对数与对数运算PPT讲稿.ppt

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1、对数与对数运算对数与对数运算第1页，共35页，编辑于2022年，星期六1 1问题的提出：问题的提出：截止到截止到1999年底，我们人口约年底，我们人口约13亿，亿，如果今后能将人口年平均均增长率控制在如果今后能将人口年平均均增长率控制在1%，那么，那么经过经过x年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？引入引入这是已知底数和幂的值，求指数的问题。这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式即指数式 中，已知中，已知a 和和N,求求b的问题。（这里的问题。（这里 a0且且a11 ）问：哪一年的人口数可达到问：哪一年的人口数可达到1818亿，亿，2020亿？亿？

2、第2页，共35页，编辑于2022年，星期六 一般地，如果一般地，如果 ，那么数，那么数x x 叫做以叫做以a为底为底N的对数，记作的对数，记作其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对对 数数新课教学新课教学第3页，共35页，编辑于2022年，星期六常用对数：常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数 简记作 .自然对数：自然对数：在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828e=2.71828为底的对数，以为底的对数，以e e为底的对数叫为底的对数叫自然对数自然对数。并且把并且把 简记作简记作 。新课教学新课教学第4页，共35页，编辑于20

3、22年，星期六例如：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0，a1时，新课教学新课教学新课教学新课教学第5页，共35页，编辑于2022年，星期六1.是不是所有的实数都有对数？是不是所有的实数都有对数？logaNx 中的中的N 可以取哪些值？可以取哪些值？负数与零没有对数，即：负数与零没有对数，即：N02.根据对数的定义以及对数与指数的关系，根据对数的定义以及对数与指数的关系，loga1?logaa?loga10，logaa1 在在axN 中中,x=logaN，则有，则有3.对数恒等式对数恒等式(a0,a1)思考与探究思考与探究思考与探究思考与探究第6页，共35页，编辑于2022年，星

4、期六例例1.1.将将下列指数式化为对数式，对数式化为指下列指数式化为对数式，对数式化为指 数式：数式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：范例范例第7页，共35页，编辑于2022年，星期六例例2.2.求下列各式中x的值：(1)(2)(3)(4)解：(1)因为所以(2)因为所以(3)因为所以于是(4)因为所以于是范例范例第8页，共35页，编辑于2022年，星期六思考：思考：概念巩固概念巩固第9页，共35页，编辑于2022年，星期六求求log(12x)(3x2)中的中的x的取的取值值范范围围练习：练习：第10页，共35页，编辑于2022年，星期六问题提出：问

5、题提出：对数源于指数，对数和指数式怎样互化的？对数源于指数，对数和指数式怎样互化的？指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？性质，那么对数运算有那些性质呢？第11页，共35页，编辑于2022年，星期六知识探究（一）：积与商的对数知识探究（一）：积与商的对数思考1:求下列三个对数的值：求下列三个对数的值：，.你能你能发现这三个对数之间有哪些内在联系发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考2:将将 推推广到一般情形有什么结论广到一般情形有什么结论?思考3:如果如果a00，且，且a11，M0

6、0，N00，你能证明等式，你能证明等式 成立吗？成立吗？思考4:若若a0 0，且，且a11，均大于均大于0 0，则则 第12页，共35页，编辑于2022年，星期六(1)设 由对数的定义可以得：MN=即证得 证明：新课教学新课教学新课教学新课教学第13页，共35页，编辑于2022年，星期六(2)设 由对数的定义可以得：即证得 证明：新课教学新课教学新课教学新课教学第14页，共35页，编辑于2022年，星期六知识探究（二）知识探究（二）:幂的对数幂的对数思考1:和和 有什么关系有什么关系?推广到一般情形呢推广到一般情形呢?思考2:如果如果a00，且，且a11，M00，你有什么方法证明，你有什么方法

7、证明 等式等式 成立成立思考3:对任意实数对任意实数 恒成立吗？恒成立吗？思考4:如果如果a00，且，且a11，M00，则，则 等于什么？等于什么？第15页，共35页，编辑于2022年，星期六(3)设 由对数的定义可以得：即证得 证明：新课教学新课教学第16页，共35页，编辑于2022年，星期六积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：上述证明是运用上述证明是运用转化转化的思想：的思想：（1）先通过假设，将对数式化成指数式，）先通过假设，将对数式化成指数式，（2）利用幂的运算性质进行恒等变形；）利用幂的运算性质进行恒等变形；（3）再根据对数定

8、义将指数式化成对数式。）再根据对数定义将指数式化成对数式。（4）归纳小结：归纳小结：第17页，共35页，编辑于2022年，星期六上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？两数积的对数两数积的对数,等于各数的对数的和；等于各数的对数的和；两数商的对数两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数；等于被除数的对数减去除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数幂的对数等于幂指数乘以底数的对数第18页，共35页，编辑于2022年，星期六其他重要公式2:由对数的定义可以得：证明：设 即证得 这个公式叫做换底公式新课教学新课教学新课教学新课教学第

9、19页，共35页，编辑于2022年，星期六其他重要公式3:证明:由换底公式 取以b为底的对数得：还可以变形,得 新课教学新课教学第20页，共35页，编辑于2022年，星期六(1)(2)解：例3.用 表示下列各式：范例范例第21页，共35页，编辑于2022年，星期六例例4.4.计算：计算：（1）（2）（3）范例范例第22页，共35页，编辑于2022年，星期六=5+14=19解：(1)(2)（1）（2）范例范例第23页，共35页，编辑于2022年，星期六=3解：(3)（3）范例范例第24页，共35页，编辑于2022年，星期六讲解范例讲解范例例5计算：解法一：解法二：第25页，共35页，编辑于202

10、2年，星期六例例5计算：计算：讲解范例讲解范例 解：解：第26页，共35页，编辑于2022年，星期六1.求下列各式的值：（4）（2）（3）（1）课堂练习课堂练习第27页，共35页，编辑于2022年，星期六2.用lg，lg，lg表示下列各式：（2）（1）lglglg；lglglg；（3）lglg lg；（4）（2）课堂练习课堂练习第28页，共35页，编辑于2022年，星期六课堂小结课堂小结 (1)(1)对数的概念对数的概念：对数、底数、真数；常用对数；自然对数。(2)(2)对数的运算：对数的运算：积、商、幂的对数运算法则；3个重要公式。第29页，共35页，编辑于2022年，星期六 1999底我国

11、人口为底我国人口为13亿亿,人口增长的年平均增长率为人口增长的年平均增长率为1%,则则x年后，我国的人口数为年后，我国的人口数为 ；若问多少年后我国；若问多少年后我国的人口达到的人口达到18亿，即解方程，则亿，即解方程，则而如果计算器只能求而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？为底的对数，那该怎么办？方法：进行换底，把底换成以进行换底，把底换成以10，或者换成以，或者换成以e为底为底或者或者引入的问题引入的问题第30页，共35页，编辑于2022年，星期六例例5 5 20 20世纪世纪3030年代年代,里克特里克特(C.F.Richter)(C.F.Richter)制订制订了一种表明

12、地震能量大小的尺度了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪就是使用测震仪衡量地震能量的等级衡量地震能量的等级,地震能量越大地震能量越大,测震仪记录的测震仪记录的地震曲线的振幅就越大地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震这就是我们常说的里氏震级级M,其计算公式为其计算公式为 M=lgA-lgA0 其中，其中，A A是被测地震的最大振幅是被测地震的最大振幅,A A0 0是是“标准地震标准地震”的振幅的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差际震中的距离造成的偏差).).(1)(1)假设在一次地震中假设在一次地震中,一个距离震中一

13、个距离震中100100千米的千米的测震仪记录的地震最大振幅是测震仪记录的地震最大振幅是20,20,此时标准地震的此时标准地震的振幅是振幅是0.001,0.001,计算这次地震的振级计算这次地震的振级(精确到精确到0.1)0.1)(2)5 (2)5级地震给人的震感已比较明显级地震给人的震感已比较明显,计算计算7.67.6级地级地震的最大振幅是震的最大振幅是5 5级地震的最大振幅的多少倍级地震的最大振幅的多少倍?对数的应用对数的应用第31页，共35页，编辑于2022年，星期六解解：(1)(1)因此，这是一次约为里氏因此，这是一次约为里氏4.34.3级的地级的地震。震。第32页，共35页，编辑于20

14、22年，星期六(2)由M=lgA-lgA0可得当M=7.6时，地震的最大振幅为当M=5时，地震的最大振幅为所以，两次地震的最大振幅之比是答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅是398倍.第33页，共35页，编辑于2022年，星期六例例6 6 科学研究表明科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,14,碳碳1414的衰变极有规律的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的其精确性可以称为自然界的“标准时钟标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳动植物在生长过程中衰变的碳14,14,可以通过与大气的相互作用得到可以通过与大气的相互作用得到补充补充,所

15、以活着的动植物每克组织中的碳所以活着的动植物每克组织中的碳1414含量保持不变含量保持不变.死亡死亡后的动植物后的动植物,停止了与外界环境的相互作用停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳机体中原有的碳1414按确按确定的规律衰减定的规律衰减,我们已经知道其我们已经知道其“半衰期半衰期”为为57305730年年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳1414的残余量约占原始含的残余量约占原始含量的量的76.7%,76.7%,试推算马王堆古墓的年代试推算马王堆古墓的年代.对数的应用对数的应用第34页，共35页，编辑于2022年，星期六解解:因为生物体内碳因为生物体内碳1414含量含量P与死亡年数与死亡年数t t之间的关系为之间的关系为:写成对数的形式为：写成对数的形式为：设生物体死亡时，体内每克组织中的碳设生物体死亡时，体内每克组织中的碳1414的含量的含量为为1 1；湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳；湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳1414的残留量约的残留量约占原始含量的占原始含量的76.7%76.7%，即，即P=0.767=0.767，那么，那么所以，马王堆古墓是近所以，马王堆古墓是近22002200年前的遗址年前的遗址.第35页，共35页，编辑于2022年，星期六