2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x12（5分）设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i3（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcabDcba4（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n5（5分）

2、设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）6（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D247（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D88（5分）设等差数列an的公差为d，若数列为递减数列，则（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d09（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增10（5分）已知点A（2，3）在抛物线C：

3、y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）ABCD11（5分）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，312（5分）已知定义在0，1上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0；对所有x，y0，1，且xy，有|f（x）f（y）|xy|若对所有x，y0，1，|f（x）f（y）|m恒成立，则m的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答13（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y= 14（5分）正方形的四个顶点A（1，1），B（1，1），

4、C（1，1），D（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 15（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 16（5分）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+4b2c=0且使|2a+b|最大时，+的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值18（12分）一家面包

5、房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）19（12分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F分别为AC、DC的中点（）求证：EFBC；（）求二面角EBFC的正弦值20（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，

6、切点为P（如图），双曲线C1：=1过点P且离心率为（）求C1的方程；（）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程21（12分）已知函数f（x）=（cosxx）（+2x）（sinx+1）g（x）=3（x）cosx4（1+sinx）ln（3）证明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且对（）中的x0，有x0+x1四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑选修4-1：几何证

7、明选讲.22（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=BD，求证：AB=ED选修4-4：坐标系与参数方程23将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C（）写出C的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程不等式选讲24设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N

8、（）求M；（）当xMN时，证明：x2f（x）+xf（x）22014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1【解答】解：AB=x|x1或x0，CU（AB）=x|0x1，故选：D2（5分）设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i故选：A3（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）

9、AabcBacbCcabDcba【解答】解：0a=20=1，b=log2log21=0，c=log=log23log22=1，cab故选：C4（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【解答】解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选B5（5分）设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）【解答】解：若=0，=0

10、，则=，即（）=0，则=0不一定成立，故命题p为假命题，若，则平行，故命题q为真命题，则pq，为真命题，pq，（p）（q），p（q）都为假命题，故选：A6（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D24【解答】解：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法根据分步计数原理，64=24故选：D7（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8

11、2B8C8D8【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积S=22212=4，柱体的高h=2，故该几何体的体积V=Sh=8，故选：B8（5分）设等差数列an的公差为d，若数列为递减数列，则（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d0【解答】解：等差数列an的公差为d，an+1an=d，又数列2为递减数列，=1，a1d0故选：C9（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所

12、对应的函数解析式为：y=3sin2（x）+即y=3sin（2x）当函数递增时，由，得取k=0，得所得图象对应的函数在区间，上单调递增故选：B10（5分）已知点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）ABCD【解答】解：点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=2，p0，=2即p=4，抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y=2，则在切点处的斜率为，即m=2m，解得=2（舍去），切点B（8，8），又F（2，0），直线BF的斜率为，故选D11（5分

13、）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，3【解答】解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意aR恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（x）=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故选：C12（

14、5分）已知定义在0，1上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0；对所有x，y0，1，且xy，有|f（x）f（y）|xy|若对所有x，y0，1，|f（x）f（y）|m恒成立，则m的最小值为（）ABCD【解答】解：依题意，定义在0，1上的函数y=f（x）的斜率|k|，依题意可设k0，构造函数f（x）=（0k），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）f（y）|xy|当x0，且y0，时，|f（x）f（y）|=|kxky|=k|xy|k|0|=k；当x0，且y，1，|f（x）f（y）|=|kx（kky）|=|k（x+y）k|k（1+）k|=；当y0，且x，1时，同理可得，|f（x）f（y）|；当x，

15、1，且y，1时，|f（x）f（y）|=|（kkx）（kky）|=k|xy|k（1）=；综上所述，对所有x，y0，1，|f（x）f（y）|，对所有x，y0，1，|f（x）f（y）|m恒成立，m，即m的最小值为故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答13（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=9，y=+2=5，|59|=41；第二次循环x=5，y=+2=，|5|=1；第三次循环x=，y=+2|+2|=1，满足条件|yx|1，跳出循环，输出y=故答案为：14（5分）正方形的四个顶点A（1，1），B（1，1），C（1，1），D

16、（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是【解答】解：A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），正方体的ABCD的面积S=22=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2（1）（1+）=2=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是故答案为：15（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，Q在椭圆C上，|QF1|+|QF2|=2

17、a=6，|AN|+|BN|=12故答案为：1216（5分）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+4b2c=0且使|2a+b|最大时，+的最小值为2【解答】解：4a22ab+4b2c=0，=由柯西不等式得，=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有+=，当b=时，取得最小值为2故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值【解答】解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22acco

18、sB，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定理=得：sinC=sinB=，a=bc，C为锐角，cosC=，则cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=+=18（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）【解答】解：（）设A1表示

19、事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）50=0.6，P（A2）=0.00350=0.15，P（B）=0.60.60.152=0.108，（）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB（3，0.6），所以期望E（X）=30.6=1.8，方差D（X）=30.6（10.6）=0.7219（12分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB

20、=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F分别为AC、DC的中点（）求证：EFBC；（）求二面角EBFC的正弦值【解答】（）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，1，），D（，1，0），C（0，2，0），因而E（0，），F（，0），所以=（，0，），=（0，2，0），因此=0，所以EFBC（）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，0），=（0，），由得其中一个=（1，1），设二面

21、角EBFC的大小为，由题意知为锐角，则cos=|cos，|=|=，因此sin=，即所求二面角正弦值为20（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：=1过点P且离心率为（）求C1的方程；（）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程【解答】解：（）设切点P（x0，y0），（x00，y00），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x0x+y0y=4令x=0，可得；令y=0，可得切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S=4=，当且

22、仅当时取等号此时P由题意可得，解得a2=1，b2=2故双曲线C1的方程为（）由（）可知双曲线C1的焦点（，0），即为椭圆C2的焦点可设椭圆C2的方程为（b10）把P代入可得，解得=3，因此椭圆C2的方程为由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为，x1+x2=，x1x2=，+，解得m=或m=，因此直线l的方程为：或21（12分）已知函数f（x）=（cosxx）（+2x）（sinx+1）g（x）=3（x）cosx4（1+sinx）ln（3）证明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且对（）中的x0，有x0+

23、x1【解答】证明：（）当x（0，）时，f（x）=（1+sinx）（+2x）2xcosx0，函数f（x）在（0，）上为减函数，又f（0）=0，f（）=20；存在唯一的x0（0，），使f（x0）=0；（）考虑函数h（x）=4ln（3x），x，令t=x，则x，时，t0，记函数u（t）=h（t）=4ln（1+t），则u（t）=，由（）得，当t（0，x0）时，u（t）0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，当t（0，x0时，u（t）0，u（t）在（0，x0上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）0，u（）=4ln20，存在唯一的t1（x0，），使u（t1）=0；存在唯一的t1

24、（0，），使u（t1）=0；存在唯一的x1=t1（，），使h（x1）=h（t1）=u（t1）=0；当x（，）时，1+sinx0，g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，存在唯一的x1（，），使g（x1）=0，x1=t1，t1x0，x0+x1四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲.22（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=B

25、D，求证：AB=ED【解答】证明：（）PG=PD，PDG=PGD，PD为切线，PDA=DBA，PGD=EGA，DBA=EGA，DBA+BAD=EGA+BAD，BDA=PFA，AFEP，PFA=90BDA=90，AB为圆的直径；（）连接BC，DC，则AB为圆的直径，BDA=ACB=90，在RtBDA与RtACB中，AB=BA，AC=BD，RtBDARtACB，DAB=CBA，DCB=DAB，DCB=CBA，DCAB，ABEP，DCEP，DCE为直角，ED为圆的直径，AB为圆的直径，AB=ED选修4-4：坐标系与参数方程23将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C

26、（）写出C的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程【解答】解：（）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （02，为参数）（）由，可得 ，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y1=（x），即x2y+=0再根据x=cos、y=sin 可得所求的直线的极坐标方程为cos2sin+=0，即 =不等式选讲24设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N（）求M；（）当xMN时，证明：x2f（x）+xf（x）2【解答】解：（）由f（x）=2|x1|+x11 可得，或 解求得1x，解求得 0x1综上，原不等式的解集为0，（）证明：由g（x）=16x28x+14，求得x，N=，MN=0，当xMN时，f（x）=1x，x2f（x）+xf（x）2 =xf（x）x+f（x）=，故要证的不等式成立专心-专注-专业