在ABC 中，sinB=，由正弦定理a=bc，C 为锐角，cosC=得：sinC= sinB= =，= ，则 cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC= += 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解

30、本题的关键18（12 分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；（）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E（X）及方差 D（X）【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差21 【专题】5I：概率与统计【分析】（）由频率分布直方图求出事件 A ，A 的概率，利用相互独立事件的12概率公式求出事件“

31、在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100个且另 1 天的日销售量低于 50 个”的概率；（）写出 X 可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出 X 取每一个值的概率；列出分布列根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望 E（X）及方差 D（X）【解答】解：（）设 A 表示事件“日销售量不低于 100 个”，A 表示事件“日销12售量低于 50 个”B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1天的日销售量低于 50 个”，因此 P（A ）=（0.006+0.004+0.002）50=0.6，1P（A ）=0.00350=0

32、.15，2P（B）=0.60.60.152=0.108，（）X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量 X 的分布列为XP0.0640.2880.4320.216因为 XB（3，0.6），所以期望 E（X）=30.6=1.8，方差 D（X）=30.6（10.6）=0.72【点评】在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法22 19（12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F 分别为 AC、DC 的中点（）求证：EFBC；（）求二面角 EBFC

33、 的正弦值【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到 E、F、B、C 点的坐标，易求得此 =0，所以EFBC；（）设平面 BFC 的一个法向量 =（0，0，1），平面 BEF 的法向量 =（x，y，z），依题意，可求得一个 =（1， ，1），设二面角 EBFC 的大小为 ，可求得 sin 的值【解答】（）证明：由题意，以 B 为坐标原点，在平面

34、DBC 内过 B 作垂直 BC的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得 B（0，0，0），A（0，1， ），D（ ，1，0），C（0，2，0），因而 E（0， ， ），F（ ， ，0），所以 =（ ，0， ）， =（0，2，0），因此 =0，所以 EFBC（）解：在图中，设平面 BFC 的一个法向量 =（0，0，1），平面 BEF 的法向量 =（x，y，z），又 =（ ， ，0）， =（0， ， ），23 由得其中一个 =（1， ，1），设二面角 EBFC 的大小为 ，由题意知 为锐角，则cos=|co

35、s ， |=| |= ，因此 sin= =，即所求二面角正弦值为【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力20（12 分）圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该22三角形面积最小时，切点为 P（如图），双曲线 C ： =1 过点 P 且离心1率为 （）求 C 的方程；1（）若椭圆 C 过点 P 且与 C 有相同的焦点，直线 l 过 C 的右焦点且与 C 交于2122A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程24 【考点】KB：双曲线的标准方程；KH

36、：直线与圆锥曲线的综合【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设切点 P（x ，y ），（x 0，y 0），利用相互垂直的直线斜率之0000间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点 P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（）由（）可得椭圆 C 的焦点可设椭圆 C 的方程为（b 0）把221P 的坐标代入即可得出方程由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ ，A（x ，y ），B（x ，y ），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用1122向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：（）设切点 P（x ，y ），（x 0

37、，y 0），则切线的斜率为，0000可得切线的方程为，化为 x x+y y=400令 x=0，可得；令 y=0，可得切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积 S=4=，当且仅当时取等号此时 P由题意可得，解得 a =1，b =222故双曲线 C 的方程为1（）由（）可知双曲线 C 的焦点（ ，0），即为椭圆 C 的焦点12可设椭圆 C 的方程为（b 0）2125 把 P代入可得，解得 =3，因此椭圆 C 的方程为2由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ ，A（x ，y ），B（x ，y ），1122联立，化为，x +x =，12x x =1 2，+，解得 m=或 m=，因此直线

38、 l 的方程为：或【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题21（12 分）已知函数f（x）=（cosxx）（+2x） （sinx+1）g（x）=3（x）cosx4（1+sinx）ln（3 ）26 证明：（）存在唯一 x （0， ），使 f（x ）=0；00（）存在唯一 x （ ，），使 g（x ）=0，且对（）中的x

39、 ，有 x +x 11001【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】（）根据 x（0， ）时，f（x）0，得出 f（x）是单调减函数，再根据 f（0）0，f（ ）0，得出此结论；（）构造函数 h（x）=4ln（3 x），x ，令 t=x，得 u（t）=h（t），求出 u（t）存在唯一零点 t （0， ），1即证 g（x）存在唯一的零点 x （ ，），满足 x +x 101【解答】证明：（）当 x（0， ）时，f（x）=（1+sinx）（+2x）2x cosx0，函数 f（x）在（0， ）上为减函数，又 f（0）= 0，f（ ）= 0；2存在唯一的 x （0， ），使 f（x ）=0；00（）考虑函数 h（x）=4ln（3 x），x ，令 t=x，则 x ，时，t0， ，记函数 u（t）=h（t）=则 u（t）=4ln（1+ t），=27 =，由（）得，当 t（0，x ）时，u（t）0；0在（