数学物理方程数学物理第一章.ppt

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1、数学物理方程数学物理第一章现在学习的是第1页，共55页1 1绪论绪论 数学物理方程是数学建模的最好例证，从中我们可以学习如何将一个实际问题通过适当的简化和假设，用适当的数学结构来表示，即如何建立一个实际问题的数学模型，然后求解该模型，模型的解能否解释实际问题的现象。也就是说求得的解是否能够描述实际问题，这要通过物理实验来验证。这一过程就是科学研究所需要的或者说必经的过程。我们从所学的三类方程中可以看到数学的抽象性而决定的数学模型应用的广泛性，经典方程的经典解法具有的一般性和普适性。现在学习的是第2页，共55页1 1绪论绪论.基基础础和和背背景景理理论论和和实实际际问问题题为为研研究究数数学学物

2、物理理方方程程是是以以物物理理.解解方方法法三三种种典典型型物物理理方方程程的的求求本本课课程程主主要要内内容容：介介绍绍一、本课程的研究对象一、本课程的研究对象.工工具具是是偏偏微微分分方方程程理理论论研研究究方方法法是是数数学学分分析析，.理理方方程程偏偏微微分分方方程程称称作作数数学学物物我我们们把把描描述述物物理理现现象象的的什么是偏微分方程？什么是偏微分方程？.分分方方程程偏偏导导数数的的等等式式称称作作偏偏微微含含有有未未知知多多元元函函数数及及其其刻刻其其内内部部某某一一点点处处温温度度描描述述某某一一物物体体在在某某一一时时例例),(tzyxu 1 1),()(tzyxfzuy

3、uxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 热传导方程热传导方程现在学习的是第3页，共55页0 02 22 22 22 22 22 22 2 zuyuxu 例例称作拉普拉斯方程称作拉普拉斯方程所所满满足足的的方方程程位位移移描描述述弦弦（杆杆）振振动动时时其其例例),(txu 3 32 22 22 22 22 2xuatu 称作振动方程称作振动方程所所满满足足的的方方程程移移描描述述梁梁的的横横振振动动时时其其位位例例),(txu 4 4),(txfxuatu 4 44 42 22 22 2所所满满足足的的方方程程和和位位函函数数数数描描述述静静电电、磁磁场场的的力力函函例例vu

4、 5 5 0 00 0yuxvyvxu现在学习的是第4页，共55页.世世纪纪是是其其迅迅速速发发展展时时期期、世世纪纪。偏偏微微分分方方程程诞诞生生于于2 20 01 19 91 18 8源二、数学物理方程的起年年）：首首先先给给出出弦弦振振动动方方程程（法法国国数数学学家家、物物理理学学家家1 17 74 47 72 22 22 22 22 2xuatu )()(),(xatxattxu 2 21 1并并给给出出其其解解：研研究究。拉拉等等人人对对弦弦振振动动的的深深入入这这引引起起伯伯努努利利家家族族、欧欧.斯斯方方程程出出色色工工作作，称称作作拉拉普普拉拉拉拉普普拉拉斯斯的的现现位位势势

5、方方程程！后后来来因因为为年年欧欧拉拉在在论论文文中中首首次次出出1 17 75 52 20 02 22 22 22 22 22 2 zuyuxu.、三三维维波波动动方方程程和和球球面面波波时时建建立立了了二二维维年年欧欧拉拉在在在在研研究究矩矩形形鼓鼓1 17 75 59 9)(2 22 22 22 22 22 22 22 22 2zuyuxuatu 其数学模型的不断深入方展，作为世纪随着物理科学发展到了19各各类类偏偏微微分分众众多多数数学学家家系系统统地地研研究究荣荣起起来来的的偏偏微微分分方方程程，空空前前繁繁.世世纪纪偏偏微微分分方方程程的的内内容容进进行行的的，所所以以联联系系着着

6、相相应应的的物物理理模模型型究究方方法法大大多多都都性性和和求求解解方方法法。这这些些研研方方程程古古典典解解的的存存在在唯唯一一1 19 9.也称为数学物理方程也称为数学物理方程现在学习的是第5页，共55页。究究热热烈烈局局面面的的第第一一人人是是世世纪纪打打开开偏偏微微分分方方程程研研Fourier1 19 9当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定金属内部各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴趣.1807年想巴黎科学院提交了用数学研究热传导的论文。,2 22 22 2xuatu .格格性性而而遭遭到到质质疑疑却却在在理理论论上上因因为为缺缺乏乏严严“形形式式

7、”风风气气进进行行的的世世纪纪数数学学物物理理界界流流行行的的量量法法！他他的的研研究究是是沿沿用用并并创创立立了了所所谓谓的的分分离离变变1 18 8Fourier用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼.现在学习的是第6页，共55页这三类方程及其求解构成数学物理方程的主要内容）达达朗朗贝贝尔尔的的弦弦振振动动方方程程(2 22 22 22 22 2xuatu 的位

8、势方程）（laplacezuyuxu0222222的的热热传传导导方方程程）（Fourierxuatu2 22 22 2 现在学习的是第7页，共55页18世纪著名数学家、物理学家达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783）弦振动的研究先驱弦振动的研究先驱球球面面波波研研究究先先驱驱欧欧拉拉-现在学习的是第8页，共55页数学物理方程中的著名数学家物理学家位势方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827）傅立叶（法1768-1830）-热传导方程的研究先驱 现在学习的是第9页，共55页柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）现在学习的是第10页，共55页二、二、关于偏微分方

9、程的基本概念关于偏微分方程的基本概念.高阶数高阶数未知函数的偏导数的最未知函数的偏导数的最包含在偏微分方程中的包含在偏微分方程中的1.1.方程的阶方程的阶二二阶阶偏偏微微分分方方程程 2 22 22 22 22 2xuatu 四四阶阶偏偏微微分分方方程程 4 44 42 22 22 2xuatu 一一阶阶偏偏微微分分方方程程组组 0 00 0yuxvyvxu现在学习的是第11页，共55页.是线性的是线性的未知函数和其偏导数都未知函数和其偏导数都出现在偏微分方程中的出现在偏微分方程中的1.2 线性微分方程线性微分方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22

10、2 2 22 22 22 22 2xuatu 线线性性的的 否否则则成成为为非非线线性性的的，如如0 0 xuxttuu 一阶非线性一阶非线性1.3半半 线性微分方程、拟线性方程线性微分方程、拟线性方程称作半线性的；称作半线性的；阶偏导数阶偏导数不含有未知函数及其低不含有未知函数及其低其系数其系数偏导数都是线性的，而偏导数都是线性的，而偏分方程中所有最高阶偏分方程中所有最高阶,.称称作作拟拟线线性性的的数数及及其其低低阶阶偏偏导导数数，则则如如果果其其系系数数含含有有未未知知函函半线性偏微分方程半线性偏微分方程 0 03 33 3 xuxucutu组组拟线性一阶偏微分方程拟线性一阶偏微分方程

11、0 00 02 2xuucxvvtvxvuxuvtu现在学习的是第12页，共55页本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式),(),(),(),(yxfuyxcyuyxbxuyxa0),(),(),(),(),(),(2),(22222yxGuyxFyuyxExuyxDyuyxCyxuyxBxuyxA一阶线性偏微分方程的一般表达形式一阶线性偏微分方程的一般表达形式二阶线性偏微分方程的一般表达形式二阶线性偏微分方程的一般表达形式现在学习的是第13页，共55页1.4非齐次、齐次偏微分方程非齐次、齐次偏微分方程在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非

12、零项称作非齐次项在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作非齐次项。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。含有非奇次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 分分方方程程非非齐齐次次二二阶阶三三维维线线性性微微)(2 22 22 22 22 22 22 2yuxuatu 。对象所展布的空间维数对象所展布的空间维数维数是指所研究的物理维数是指所研究的物理方程方程齐次二阶二维线性微分齐次二阶二维线性微分1.5偏微分方程的古典解偏微分方程的古典解m阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至

13、阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至m阶连续偏导数的函数使方阶连续偏导数的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。程对其全体自变量在该区域成为等式。F非齐次项现在学习的是第14页，共55页1.6偏微分方程的定解条件与定解问题偏微分方程的定解条件与定解问题偏微分方程的解有无穷多个偏微分方程的解有无穷多个而每个解都表示一特定的运动过程，为了找而每个解都表示一特定的运动过程，为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过在这些方面的考虑，围环境和初始状态等其他因素对解的影响

14、，通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定的解。这个特解既得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也称作定解；要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。这些已知条件称作定解条件。偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适当。偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适当。fufuatufuatu2 22 22 22 2.种种方方程程的的解解法法本

15、本课课程程主主要要研研究究下下面面三三现在学习的是第15页，共55页三、数学物理方程的研究方法三、数学物理方程的研究方法在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考察，取得在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的方法得出数感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格论证结论的正确性叫做综合学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。但对探讨新结论来说，过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。但对

16、探讨新结论来说，分析过程尤为重要！分析过程尤为重要！在数学物理方程中，在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意味着可以取消综合过程而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们一些新的结论，而验证结论，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么困难。的正确性原则上没有什么困难。正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另行证正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另行证明，所以在分析过

17、程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由于某些定明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。现在学习的是第16页，共55页四、数学物理方程的基本内容和要求四、数学物理方程的基本内容和要求本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就前面本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就前面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！目的：目的：使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些使大家初步了解

18、怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解问题的一些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训练问题的一些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训练。这也是目前数学建模所需要的能力。这也是目前数学建模所需要的能力。数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也是一数学物理方程是一门同实际联系比较紧密的数学学科，因而也是一门综合性比较强的学科；它以解决实际问题为唯一目标，广泛应用门综合性比较强的学科；它以解决实际问题为唯一目标，广泛应用物理学、力学、数学的各个分支知识

19、；高等数学、复变函数、积分物理学、力学、数学的各个分支知识；高等数学、复变函数、积分变换等。变换等。fufuatufuatu2 22 22 22 21.9数学物理方程课程所需要的基础数学物理方程课程所需要的基础现在学习的是第17页，共55页五、数学物理方程参考书五、数学物理方程参考书1 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 南京工学院数学教研组南京工学院数学教研组 高等教育出版社高等教育出版社 1982年年2数学物理方程数学物理方程 欧维义欧维义 吉林科技出版社吉林科技出版社 1985年年现在学习的是第18页，共55页的的基基本本概概念念针针对对下下列列方方程程复复习习所所学学0 02

20、 21 14 44 42 22 24 44 44 4 yuyxuxu)(次次？阶阶数数？、非非线线性性的的？齐齐次次非非齐齐回回答答下下列列方方程程是是线线性性的的四阶线性齐次四阶线性齐次0 02 2 xuxyxuu)(一阶非线性，拟线性的一阶非线性，拟线性的0 03 32 22 22 2 yuxxu)(二阶线性齐次的二阶线性齐次的xyuyxuxusin)(2 22 22 22 22 22 24 4二阶线性非齐次的二阶线性非齐次的0 02 25 52 23 32 22 2 uyxuxuln)(三阶非线性三阶非线性现在学习的是第19页，共55页2 2方程及定解问题的物理推导方程及定解问题的物理推

21、导AOl,弦弦，两两端端被被固固定定在在一一根根拉拉紧紧的的均均匀匀柔柔软软细细设设有有长长为为，方向的微小横向振动时方向的微小横向振动时垂直于垂直于当它在平衡位置附近作当它在平衡位置附近作OA2.1、弦振动方程、弦振动方程作用作用向上的力向上的力受到垂直于受到垂直于两点，且在单位长度上两点，且在单位长度上FOA问题分析与假设问题分析与假设.2 21 12 2.沿沿平面上，而且弦上的点平面上，而且弦上的点指全部运动出现在一个指全部运动出现在一个横向横向:；是是常常数数匀匀就就可可以以设设线线密密度度处处处处细细弦弦：可可以以看看成成线线；均均 2.1.1、物理模型、物理模型.求求弦弦上上各各点

22、点运运动动规规律律线线倾倾角角很很小小；度度及及弦弦在在任任何何位位置置处处切切微微小小：可可以以看看成成振振动动幅幅.运动运动垂直于平衡位置的方向垂直于平衡位置的方向现在学习的是第20页，共55页OAxuF如下图建立坐标系如下图建立坐标系点为坐标原点点为坐标原点轴设为平衡位置，轴设为平衡位置，.Oox数学模型建立数学模型建立3 31 12 2.PQ段段利利用用微微元元法法：取取弦弦上上一一PxQxx PQFpT QT x.),(轴方向的位移轴方向的位移时刻沿垂直于时刻沿垂直于点处点处表示弦上表示弦上xtxtxu有伸长！那么就有有伸长！那么就有可以认为弦在震荡中没可以认为弦在震荡中没由于振动是

23、微小的，故由于振动是微小的，故xPQ 无关！无关！时间时间，即它与位置，即它与位置常数常数弦所受的张力大小恒为弦所受的张力大小恒为txT现在学习的是第21页，共55页数学模型建立数学模型建立3 31 12 2.PQFpT QT x.),(轴方向的位移轴方向的位移时刻沿垂直于时刻沿垂直于点处点处表示弦上表示弦上xtxtxuxPQ ，常常数数弦弦所所受受的的张张力力大大小小恒恒为为T！方向沿着弦的切线方向方向沿着弦的切线方向弦是柔软的，所受张力弦是柔软的，所受张力轴方向所受的力有轴方向所受的力有u;)(方方向向向向上上外外力力xF 1 1;,sin)(方向向下方向向下分力分力点张力点张力 TTP2

24、 2方向向上；方向向上；分力分力点张力点张力,sin)(TTQ3 3角很小，即角很小，即由于振动是微小的，倾由于振动是微小的，倾 tansin,tansin ),(tantansintxuuuxxx 2 22 21 11 1 ),(sintxxux )(1 1xu),(sintxux 无无关关！时时间间即即它它与与位位置置tx：第第二二定定律律由由NewtonttxuxFTT sinsinxFtxTutxxTuxx ),(),(),(txxxutt 现在学习的是第22页，共55页：第第二二定定律律由由NewtonttxuxFTT sinsin),(),(),(txxxuxFtxTutxxTut

25、txx ),(),(),(txxuFxtxutxxuTttxx 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，并并进进一一步步假假定定),(,txux0 0),(txuFTuttxx FuTtxuxxtt ),(fuatxuxxtt 2 2),(单位长度加速度）单位长度加速度）其中：其中：(,FfTa 0 02 2弦的强迫横振动方程则有则有如果没有外力如果没有外力,0 0 Fxxttuatxu2 2),(弦的自由横振动方程现在学习的是第23页，共55页fuatxuxxtt 2 2),(xxttuatxu2 2),(理意义不同。理意义不同。只是未知函数表示的物只是未知函数表示的物电报方程等电报方程等扰动

26、的传播、扰动的传播、纵振动，管道中气体小纵振动，管道中气体小可以用来描述弹性杆的可以用来描述弹性杆的.现现象象，而而是是一一类类！映映的的是是不不只只是是一一个个物物理理因因此此，同同一一个个方方程程所所反反现在学习的是第24页，共55页除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翘翘的的固固定定框框架架上上，将将均均匀匀柔柔软软的的薄薄膜膜张张紧紧2.2、薄膜平衡方程、薄膜平衡方程薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架架的的微微翘翘的的重重力力外外，无无其其他他外外力力2.2.1、物理模型、物理模型.无关无关所说的静态就是和时间所说的静态就是和时间满满足足方方程程的的横横向向位位移移记记作作薄薄膜膜各

27、各点点（),(),(),yxuyxuyxTguuyyxx 一般的称形如一般的称形如),(yxfuuyyxx ，则有，则有如果自身重力可以忽略如果自身重力可以忽略0 0 yyxxuu.方程方程为二维为二维Poisson.(或或调调和和方方程程）方方程程为为二二维维Laplace 方方程程三三维维方方程程三三维维LapalacePoissonzyxfuuuzzyyxx 0 00 0),(.上上各各点点的的横横向向位位移移一一个个曲曲面面，求求静静态态薄薄膜膜现在学习的是第25页，共55页除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翘翘的的固固定定框框架架上上，将将均均匀匀柔柔软软的的薄薄膜膜张张紧紧2.2、薄

28、膜平衡方程（推导过程）、薄膜平衡方程（推导过程）薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架架的的微微翘翘的的重重力力外外，无无其其他他外外力力2.2.1、物理模型、物理模型.(平平衡衡状状态态）无无关关所所说说的的静静态态就就是是和和时时间间。的的横横向向位位移移也也就就是是薄薄膜膜各各点点（),(),yxuyx.上上各各点点的的横横向向位位移移一一个个曲曲面面，求求静静态态薄薄膜膜假设与分析假设与分析.坐坐标标面面；薄薄膜膜所所在在平平面面为为展展平平的的薄薄膜膜厚厚度度可可忽忽略略oxy).,(;yxuoxy薄薄膜膜形形成成的的曲曲面面方方程程为为，薄薄膜膜密密度度面面的的方方向向为为薄薄膜

29、膜的的横横向向垂垂直直于于,),QRPSyx的的微微元元，记记作作在在薄薄膜膜上上取取包包含含点点（SPRQoxyQRPSyx 坐坐标标面面的的投投影影区区域域记记作作在在的的微微元元点点（),现在学习的是第26页，共55页xx xyuoyyy xQRPSQRSP力力）的的两两侧侧薄薄膜膜之之间间有有拉拉微微元元各各边边缘缘（空空间间曲曲线线.T力力称称作作张张力力密密度度沿沿边边缘缘单单位位长长度度上上的的拉拉.是是常常数数张张力力密密度度在在薄薄膜膜微微翘翘情情况况下下可可视视T!处处的的薄薄膜膜切切平平面面内内的的张张力力方方向向是是在在边边缘缘任任意意点点MM的的边边缘缘法法平平面面内

30、内）且且垂垂直直于于边边缘缘（即即点点M.方方向向的的合合力力为为零零作作用用力力沿沿位位移移在在薄薄膜膜平平衡衡状状态态下下，各各u的的边边缘缘法法平平面面内内）且且垂垂直直于于边边缘缘（即即点点M水水平平面面所所夹夹角角为为锐锐角角薄薄膜膜微微元元四四边边上上张张力力与与yPSQR 可以看作可以看作薄膜微翘薄膜微翘,xPRQS 方向的合力方向的合力所受沿所受沿、薄膜边缘薄膜边缘uPRQS)(1 1方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜边边缘缘uPSQR)(2 2方方向向的的合合力力分分析析：薄薄膜膜边边缘缘沿沿u薄膜所受重力薄膜所受重力)(3 3现在学习的是第27页，共55页xx xy

31、uoyyy xQRPSQRSP4 4 3 3 2 2 1 1 方向的合力方向的合力所受沿所受沿、uPRQS)(1 1xTTF )sinsin(1 12 21 1 xTTF )tantan(1 12 21 1 xuTuTyyyyy )(xyuTyyyy 同理同理方方向向的的合合力力所所受受沿沿、uPSQR)(2 2yTTF )sinsin(3 34 42 2 yTTF )tantan(3 34 42 2 yuTuTxxxxx )(xyuTxxxx xgyF 3 33 3）重力）重力（3 32 21 1FFF xgyxyuTxyuTyyyyxxxx guuTyyxx )(Tguuyyxx 如如果果

32、忽忽略略重重力力，有有0 0 yyxxuu现在学习的是第28页，共55页2.3、热传导方程、热传导方程问题分析与假设问题分析与假设.2 23 32 2.与与热热流流强强度度面面流流进进物物体体的的热热量量单单位位时时间间内内通通过过单单位位界界)(表表示示边边界界面面为为域域为为设设导导热热体体在在空空间间所所占占区区),(,tzyxuG 2.3.1、物理模型、物理模型热量守恒定律：热量守恒定律：热传导定律：热传导定律：设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从高温处向设有一个导热体，当此导热体内各处温度不一致时，热量就要从高温处向低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所

33、满足的方程低温处传递，试确定物体内部各点在任意时刻的温度所满足的方程.),(导导热热体体为为固固体体处处的的温温度度时时刻刻导导热热体体在在zyxt),(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxut时时刻刻温温度度变变到到时时刻刻的的温温度度物物体体由由这这段段时时间间进进入入（流流出出）变变到到恰恰好好等等于于从从所所吸吸收收（放放出出）的的热热量量2 21 11 1ttQ.总和总和和热源提供的热量和热源提供的热量物体的热量物体的热量3 32 2QQ成正比。成正比。梯度梯度与温度与温度u现在学习的是第29页，共55页),(zyxD,DSG所围成的区域所围成的区域内取由光滑封闭曲面内

34、取由光滑封闭曲面在在dvzyxD的微元的微元内取包含内取包含在在),(温温度度从从，密密度度设设物物体体的的比比热热为为dvzyxzyxC),(),(所所需需要要热热量量时时刻刻变变到到时时刻刻的的由由),(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxutdvtzyxutzyxucQD ),(),(1 12 21 1 dvtzyxutzyxuc),(),(1 12 2 热量是热量是由于温度改变所需要的由于温度改变所需要的整个整个D 2 21 12 21 1ttDDttdtdvttzyxucdvdtttzyxuc),(),(2 2QDS的热量的热量进入整个进入整个由曲面由曲面所指那一侧所指

35、那一侧流向流向的曲面微元的曲面微元时刻内通过法向量为时刻内通过法向量为在在ndSndt,dsdtnukdQ 2 21 12 2ttsdtsdnukQ现在学习的是第30页，共55页 2 21 12 2ttsdtsdnukQ 2 21 12 2ttDdtvdzukzyukyxukxQ)()()(3 3Q热热源源提提供供的的热热量量.是一个热源是一个热源交换外物体本身就可能交换外物体本身就可能除外界对物体进行热量除外界对物体进行热量量）量）从单位体积内放出的热从单位体积内放出的热设热源强度（单位时间设热源强度（单位时间),(tzyxF 2 21 13 3ttDdvdttzyxFQ),(奥-高公式3

36、32 21 1QQQ 2 21 1ttDdtdvttzyxuc),(2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx)()()(2 21 1ttDdtdvtzyxF),(现在学习的是第31页，共55页 2 21 1ttDdtdvttzyxuc),(),()()()(tzyxFzukzyukyxukx 2 21 1ttDdtdvtzyxF),(ttzyxuc),(2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx)()()(.为常数为常数当导热体材质均匀时，当导热体材质均匀时，k ttzyxuc),(),()(tzyxFzuyuxuk 2 22 22 22 22 22 2 ctzyxFzuyu

37、xucktu),()(2 22 22 22 22 22 2三维热传导方程三维热传导方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 ctzyxFtzyxfcka),(),(,2 2现在学习的是第32页，共55页fuatxuxxtt 2 2),(1、弦振动方程、弦振动方程),(txfxuatu 2 22 22 22、热传导方程、热传导方程3、位势方程、位势方程),(yxfyuxu 2 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22

38、22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 2),(zyxfzuyuxu 2 22 22 22 22 22 2算子称作Laplacezyx 222222现在学习的是第33页，共55页),(),(txfuatxutt 2 21、弦振动方程、弦振动方程),(txfuaut 2 22、热传导方程、热传导方程3、位势方程、位势方程),(yxfu ),(tyxfuautt 2 2),(tzyxfuautt 2 2),(tzyxfuaut 2 2),(tyxfuaut 2 2),(zyxfu

39、0 0 u方方程程Laplace算子称作引入Laplacezyx 222222现在学习的是第34页，共55页2.4、定解条件和定解问题、定解条件和定解问题.称称为为定定解解条条件件初初始始条条件件、边边界界条条件件统统定解条件定解条件初初始始条条件件：.的的状状态态边边界界上上各各点点在在任任意意时时刻刻是是描描述述物物体体运运动动过过程程中中三类典型方程只能表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其本身不能确定三类典型方程只能表示所研究的每个质点运动所满足的方程，其本身不能确定它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷多个解，每个解都表示一个它们的一个特定解。每个偏微分方程一般都有无穷多个解

40、，每个解都表示一个特定的运动。为此我们要对方程附加一定的条件来刻画所研究物体的运动过程特定的运动。为此我们要对方程附加一定的条件来刻画所研究物体的运动过程。.边值条件边值条件为两大类：初始条件、为两大类：初始条件、这种附加条件通常被分这种附加条件通常被分介介质质内内部部及及边边界界上上程程在在开开始始时时刻刻初初始始条条件件是是描描述述运运动动过过)(0 0 t.任意一点的状态任意一点的状态边界条件：边界条件：.解解问问题题应应的的定定解解条条件件就就构构成成定定偏偏微微分分方方程程联联同同他他们们相相现在学习的是第35页，共55页2.4.1、三类典型方程的初始条件、三类典型方程的初始条件（1

41、）、一维弦振动方程的初始条件）、一维弦振动方程的初始条件弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度弦振动的初始状态涉及弦在初始时刻的位移和速度lxxtuxutt 0 00 00 0 ),(),(lxxxuxxut 0 00 00 0 ),(),(),(),(或者表示成或者表示成（2）、三维热传导方程的初始条件）、三维热传导方程的初始条件Dx,y,zzyxut )(),(0 0Dx,y,zzyxzyxu )(),(),(0 0（3）、）、Poisson、Laplace方程无初始条件方程无初始条件定常状态，因此定常状态，因此描述的是和时间无关的描述的是和时间无关的，LaplacePoisson不

42、提初始条件！不提初始条件！现在学习的是第36页，共55页2.4.2、三类典型方程的边值条件、三类典型方程的边值条件1 1、一维弦振动方程的边界条件、一维弦振动方程的边界条件弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：弦的端点所受的约束情况，通常有以下三种：0 00 00 00 0 tuulxx.,ttlutu 0 00 00 0 ,),(),(（2)2)自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x x轴的直线自由滑动，轴的直线自由滑动，从而在这条直线的方向上，端点所受的张力分量为零从而在这条直线的方向上，端点所受的张力分量为零.端为例：端为例：以以0

43、0 x（3 3）弹性支撑端（第三边值条件）弹性支撑端（第三边值条件）.变变满满足足胡胡克克定定律律支支承承上上，弹弹性性支支承承的的应应即即弦弦的的一一端端固固定定在在弹弹性性lxlxxxxxkuuTkuuT ,0 00 0边界条件的形式比初始条件要多样些边界条件的形式比初始条件要多样些.定定，这这时时有有）即即弦弦的的两两个个端端点点被被固固固固定定端端（第第一一边边值值条条件件)(1 1 ,tansin0 00 0 xxuTTT 0 00 0 xxu承承在在端端点点的的值值表表示示弹弹性性支支，则则如如弹弹性性支支承承原原来来位位置置为为uu0 0.在该点的伸缩长度在该点的伸缩长度0 0,

44、lxxxxuuuu)()(0 0现在学习的是第37页，共55页1 1、一维弦振动方程的边界条件、一维弦振动方程的边界条件.,0 00 00 00 0 tuulxx .,),(),(0 00 00 0 ttlutu （2 2）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于）自由端（第二边值条件）即弦在端点可以沿垂直于x x轴的直线自由滑轴的直线自由滑动动.（3 3）弹性支撑端（第三边值条件）弹性支撑端（第三边值条件）.)(定定）即弦的两个端点被固）即弦的两个端点被固固定端（第一边值条件固定端（第一边值条件1 10 00 0 xxu0 0,lxxxxuuuu)()(0 00 0 lxxuTk .的的

45、函函数数值值知知函函数数在在端端点点（边边界界）第第一一边边值值条条件件即即已已知知未未.的的偏偏导导数数值值知知函函数数在在端端点点（边边界界）第第二二边边值值条条件件即即已已知知未未.)(性性组组合合的的函函数数与与偏偏导导数数值值的的线线边边界界即即已已知知未未知知函函数数在在端端点点0 0,lxxxxkuTukuTu)()(0 0现在学习的是第38页，共55页2 2、三维热传导方程的边界条件、三维热传导方程的边界条件Szyxtzyxus ),(),(（2 2）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流入的热量）第二边界条件：在导热过程中，单位时间单位面积边界面流入的热量已知，

46、由已知，由FourierFourier热传导定律：热传导定律：.SD的边界曲面为的边界曲面为导热体导热体Szyxtzyxnuks ),(),(.值值知知函函数数在在边边界界的的偏偏导导数数第第二二边边值值条条件件即即已已知知未未.)(度度上各点在任意时刻的温上各点在任意时刻的温知边界曲面知边界曲面第一类边界条件：即已第一类边界条件：即已S1 1.数数值值未未知知函函数数在在边边界界上上的的函函第第一一边边界界条条件件就就是是已已知知则则有有如如果果边边界界面面绝绝热热，即即,),(0 0 tzyx Szyxnus ),(,0 0,)(1 13 3u记记作作不不变变过过程程中中，外外界界温温度度

47、保保持持第第三三类类边边界界条条件件：导导热热：由由热热传传导导定定律律生生热热交交换换且且通通过过边边界界面面与与物物体体发发,)(1 1uuHkussn kHhhuhuuHukuHusnsn ,)()(1 11 1Newton热传导定律在单位时间内，从物体表面单位面积中流向介质的热量同物体外表面的温度与介质在表面处的温度之差成正比.性组合性组合函数值与偏导数值的线函数值与偏导数值的线未知函数在边界的未知函数在边界的第三类边界条件即已知第三类边界条件即已知现在学习的是第39页，共55页定定解解问问题题法法！型型方方程程的的定定解解问问题题的的解解本本课课程程主主要要介介绍绍三三类类典典.初值

48、问题初值问题条件的定解问题，称作条件的定解问题，称作只有初值条件没有边界只有初值条件没有边界.解解问问题题应应的的定定解解条条件件就就构构成成定定偏偏微微分分方方程程联联同同他他们们相相Cauchy问题.边值问题边值问题条件的定解问题，称作条件的定解问题，称作只有边界条件没有初值只有边界条件没有初值.题题联联立立，称称作作第第一一边边值值问问若若方方程程与与第第一一边边值值条条件件.问问题题同同样样有有第第二二、第第三三边边值值.混合问题混合问题条件的定解问题，称作条件的定解问题，称作既有边界条件又有初值既有边界条件又有初值也称初边值问题定定解解问问题题的的解解法法的的特特点点（1 1）没有一

49、般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；）没有一般的求解理论，只能就具体定解问题做具体分析；（2 2）求解定解问题分两步走：先求定解问题的形式解，然后加上适当条）求解定解问题分两步走：先求定解问题的形式解，然后加上适当条件严格论证所求形式解确是解！件严格论证所求形式解确是解！（3 3）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分利用叠加原）本书所讨论的方程均为线性方程，在求解过程中应该充分利用叠加原理理.所说的形式解就是先假定所有的已知函数未知函数具有很好的性质，也就是需要什么条件就具有什么条件。现在学习的是第40页，共55页一、热传导方程1、第一边界问题(1.3),(),(1.2)

50、0,),(),(1.1)0,),()(02zyxzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut2、第二边界问题(1.3),(),()(1.2 0,),(),(1.1)0,),()(02zyxzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfuatut(1.3),(),()2(1.0,),(),()(1.1)0,),()(02zyxzyxutzyxtzyxnukutzyxx,y,z,tfuatut3、第三边界问题现在学习的是第41页，共55页二、波动方程(1.6),(),(),(1.5)0,),(),(1.4)0,),()(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxut