教学案例 1.doc

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教学案例 1解析函数的充要条件问题： 如何判断函数的解析性呢？下面我们从二元函数及的可导性，探求函数 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。区域内可导的充分必要条件。定理1 设在区域 D 内有定义，则在点 处可导的充要条件是 和 在点可微，且满足C-R方程 。上述条件满足时,有 函数解析的充分必要条件。定理2 函数在D内解析充要条件是 和在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析。解 (1) 设, 则解 则 在全平面可导，解析。解 (3) 设， , 则仅在点处满足C-R条件，故仅在可导，但处处不解析。由此可以看出，判断复变函数是否可导，可以用上面的充分必要条件，先写出实部和虚部，然后判断。例2 求证函数证明 由于在处，及都是可微函数，且满足C-R条件：，故函数在处解析，其导数为例3例4 如果是一解析函数，且，那么曲线族，必互相正交，这里常数.解 ，那么在曲线的交点处，i) 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族，中任一条曲线的斜率分别为 ，利用C-R方程有，即：两族曲线互相正交.ii) 中有一为零时，不妨设，则（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的, 它们仍互相正交。