2022年-高中数学必备知识点高中数学集合教案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022-2022 年高中数学必备学问点高中数学集合教案1、 集合的概念和性质 . 2、 集合的元素特点 . 3、 有关数的集合 . 教学难、重点1、 集合 . 的概念 . 2、 集合 . 元素的三个特点 . 教学过程复习回忆回忆中学代数中涉及“ 集合” 的提法 . 一般地说,一个含有未知数的不等式的全部的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集 . 不等式的解集中涉及到“ 集合” .新课讲授实例数组 1 ,3,5,7. . 到两定点距离的和等于两定点间距离的点满意的全体实数3x-2 x+3. 全部

2、直角三角形 . 高一（ 3）班全体男同学 . 全部肯定值等于 6 的数的集合 . 全部肯定值小于 3 的整数的集合 . 中国足球男队的队员 . 参与 xx 年奥运会的中国代表团成员 . 参与中国加入 WTO谈判的中方成员 . 通过以上实例 . 老师指出：1、定义一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合（集）. 集合中每个对象叫做这个集合的元素. 上述集合的元素是什么？例的元素为 1,3,5,7. 例的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点 . 例的元素为满意不等式 3x-2 x+3 的实数 x. 例的元素为全部直角三角形 . 例的元素为高一（ 3）班全体男同学 . 例的元素为 -6 ,6

3、. 例的元素为 -2 ,-1 ,0,1,2. 例的元素为中国足球男队的队员 . 例的元素为参与 xx 年奥运会的中国代表团成员 . - 1 - 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例的元素为参与 WTO谈判的中方成员 . 请同学们举出三个例子,并指出其元素 . 一般地来讲,用大括号表示集合 . 例1 ,3,5,7. 例 到两定点距离的和等于两定点间距离的点 . 例3x -2 x+3 的实解 . 例

4、 直角三角形 . 例 高一（ 3）班全体男同学 . 例 -6 ,6. 例 -2 ,-1 ,0,1,2. 例 中国足球男队的队员 . 例 参与 xx 年奥运会的中国代表团成员 . 例 参与中国加入 WTO谈判的中方成员 . 2、集合元素的三个特点 问题及说明 A=1,3 问 3,5 哪个是 A的元素？A=全部素养好的人 能否表示为集合？A=2,2,4 表示是否精确？A=太平洋,大西洋 ,B=大西洋,太平洋 是否表示为同一集合？老师指导 例3 是集合 A 的元素, 5 不是集合 A 的元素 . 例由于素养好的人标准不行量化,故 A不能表示为集合 . 例的表示不精确,应表示为 A=2,4. 例的 A

5、 与 B 表示 同一集合,因其元素相同 . 由此可知,集合元素具有以下三个特点：确定性 集合中的元素必需是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是 明确的 . 互异性 集合中的元素必需是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的 . 无序性 集合中的元素是无先后次序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交换的 . 如上例元素与集合的关系有“ 属于” 及“ 不属于” （也可表示为）两种. 如 A=2,4,8,16 4A8A32A.请同学们考虑： A=2,4 ,B=1 ,2 ,2 ,3 ,2 ,4 ,3 ,5. A 与 B 的关系如何？虽然 A本身

6、是一个集合 . 但相对 B来讲, A 是 B 的一个元素 . 故 AB.3、常见数集的专用符号 N：非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）N内排除 0 的集合）N*或 N+：正整数集（非负整数集- 2 - 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Z：整数集（全体整数的集合）Q：有理数集（全体有理数的集合）R：实数集（全体实数的集合）请同学们熟记上述符号及其意义. . 课堂练习：课本P5 1、（

7、口答）说出下面集合中的元素 大于 3 小于 11 的偶数 其元素为 4,6,8,10 平方等于 1 的数 其元素为 -1 ,1 15 的正约数 其元素为 1,3,5,15 2、用符号或填空1N0N - 3N0.5 N2N1Z0Z - 3Z0.5 Z2Z1Q0Q - 3Q0.5 Q2Q1R0R - 3R0.5 R2R课时小结：1、 集合的概念中,“ 某些指定的对象” ,可以是任意的具体确定的事物,例如 数、式、点、形、物等 . 2、 集合元素的三个特点：确定性、互异性、无序性,要娴熟运用之 . 高中数学集合部分学问点一集合学问1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

8、2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特点：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补 . 5. 主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律 : 安排律 :. 0-1 律：求补律： ACUA=ACUA=U CUU= CU =U CUUCUA=A 反演律： CUAB= CUACUB 6. 有限集的元素个数CUAB= CUACUB细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

9、- - - - - - - - - - -定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 基本公式：3 cardCUA= cardU- cardA （4）设有限集合 A, cardA=n, 就A 的基数,记为 card A规定 card =0. A 的子集个数为；A 的真子集个数为；A 的非空子集个数为；A 的非空真子集个数为 . （5）设有限集合 A、B、C, cardA=n ,cardB=m,m00” , 就找“ 线” 在 x 轴上方的区间；如不等式是“b 解的争论；一元二次不等式 ax2+box0a0 解的争论 . 2. 分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 0 或 0 在上单调递减,在上

10、单调递增,就应当立刻知道函数对称轴是 x=1. 或者,我说在上,也应当立刻可以想到 m,n 实际上就是方程 的 2 个根5、熟识命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或” , “ 且” 和 “ 非” .如pq 为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p为真,当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；6、熟识充要条件的性质（高考常常考）满意条件,满意条件,如；就是的充分非必要条件；如；就是的必要非充分条件；如；就是的充要条件；如；就是的既非充分又非必要条

11、件； 7. 对映射的概念明白吗？映射 f ：AB,是否留意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应 B中有元素无原象；）留意映射个数的求法；如集合 A中有 m个元素,集合 B中有 n 个元素,就从 A到 B的映射个数有 n m个；如：如,；问：到的映射有 个,到的映射有 个；到的函数有 个,如,就到的一一映射有 个；函数的图象与直线交点的个数为 个； 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样6 两点必需同时具备 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

12、 - - - - - - - - - - 第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？（答：0,22,33,4）例：函数yx4x2的定义域是lgx3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；正切函数xR ,且xk2,k余切函数 反三角函数的定义域 函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ,值域是,函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域

13、是 0, ,函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 . ,函数 yarcctgx 的定义域是 R ,值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域；10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx 的定义域是 _；复合函数定义域的求法：已知的定义域为,求的定义域,可由解出 x 的范畴,即为 的定义域；例如函数的定义域为,就的定义域为；分析：由函数的定义域为可知：；所以中有；解：依题意知：解之,得的定义域为11、函数值域的求法 1、直接观看法 对于一些比较

14、简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y=的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数 y=-2x+5 ,x-1 ,2 的值域；3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有 时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a yb2型

15、：直接用不等式性质k+xb. ybxn型, 先化简,再用均值不等式x2mx例： yx111+x2x+12c yx2xmxn n型 通常用判别式x2mxd. yx2xmxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例： yx2xx12 1 （ x+1） （ x+1）+1 （x+1）x111211x14、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y=值域；5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域；我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性；例 求函数 y=,的值域；yx e1x e1y01y2x

16、 e11yy2sin1| sin| |1y| 1,1sin2yy2sin12sin1y1cos 1cos2sinycos1y4y2sinx1y, 即sinx 4y又由sinx 1 知1y214y解不等式,求出y,就是要求的答案6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=（2x10）的值域 7、换元法8细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -通过简洁的换元把一个函数变为简

17、洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用；例 求函数 y=x+的值域；8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例：已知点 P（x.y ）在圆 x 2+y 2=1 上, 1xy2的取值范畴的直线 .R 2y-2x 的取值范畴解:1 令xy2k,就yk x2,是一条过 -2,0 dR d为圆心到直线的距离 ,R为半径 2令y-2xb , 即y2xb0,也是直线 d d例求函数 y=+的值域；解：原函数可

18、化简得： y= x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）,B（-8 ）间的距离之和；由上图可知：当点 P在线段 AB上时,y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y= x-2 + x+8 AB =10 故所求函数的值域为： 10 ,+）例求函数 y=+ 的值域 解：原函数可变形为： y=+ 上式可看成 x 轴上的点 P（x,0）到两定点 A（3,2）,B（-2 ,-1 ）的距离之和,由图可知当点 P为线段与 x 轴的交点时,y= AB = = ,9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

19、 - - - - 第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故所求函数的值域为 ,+）；例求函数 y= - 的值域 解：将函数变形为： y= - 上式可看成定点 A（3,2）到点 P（x,0 ）的距离与定点 B（-2 ,1）到点 P（x,0）的距离之差；即： y= AP - BP由图可知： （1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时,如点 P1,就构成 ABP1,依据三角形两边之差小于第三边,有 AP1 - BP1 AB = = 即： - y（2）当点 P恰好为直线 A

20、B与 x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为：（- ,- ）； AP - BP = AB = ；注：求两距离之和时,要将函数式变形,使 A,B两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,就要使两点 A,B在 x 轴的同侧；9 、不等式法利用基本不等式 a+b2,a+b+c3（a,b,c）,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例：x22 xx01132 =x x 3-2x0x1.5 3 3 x 2 =x x 3-2x x x x 应用公式 a+b+cx+3-2x3 1时,留意使3 者的乘积变成常数）3 3

21、3abc 应用公式abcabc3时,应留意使3者之和变成常数）3倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例 求函数 y=的值域10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -yx2x3x20 时,1220y11xx21x2y2x2x20 时, =00y12多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接

22、法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂f x 如：f1x211exx,求f x .x e2xx0 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x 1x0x0的反函数x2x0（答：f1 x1x1）xx在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人提 供了大便利；请看这个例题：xx.

23、全国理 函数的反函数是（ B ）By=x22x+2x 1 Ay=x22x+2x1 Cy=x22x x=1. 排除选项 C,D. 现在看值域；原函数至于为 y=1, 就反函数定义域为 x=1, 答案为 B. 11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写*书）；思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域（可扩

24、展为反函数中的x 对应原函数中的 y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、 反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称（难怪点（ x,y ）和点（y,x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；,bC,就fa = bf1 a储存了原先函数的单调性、奇函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,aAf1f a f1 a,f f1 f a b由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如（04. 上海春季高考）已知函数,就方程的解 _.1 对于这一类题目,其实方法特殊简洁,呵呵；已知反函数的y, 不就是原函数的 x吗？那代进去阿,答案

25、是不是已经出来了呢？（也可能是告知你反函数的x 值,那方法也一样,呵呵；自己想想,不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx 2 之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与 1 的关系 2 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具 有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间 里具有相反的单调性；（特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：函数 f

26、x 与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的；当c0 时,它们是反向变化的；假如函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数f1x f2x 和它们同向变化；（函数相加）假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化；如果负值函数 f12 与 f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）函数 fx 与在 fx 的同号区间里反向变化；如函数 u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数yF x 是递增的；如函数 u x,x , 与函数 yFu ,u

27、 , 或12 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -u , 反向变化,就在 , 上复合函数yF x 是递减的；（同增异减）xf1y 也是严格单调的,而且,它如函数 yfx 是严格单调的,就其反函数们的增减性相同；fg ylog 1gx 2 xfgx fx+gx fx*gx 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减如：求x2的单调区间2（设uux22x,由u20就0x2且log 1,

28、x1u1,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）16. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f x 0 呢？如：已知 a 0,函数 f x x 3ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f x 3 x 2a 3 x ax a03 3由已知 f x 在 1, 上为增函数,就 a1,即 a 33a 的最大值为 3）13 细心整理归纳 精选学习资料 - - -

29、- - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；求（2）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；时,f x 42x1,如：如f

30、x a2xa2为奇函数,就实数a2x1（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）201又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,1 xf x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xxx42xx1,0又f 0,f x 44x11x0,1）2xx0x判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件 . 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数 . . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性 . 14 细心整理归纳 精选学习资料 - -