数学物理方程数学物理第一章课件.ppt

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1、数学物理方程数学物理第一章第1页，此课件共55页哦11绪论绪论数学物理方程是数学建模的最好例证，从中我们可以学习如何将一个实际问题通过适当的简化和假设，用适当的数学结构来表示，即如何建立一个实际问题的数学模型，然后求解该模型，模型的解能否解释实际问题的现象。也就是说求得的解是否能够描述实际问题，这要通过物理实验来验证。这一过程就是科学研究所需要的或者说必经的过程。我们从所学的三类方程中可以看到数学的抽象性而决定的数学模型应用的广泛性，经典方程的经典解法具有的一般性和普适性。第2页，此课件共55页哦11绪论绪论一、本课程的研究对象一、本课程的研究对象第3页，此课件共55页哦第4页，此课件共55页

2、哦第5页，此课件共55页哦当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定金属内部各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴趣.1807年想巴黎科学院提交了用数学研究热传导的论文。Fourier用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼.第6页，此课件共55页哦这三类方程及其求解构成数学物理方程的主要内容第7页，此课件共55页哦18世纪著名数学家、物理

3、学家达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783）第8页，此课件共55页哦数学物理方程中的著名数学家物理学家位势方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827）傅立叶（法1768-1830）-热传导方程的研究先驱 第9页，此课件共55页哦柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）第10页，此课件共55页哦二、二、关于偏微分方程的基本概念关于偏微分方程的基本概念1.1.方程的阶方程的阶第11页，此课件共55页哦1.2 线性微分方程线性微分方程1.3半半 线性微分方程、拟线性方程线性微分方程、拟线性方程第12页，此课件共55页哦本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式本课遇到一

4、二阶线性偏微分方程的一般表达形式一阶线性偏微分方程的一般表达形式一阶线性偏微分方程的一般表达形式二阶线性偏微分方程的一般表达形式二阶线性偏微分方程的一般表达形式第13页，此课件共55页哦1.4非齐次、齐次偏微分方程非齐次、齐次偏微分方程在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作非齐次项。在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。1.5偏微分方程的古典解偏微分方程的古典解m阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至m阶

5、连续偏导数的函阶连续偏导数的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。F非齐次项第14页，此课件共55页哦1.6偏微分方程的定解条件与定解问题偏微分方程的定解条件与定解问题偏微分方程的解有无穷多个偏微分方程的解有无穷多个而每个解都表示一特定的运动过程，为了而每个解都表示一特定的运动过程，为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过在这些方面的的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能

6、确定出一个特定的解。这考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。称作定解；这些已知条件称作定解条件。偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适当。当。第15页，此课件共55页哦三、数学物理方程的研究方法三、数学物理方程的研究方法在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能

7、详细的考察，在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格论证结论方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！在数学物理方程中，在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这

8、种做法并不意味着可而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么困难。一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么困难。正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。于某

9、些定理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。第16页，此课件共55页哦四、数学物理方程的基本内容和要求四、数学物理方程的基本内容和要求本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就前本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就前面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！目的：目的：使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些实际使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解问题的一问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解问题的一

10、些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训练。这也是目前些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训练。这也是目前数学建模所需要的能力。数学建模所需要的能力。数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也是一门数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也是一门综合性比较强的学科；它以解决实际问题为唯一目标，广泛应用物理综合性比较强的学科；它以解决实际问题为唯一目标，广泛应用物理学、力学、数学的各个分支知识；高等数学、复变函数、积分变换等。学、力学、数学的各个分支知识；高等数学、复变函数、积分变换等。1.9数学物理方程课程所需要的基础数学物理方程课程所需要的基础第17

11、页，此课件共55页哦五、数学物理方程参考书五、数学物理方程参考书1 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 南京工学院数学教研组南京工学院数学教研组 高等教育出版社高等教育出版社 1982年年2数学物理方程数学物理方程 欧维义欧维义 吉林科技出版社吉林科技出版社 1985年年第18页，此课件共55页哦第19页，此课件共55页哦22方程及定解问题的物理推导方程及定解问题的物理推导2.1、弦振动方程、弦振动方程2.1.1、物理模型、物理模型第20页，此课件共55页哦第21页，此课件共55页哦第22页，此课件共55页哦弦的强迫横振动方程弦的自由横振动方程第23页，此课件共55页哦第24页，此课

12、件共55页哦2.2、薄膜平衡方程、薄膜平衡方程2.2.1、物理模型、物理模型第25页，此课件共55页哦2.2、薄膜平衡方程（推导过程）、薄膜平衡方程（推导过程）2.2.1、物理模型、物理模型第26页，此课件共55页哦第27页，此课件共55页哦第28页，此课件共55页哦2.3、热传导方程、热传导方程2.3.1、物理模型、物理模型设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从高温处设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从高温处向低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所满足的方程向低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所满足的方程.第29页，此课件共55页哦

13、第30页，此课件共55页哦奥-高公式第31页，此课件共55页哦第32页，此课件共55页哦1、弦振动方程、弦振动方程2、热传导方程、热传导方程3、位势方程、位势方程第33页，此课件共55页哦1、弦振动方程、弦振动方程2、热传导方程、热传导方程3、位势方程、位势方程第34页，此课件共55页哦2.4、定解条件和定解问题、定解条件和定解问题定解条件定解条件三类典型方程只能表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其本三类典型方程只能表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其本身不能确定它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷多个身不能确定它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷多个解，每个解都表示一

14、个特定的运动。为此我们要对方程附加一定的解，每个解都表示一个特定的运动。为此我们要对方程附加一定的条件来刻画所研究物体的运动过程。条件来刻画所研究物体的运动过程。第35页，此课件共55页哦2.4.1、三类典型方程的初始条件、三类典型方程的初始条件（1）、一维弦振动方程的初始条件）、一维弦振动方程的初始条件弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度（2）、三维热传导方程的初始条件）、三维热传导方程的初始条件（3）、）、Poisson、Laplace方程无初始条件方程无初始条件第36页，此课件共55页哦2.4.2、三类典型方程的边值条件、三类典型方程的

15、边值条件1 1、一维弦振动方程的边界条件、一维弦振动方程的边界条件弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：（2)2)自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x x轴的直线自由轴的直线自由滑动，从而在这条直线的方向上，端点所受的张力分量为零滑动，从而在这条直线的方向上，端点所受的张力分量为零.（3 3）弹性支撑端（第三边值条件）弹性支撑端（第三边值条件）边界条件的形式比初始条件要多样些边界条件的形式比初始条件要多样些.第37页，此课件共55页哦1 1、一维弦振动方程的边界条件、一维弦振动方程的边界条件（2 2

16、）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x x轴的直线自由轴的直线自由滑动滑动.（3 3）弹性支撑端（第三边值条件）弹性支撑端（第三边值条件）第38页，此课件共55页哦2 2、三维热传导方程的边界条件、三维热传导方程的边界条件（2 2）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流入的）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流入的热量已知，由热量已知，由FourierFourier热传导定律：热传导定律：Newton热传导定律在单位时间内，从物体表面单位面积中流向介质的热量同物体外表面的温度与介质在表面处的温度之差成正比.第

17、39页，此课件共55页哦Cauchy问题也称初边值问题（1 1）没有一般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；）没有一般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；（2 2）求解定解问题分两步走：先求定解问题的形式解，然后加上适）求解定解问题分两步走：先求定解问题的形式解，然后加上适当条件严格论证所求形式解确是解！当条件严格论证所求形式解确是解！（3 3）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分利用叠）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分利用叠加原理加原理.所说的形式解就是先假定所有的已知函数未知函数具有很好的性质，也就是需要什么条件就具有什么条件。第40页，此课件共

18、55页哦一、热传导方程1、第一边界问题2、第二边界问题3、第三边界问题第41页，此课件共55页哦二、波动方程 第一边界问题第二边界问题第三边界问题第42页，此课件共55页哦三、位势方程1、第一边界问题2、第二边界问题1、第三边界问题第43页，此课件共55页哦3两个重要定律一、杜阿梅尔原理（以一维弦振动为例）第44页，此课件共55页哦拉格朗日中值定理积分中值定理第45页，此课件共55页哦第46页，此课件共55页哦第47页，此课件共55页哦第48页，此课件共55页哦二、叠加原理（以热传导方程为例）叠加原理I第49页，此课件共55页哦叠加原理II第50页，此课件共55页哦叠加原理IV第51页，此课件共55页哦叠加原理III 第52页，此课件共55页哦第53页，此课件共55页哦第54页，此课件共55页哦第55页，此课件共55页哦