小学数学知识点总结大全.pdf

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1、小学数学知识点总结大全小学数学知识点总结大全【含义】在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量份数=1 份数量 1 份数量所占份数=所求几份的数量另一总量(总量份数)=所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱?解 (1)买 1 支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)(2)买 16 支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)列成综合算式 0.6516=0.1216=1.92(元)答：需要 1.92 元。例 2 3

2、 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷?解 (1)1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷?9033=10(公顷)(2)5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷?1056=300(公顷)列成综合算式 903356=1030=300(公顷)答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次?解 (1)1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材?10054=5(吨)1 (2)7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材?57=35(吨)(3)105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次?10535=3

3、(次)列成综合算式 105(100547)=3(次)答：需要运 3 次。【含义】解题时，常常先找出总数量，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1 份数量份数=总量总量1 份数量=份数总量另一份数=另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套?解 (1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)(2)现在可以做多少套?253

4、1.22.8=904(套)列成综合算式 3.27912.8=904(套)答：现在可以做 904 套。例 2小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完红岩?解 (1)红岩这本书总共多少页?2412=288(页)(2)小明几天可以读完红岩?28836=8(天)2列成综合算式 241236=8(天)答：小明 8 天可以读完红岩。例 3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天?解 (1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)(2)这批蔬菜可以吃多少天

5、?1500(50+10)=25(天)列成综合算式 5030(50+10)=150060=25(天)答：这批蔬菜可以吃 25 天。【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数=(和+差)2小数=(和-差)2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。例 1甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人?解甲班人数=(98+6)2=52(人)乙班人数=(98-6)2=46(人)答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。解长=(18+

6、2)2=10(厘米)宽=(18-2)2=8(厘米)3长方形的面积=108=80(平方厘米)答：长方形的面积为 80 平方厘米。例 3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)乙袋化肥重量=32-12=20(千克)答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 4甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车

7、取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐?解从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的和是 97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)乙车筐数=97-64=33(筐)答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和(几倍+1)=较小的数总和-较小的数=较大的数较小的数几倍=较大的数4【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂

8、的题目变通后利用公式。例 1果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵?解 (1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)(2)桃树有多少棵?623=186(棵)答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。例 2东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨?解 (1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)(2)东库存粮数=480-200=280(吨)答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，

9、几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍?解每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为 (52+32)(2+1)=28(辆)所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 4甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数5各是多少?解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4，所以

10、给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍;又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍;这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28乙数=282-4=52丙数=283+6=90答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差(几倍-1)=较小的数较小的数几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树

11、多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵?解 (1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)(2)桃树有多少棵?623=186(棵)答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。例 2爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁?6解 (1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)(2)爸爸年龄=94=36(岁)答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。例 3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元?解如果把上月盈利作为 1 倍量，则(30-12)万元就相当

12、于上月盈利的(2-1)倍，因此上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)本月盈利=18+30=48(万元)答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。例 4粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍?解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)运出的小麦数量=94-22=72(吨)运粮的天数=729=8(

13、天)答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】7总量一个数量=倍数另一个数量倍数=另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽3700 千克，可以榨油多少?解 (1)3700 千克是 100 千克的多少倍?3700100=37(倍)(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)列成综合算式 40(3700100)=1480(千克)答：可以榨油 1480 千克。例 2今年

14、植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县48000 名师生共植树多少棵?解 (1)48000 名是 300 名的多少倍?48000300=160(倍)(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)列成综合算式 400(48000300)=64000(棵)答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。例 3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元?全县 16000 亩果园共收入多少元?解 (1)800 亩是 4 亩的几倍?8004=200(倍)(2)800 亩收入多少元?111112

15、00=2222200(元)(3)16000 亩是 800 亩的几倍?16000800=20(倍)(4)16000 亩收入多少元?222220020=44444000(元)答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入444440008元。【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间=总路程(甲速+乙速)总路程=(甲速+乙速)相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从

16、上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇?解 392(28+21)=8(小时)答：经过 8 小时两船相遇。例 2小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?解第二次相遇可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 4002相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。9例 3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。解两人在距中点 3 千米

17、处相遇是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3 千米，乙距中点3 千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)两地距离=(15+13)3=84(千米)答：两地距离是 84 千米。【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间=追及路程(快速-慢速)追及路程=(快速-慢速)追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式

18、，复杂的题目变通后利用公式。例 1好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马?解 (1)劣马先走 12 天能走多少千米?7512=900(千米)(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)列成综合算式 7512(120-75)=90045=20(天)答：好马 20 天能追上劣马。10例 2小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200 米，此时小亮跑了(500-200)米，要

19、知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40(500200)秒，所以小亮的速度是 (500-200)40(500200)=300100=3(米)答：小亮的速度是每秒 3 米。例 3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人?解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是10(22-6)千米，甲乙两地相距

20、60 千米。由此推知追及时间=10(22-6)+60(30-10)=22020=11(小时)答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 162(48-40)=4(小时)11所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)列成综合算式(48+40)162(48-40)=884 =352(千米)答：甲乙两站的距

21、离是 352 千米。【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数=距离棵距+1环形植树棵数=距离棵距方形植树棵数=距离棵距-4三角形植树棵数=距离棵距-3面积植树棵数=面积(棵距行距)【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?解 1362+1=68+1=69(棵)答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?解 4004=100(

22、棵)答：一共能栽 100 棵白杨树。例 312一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?解 22048-4=110-4=106(个)答：一共可以安装 106 个照明灯。例 4给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖?解 96(0.60.4)=960.24=400(块)答：至少需要 400 块地板砖。例 5一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?解 (1)桥的一边有多少个电杆?50

23、050+1=11(个)(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变这个特点。【解题思路和方法】可以利用差倍问题的解题思路和方法。例 113爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?解 355=7(倍)(35+1)(5+1)=6(倍)答：

24、今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。例 2母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍?解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)(2)几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍?30(4-1)-7=3(年)列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。例 3甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁。乙对甲说：当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁。求甲乙现在的岁数各是多少?解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年 今年 将来某一年甲 岁 岁

25、 61 岁乙 4 岁 岁 岁表中两个表示同一个数，两个表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：-4=-=61-，也就是 4，61成等差数列，所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)甲今年的岁数为=61-19=42(岁)乙今年的岁数为=42-19=23(岁)答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。14【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】(顺水速度+

26、逆水速度)2=船速 (顺水速度-逆水速度)2=水速顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?解由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 3208-15=25(千米)船的逆水速为 25-15=10(千米)船逆水行这段路程的时间为 32010=32(小时)答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。例 2甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 1

27、0 小时;乙船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间?解由题意得甲船速+水速=36010=36甲船速-水速=36018=2015可见(36-20)相当于水速的 2 倍，所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)又因为，乙船速-水速=36015，所以，乙船速为 36015+8=32(千米)乙船顺水速为 32+8=40(千米)所以，乙船顺水航行 360 千米需要 36040=9(小时)答：乙船返回原地需要 9 小时。【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间=(车长+桥长)车速火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离)(甲车

28、速-乙车速)火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)(甲车速+乙车速)【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米?解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。(1)火车 3 分钟行多少米?9003=2700(米)(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)16列成综合算式 9003-2400=300(米)答：这列火车长 300 米。例 2一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间

29、，求大桥的长度是多少米?解火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒=125 秒，所走的路程是(8125)米，这段路程就是(200 米+桥长)，所以，桥长为 8125-200=800(米)答：大桥的长度是 800 米。例 3一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?解从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为 (225+140)(22-17)=73(秒)答：需要 73 秒。例 4一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有

30、一个扳道工人以每秒 3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150(22+3)=6(秒)答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成17一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为 11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为追及问题后可以直接利用公式。例 1从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?解钟面的一周分为 60 格，分

31、针每分钟走一格，每小时走 60 格;时针每小时走 5 格，每分钟走 5/60=1/12 格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12 格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以分针追上时针的时间为 20(1-1/12)22(分)答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。例 2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?解钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差 15 格(包括分针在时针的前或后 15 格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(54)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(54-15)格，如果分针在时针前与它成

32、直角，那么分针就要比时针多走(54+15)格。再根据 1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。(54-15)(1-1/12)6(分)(54+15)(1-1/12)38(分)答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。例 3六点与七点之间什么时候时针与分针重合?解18六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。(56)(1-1/12)33(分)答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数

33、，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数=(盈+亏)分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=(大盈-小盈)分配差参加分配总人数=(大亏-小亏)分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个;若每人分 4 个就少 1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?解按照参加分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)(2)有多少个苹果?312+11=47(个)答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2修一条公

34、路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天;如果每天修 30019米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米?解题中原定完成任务的天数，就相当于参加分配的总人数，按照参加分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为 (2608-3004)(300-260)=22(天)这条路全长为 300(22+4)=7800(米)答：这条路全长 7800 米。例 3学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人;如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?解本题中的车辆数就相当于参加分配的总人数，于是就有 (1)有多少车?(30-0)(45-40

35、)=6(辆)(2)有多少人?406+30=270(人)答：有 6 辆车，有 270 人。【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，常常用单位1表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量=工作效率工作时间工作时间=工作量工作效率20工作时间=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)【解题思路和方法】变通后可

36、以利用上述数量关系的公式。例 1一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成?解题中的一项工程是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)答：两队合做需要 6 天完成。例 2一批零件，甲独做6 小时完成，乙独做8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件

37、共有多少个?解一设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要 1(1/6+1/8)小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以 (1)每小时甲比乙多做多少零件?241(1/6+1/8)=7(个)(2)这批零件共有多少个?7(1/6-1/8)=168(个)答：这批零件共有 168 个。解二上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/8=43由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4-3/4+3=1/721所以，这批零件共有 241/7=168(个

38、)例 3一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 6012=56010=66015=4因此余下的工作量由乙丙合做还需要 (60-52)(6+4)=5(小时)答：还需要 5 小时才能完成。例 4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水

39、池;当打开 2 个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?解：注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为(145)，2 个进水管 15 小时注水量为(1215)，从而可知每小时的排水量为(1215-145)

40、(15-5)=1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 145-15=15又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 12，所以，2 小时内注满一池水22至少需要多少个进水管?(15+12)(12)=8.59(个)答：至少需要 9 个进水管。【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的

41、量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米?解由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度=1(1+3)=14=312现已修长度总长度=1(1+2)=13=412比较以上两式可知，把总长度当作 12

42、 份，则 300 米相当于(4-3)份，从而知公路总长为 300(4-3)12=3600(米)23答：这条公路总长 3600 米。例 2张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题?解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91 分钟可以做 X 应用题则有 284=91X 28X=914X=91428X=13答：91 分钟可以做 13 道应用题。例 3孙亮看十万个为什么这本书，每天看24 页，15 天看完，如果每天看36 页，几天就可以看完?解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设 X 天可以看完，就有 2436=X15 36X=2415X

43、=10答：10 天就可以看完。【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。24例 1学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二

44、班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵?解总份数为 47+48+45=140一班植树 56047/140=188(棵)二班植树 56048/140=192(棵)三班植树 56045/140=180(棵)答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。例 2用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 345。三条边的长各是多少厘米?解 3+4+5=12603/12=15(厘米)604/12=20(厘米)605/12=25(厘米)答：三角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。例 3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子

45、，大儿子分总数的 1/2，二儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/21/31/9=962 9+6+2=17179/17=9 176/17=6172/17=2答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。例 425某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80 人，三个车间共多少人?解 80(12-8)(8+12+21)=820(人)答：三个车间一共 820 人。【含义】百分数是表示一个数是另一

46、个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号%。在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。【数量关系】掌握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：百分数=比较量标准量标准量=比较量百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：(1)求一个数是另一个数的百分之几;(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 1仓库里有一批化肥，用去 720 千克，剩下 6

47、480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?解 (1)用去的占 720(720+6480)=10%(2)剩下的占 6480(720+6480)=90%26答：用去了 10%，剩下 90%。例 2红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几?解本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)525=0.2=20%或者 1-420525=0.2=20%答：男职工人数比女职工少 20%。例 3红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几?解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比

48、较量，因此 (525-420)420=0.25=25%或者 525420-1=0.25=25%答：女职工人数比男职工多 25%。例 4红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?解 (1)男职工占 420(420+525)=0.444=44.4%(2)女职工占 525(420+525)=0.556=55.6%答：男职工占全厂职工总数的 44.4%，女职工占 55.6%。【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。27【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量天数【解题思路和方法】解这类题的

49、关键是求出草每天的生长量。例 1一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完?解草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量天数。求多少头牛 5 天可以把草吃完，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答：(1)求草每天的生长量因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即(11020);另一方面，20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量，所以 11020=原有草量+20 天内生长量同理 11510=原有草量+10 天内生长量由

50、此可知(20-10)天内草的生长量为 11020-11510=50因此，草每天的生长量为 50(20-10)=5 (2)求原有草量原有草量=10 天内总草量-10 内生长量=11510-510=100 (3)求 5 天内草总量 5 天内草总量=原有草量+5 天内生长量=100+55=125 (4)求多少头牛 5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。因此 5 天吃完草需要牛的头数 1255=25(头)答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。例 2一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。28如果有 12 个人淘水，3 小时可以淘完;如果只有