第二章通信原理优秀课件.ppt

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1、第二章通信原理第1页，本讲稿共52页第三章 随机信号分析引言引言随机过程的一般表述随机过程的一般表述平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度高斯过程高斯过程平稳随机过程通过线形系统平稳随机过程通过线形系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第2页，本讲稿共52页引言引言 随随机机信信号号：信信号号的的某某个个或或几几个个参参数数不不能能预知或不能完全预知的信号预知或不能完全预知的信号随机噪声随机噪声：不能预测的噪声：不能预测的噪声随随机机过过程程：随随机机信信号号和和噪噪

2、声声统统称称为为随随机机过程过程第3页，本讲稿共52页3.1 随机过程的一般表述1定义及特征定义及特征 无无穷穷多多个个样样本本函函数数的的集集合合称称为为随随机机过过程程,计计为为(t).(t).它有两个基本属性它有两个基本属性:(t)(t)是时间是时间t的函数的函数;在在任任一一时时刻刻t1上上，观观察察到到的的全全体体样样本本却却是是不不确确定定的的，是是一一个个随随机变量。机变量。图图3.11n部接收机噪声记录部接收机噪声记录第4页，本讲稿共52页2 2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性概率分布概率分布分布函数和概率密度函数分布函数和概率密度函数设设(t)表示一个随机过程，则在任意

3、一个时刻表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上上(t1)是一个随机变量。是一个随机变量。(t)的一维分布函数：的一维分布函数：nF1(x1,t1)=P(t1)x1(t)的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：n=f1(x1,t1)(t)的的n维分布函数：维分布函数：nFn(x1x2xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2(tn)xn(t)的的n维概率密度函数：维概率密度函数：n=fn(x1x2xn;t1,t2,tn)F1(x1,t1)x1nF1(x1x2xn;t1,t2,tn)x1x2xn n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述(t)的统计特性就越充分。第5页，本讲稿共

4、52页数字特征数字特征数学期望、方差和相关函数数学期望、方差和相关函数数学期望：数学期望：并记为并记为E(t)=a(t)。这里，它本该在某一时刻。这里，它本该在某一时刻t1上求得，因此上求得，因此数学期望与数学期望与t1有关。然而，有关。然而，t1是任意取得，故可把是任意取得，故可把t1直接写成直接写成t。所以，随机过程的数学期望被认为是时间所以，随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。的函数。数学期望的物理意义数学期望的物理意义：信号或噪声的直流分量。：信号或噪声的直流分量。方差方差：方差的物理意义：信号或噪声交流功率。(3.1-5)(3.1-6)第6页，本讲稿共52页自协方差与自相关函数自

5、协方差与自相关函数衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。常用协方差函数和相关函数来表示。（1）自协方差函数自协方差函数式中式中t1与与t2是任意的两个时刻；是任意的两个时刻；a(t1)与与a(t2)为在为在t1及及t2得到得到的数学期望；的数学期望；用途：用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。关。(3.1-7)第7页，本讲稿共52页（2）自相关函数）自相关函数用途用途：a用来判断广义平稳；用来判断广义平稳；b用来求解随机过程的功率

6、谱密度及平均功用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。率。（3）自协方差与自相关函数之间的关系）自协方差与自相关函数之间的关系显然，由式（显然，由式（3.1-7）及）及(3.1-8)可得到二者之间的关系式，可得到二者之间的关系式，(3.1-9)(3.1-8)dx1dx2第8页，本讲稿共52页互协方差与互相关函数互协方差与互相关函数协方差函数和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程中去，协方差函数和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而获得互协方差及互相关函数。从而获得互协方差及互相关函数。设设(t)与与(t)分别表示两个随机过程分别表示两个随机过程（1）互协方差定义）互协

7、方差定义（2）互相关函数定义）互相关函数定义如果如果t2 t1，并令，并令t2=t1+，即即是是t2与与t1之间的时间间隔，则相关函数之间的时间间隔，则相关函数R（t1，t2）可表示为可表示为R（t1，t1+）。这说明，相关函数依赖于起始时刻（或时间起。这说明，相关函数依赖于起始时刻（或时间起点）点）t1及时间间隔及时间间隔，即相关函数是，即相关函数是t1和和的函数。的函数。(3.1-10)(3.1-11)第9页，本讲稿共52页3.2 平稳随机过程1狭狭义义平平稳稳随随机机过过程程：随随机机过过程程的的任任何何n维维分分布布函函数数或或概概率密度函数与时间的起点无关。率密度函数与时间的起点无关

8、。nfn(x1x2xn;t1,t2,tn)=fn(x1x2xn;t1+,t2+,tn+)(3.2-1)含含义义：指指随随机机过过程程的的统统计计特特性性不不随随时时间间的的推推移移而而变变化化，即即当当取取样样点点在在时时间间轴轴上上作作任任意意平平移移时时，随随机机过过程程的的所所有有有有限限维维分分布布函数不变。且有：函数不变。且有：n一维分布则与时间无关：一维分布则与时间无关：f1(x1,t1)=f1(x1)n二维分布只于时间间隔二维分布只于时间间隔有关：有关：f2(x1,x2,t1,t2)=f2(x1,x2,)数字特征数字特征：n数学期望与方差与时间无关数学期望与方差与时间无关n自相关

9、函数只与时间间隔有关自相关函数只与时间间隔有关R（t,t+)=R()第10页，本讲稿共52页2广广义义平平稳稳随随机机过过程程：随随机机过过程程的的数数学学期期望望与与方方差差与与时时间间无无关关,自相关函数只与时间间隔有关。自相关函数只与时间间隔有关。n通通信信系系统统中中的的信信号号及及噪噪声声，大大多多数数可可视视为为平平稳稳的的随随机机过过程程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。n(t)=(t)=,2(t)=2nR(tR(t1 1,t,t1 1+)=R()+)=R()注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。第11页，本讲稿共52页3

10、、各态历经的平稳随机过程、各态历经的平稳随机过程1）问题的提出）问题的提出2）各态历经性）各态历经性n“时间平均时间平均”代替代替“统计平均统计平均”n一一个个随随机机过过程程的的均均值值和和自自相相关关函函数数都都具具有有各各态态历历经经性性，则则称称该随机过程具有各态历经性。该随机过程具有各态历经性。设设x1(t)是是(t)的的一一个个样样本本，若若下下列列式式子子成成立立，则则具具有有各各态态历历经经性性的的平稳随机过程平稳随机过程注意：只有平稳随机过程才具有各态历经性即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。例例例例3.13.1第12页，本讲

11、稿共52页3.2.3 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1、自相关函数、自相关函数平稳随机过程的自相关函数和时间平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔无关，而只与时间间隔有关，即有关，即R()E(t)(t+)(3.2-8)2、自相关函数的性质、自相关函数的性质设设(t)为实平稳随机过程为实平稳随机过程R(0)=E2(t)=s（3.2-9）R(0)为为(t)的均方值的均方值(t)的平均功率的平均功率)。自相关函数在自相关函数在=0处的数值等于该过程的平均功率处的数值等于该过程的平均功率(包括直流功率和交流功包括直流功率和交流功率率)。对偶性对偶性R()=R(-)自相关函数自相关函数

12、R()是是的偶函数的偶函数证明：证明：第13页，本讲稿共52页|R()|R(0)当当0时时,自相关函数取最大值自相关函数取最大值证明证明:R()=E2(t)（3.2-10）R()是是(t)的直流功率，在时间的直流功率，在时间间隔很大的时候间隔很大的时候,可将二者看成是可将二者看成是相互独立的。相互独立的。R(0)-R()=2方差，方差，(t)的交流功率的交流功率R()R(0)R(0)-R()R()利用R()的图形就可以求出该过程的各种成份的功率(直流功率,交流功率,总功率)第14页，本讲稿共52页3、功率谱密度、功率谱密度概概念念：从从频频率率的的角角度度描描述述(t)的的统统计计规规律律的的

13、最最主主要要的的数数字字特特征征。它它的的物物理理意意义义表示表示(t)的平均功率关于频率的分布的平均功率关于频率的分布。设设(t)一一次次实实现现的的截截断断函函数数为为T(t)，T(t)的的付付氏氏变变换换为为FT()，则则该该样样本本函函数的功率谱为数的功率谱为整个随机过程的平均功率谱为整个随机过程的平均功率谱为该随机过程的平均功率为该随机过程的平均功率为T|FT()|2 TPT()=lim(3.2-14)第15页，本讲稿共52页平稳过程的自相关函数与其功率平稳过程的自相关函数与其功率谱之间为傅立叶变换关系。谱之间为傅立叶变换关系。根据上述关系式及自相关函数的性质，推演功率谱密度的性质：

14、根据上述关系式及自相关函数的性质，推演功率谱密度的性质：n对功率谱密度进行积分对功率谱密度进行积分,可以得到平稳过程的总功率可以得到平稳过程的总功率;n各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度;n功率谱密度具有非负性和实偶性功率谱密度具有非负性和实偶性.P（）0 0，非负性，非负性P（-）P（），偶函数），偶函数单边功率谱密度：单边功率谱密度：P1（）2 2 P（）=0=0P()R()例例例例3.23.2第16页，本讲稿共52页（3.3-1）3.3 高斯过程1、高斯分布定义、高斯分布定义（又称正态随机过程）（又称正态随

15、机过程）若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维概率密度函数都服从正态分布，则称它为高斯过程。维概率密度函数都服从正态分布，则称它为高斯过程。其中其中:第17页，本讲稿共52页2、一维概率密度函数和分布函数、一维概率密度函数和分布函数均值，均值，2方差方差（3.3-2）第18页，本讲稿共52页xf(x)f(x)对称与对称与x=直线，即直线，即f(+x)=f(-x)f(x)在在内内单单调调上上升升，在在内内单单调调下下降降，且且在在点点处处达到极大值。达到极大值。且有且有表表示示分分布布中中心心,表表示示偏偏离离程程度度.对对不不同同的的，表表现现为为f(x)的的图图形形左左右右平平移；对不同

16、的移；对不同的，f(x)的图形将随的图形将随的减小而变高和变窄。的减小而变高和变窄。另外另外,当当a0,1时时,则称为标准高斯则称为标准高斯(正态正态)分布分布.第19页，本讲稿共52页3、误差函数、误差函数(互补误差函数互补误差函数)与概率分布函数的关系与概率分布函数的关系N(0,1/2)误差函数的定义：误差函数的定义：它是自变量的递增函数：它是自变量的递增函数：erf(0)=0,erf()=1,且且erf(-x)=-erf(x)互补误差函数的定义：互补误差函数的定义：它是自变量的递减函数：它是自变量的递减函数：erfc(0)=1,erfc()=0,且且erfc(-x)=2-erfc(x)当

17、当x1时，有时，有（3.3-3）（3.3-4）第20页，本讲稿共52页对式（对式（3.3-2)进行变量代换，令新的积分变量为进行变量代换，令新的积分变量为则则，并利用式（，并利用式（3.3-3)和和(3.3-4)，则分布函数可表示为：，则分布函数可表示为：4.概率积分函数 x 时：时：x 时：时：第21页，本讲稿共52页3、重要性质、重要性质n高高斯斯过过程程的的n维维分分布布只只依依赖赖各各个个随随机机变变量量的的均均值值、方方差差和归一化协方差。和归一化协方差。n高高斯斯过过程程若若是是广广义义平平稳稳随随机机过过程程，则则又又是是狭狭义义平平稳稳随随机机过程；过程；n若若高高斯斯过过程程

18、中中的的随随机机变变量量之之间间互互不不相相关关，则则它它们们也也是相互独立的；是相互独立的；n若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程；若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程；n高斯过程经过线形变换后的过程仍是高斯过程。高斯过程经过线形变换后的过程仍是高斯过程。第22页，本讲稿共52页3.4 随机过程通过线形系统一、一般分析一、一般分析(经典系统分析的回顾经典系统分析的回顾)1、时域时域(考虑到物理可实现性考虑到物理可实现性)确定性信号经过线性系统（如图确定性信号经过线性系统（如图3.4-1所示）的输出为所示）的输出为2、频域频域3.谱密度之间的关系谱密度之间的关系3.4-1（3.4-1）

19、（3.4-2）（3.4-3）第23页，本讲稿共52页3.4 随机过程通过线形系统二、输入是平稳随机过程二、输入是平稳随机过程如图如图3.4-2所示，随机过程经过线所示，随机过程经过线性系统的过程中，性系统的过程中，这里只能理解成对随机过程的一个样本函数积分，而不是对随机过这里只能理解成对随机过程的一个样本函数积分，而不是对随机过程积分。程积分。在此，需要解决两个问题：在此，需要解决两个问题：a、输入平稳、输入平稳.输出平稳否输出平稳否?b、输入、输出功率谱密度之间的关系、输入、输出功率谱密度之间的关系。首先解决第一个问题。首先解决第一个问题。条件假设：条件假设：i(t)平稳，平稳，Ei(t)为

20、已知，为已知，h(t)为已知为已知,问题：问题：o(t)平稳否。平稳否。思路：首先判定思路：首先判定o(t)是否广义平稳是否广义平稳:3.4-2（3.4-4）第24页，本讲稿共52页3.4 随机过程通过线形系统假定输入假定输入i(t)是平稳随机信号，现在来分析系统的输出过程是平稳随机信号，现在来分析系统的输出过程0(t)的统计特性。的统计特性。1、0(t)的数学期望的数学期望E0(t)E0(t)=E i(t)H（0）2、0(t)的相关函数的相关函数R0（t1,t1+)R0（t1,t1+)=Ri()*h()*h(-)=R0（)结论：平稳随机过程经线性系统传输后,输出仍然为平稳随机过程。推论：(1

21、)输入是各态历经的随机过程,输出也是各态历经的随机过程。(2)输入是高斯过程,输出也是高斯过程,只是均值和方差发生了变化。第25页，本讲稿共52页3、功率谱密度功率谱密度P0()=F R0（）P0()=Pi()|H()|2平平稳稳随随机机过过程程通通过过线线性性系系统统，输输出出过过程程是是平平稳稳过过程程，系系统统输输出出功功率率谱谱密密度度是是输入功率谱密度输入功率谱密度Pi()与与|H()|2的乘积。的乘积。4、输出过程输出过程0(t)的分布的分布如果线性系统输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。如果线性系统输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。例例例例3.33.

22、3例例例例3.43.4第26页，本讲稿共52页3.5 窄带随机过程一、引言一、引言1.必要性必要性2.窄带条件窄带条件在在通通信信系系统统中中，许许多多实实际际信信号号和和噪噪声声都都满满足足“窄窄带带”的的假假设设，其其频频谱谱被被限限制制在在“载载波波”或或某某中中心心频频率率附附近近一一个个窄窄的的频频带带上上，而而这这个个中中心心频频率离开零频率又相当远。率离开零频率又相当远。-fcfcff0fPs(f)s(t)频率近似为fc缓慢变化的包络(t)f3时，时，Rice分布近似于高斯分布近似于高斯分布。分布。这两种分布图形如图所示。这两种分布图形如图所示。第40页，本讲稿共52页包络 相位

23、同理还可以求出相位的pdf 令信噪比 当r1时,上式中的第一项为0，所以 用途：接收多相调相信号时推导误码率公式，用该结论。第41页，本讲稿共52页应掌握的内容：1.高斯过程高斯过程(定义定义,相互独立时的相互独立时的pdf)2.窄带高斯过程窄带高斯过程1)窄带条件窄带条件;2)表示方式表示方式(两种两种);3)统计特性，即统计特性，即f(c,s)，f(c)，f(s)，f(a)，f()；c(t),s(t)与与(t)的关系的关系;3.正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程,要求同窄带要求同窄带,重点重点掌握掌握f(z)服从服从Rice分布分布;4.瑞利瑞利,莱斯莱斯,高斯分布的关系。高斯分布的

24、关系。第42页，本讲稿共52页3.7 高斯白噪声和带限白噪声1、白噪声概念、白噪声概念:功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。2、自相关函数、自相关函数功率谱密度为功率谱密度为P()=n0/2；n0是一个常数，单位：是一个常数，单位：W/Hz自相关函数自相关函数R()=n0/2()R()0P()物理意义物理意义：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是不相关的：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是不相关的，只有当，只有当0时例外。时例外。高斯白噪声高斯白噪声概念：满足以下两个条件的噪声称为高斯白噪声：概念：满足以下两个条件的噪声称为高斯白噪声：

25、(1)Pn()n0/2(2)服从高斯分布。服从高斯分布。本节主要内容：*介绍白噪声的功率谱密度，自相关函数，及一个特例-带限白噪声的自相关函数和功率谱密度。第43页，本讲稿共52页P(f)ff0-f0R()0-1/2f01/2f03、带限白噪声、带限白噪声白噪声被限制在（白噪声被限制在（-f0,f0)之内，即在该频率区上有之内，即在该频率区上有P()=n0/2,而而在该区间外在该区间外P()=0，这样的白噪声称为带限白噪声。，这样的白噪声称为带限白噪声。常见的限带白噪声有两种：a.理想低通型白噪声b.理想带通型白噪声 P(f)=P(f)|H(f)|2 =n0/2 （-f0,f0)理想低通型白噪

26、声：就是白噪声经过理想低通滤波器。第44页，本讲稿共52页带通型噪声的功率谱密度：Bn为等效噪声带宽，其物理意义是：白噪声通过实际带通滤波器的效果与通过宽度为Bn，高为Pni（f0）的矩形滤波器的效果一样。第45页，本讲稿共52页第3章 教学要求1.随机过程掌握随机过程的均值、方差、相关函数随机过程掌握随机过程的均值、方差、相关函数2.掌握平稳随机过程的特性掌握平稳随机过程的特性3.高斯过程高斯过程(定义定义,相互独立时的相互独立时的pdf)4.了解窄带高斯过程、正弦波加窄带高斯过程的包络分布了解窄带高斯过程、正弦波加窄带高斯过程的包络分布.作业作业:3-23-43-7第46页，本讲稿共52页

27、例：3.1随机相位正弦波随机相位正弦波(t)sin(ot+)，其中，其中是是在在(02)内均匀分布内均匀分布的随机变量。的随机变量。求：求：（1）(t)是否广义平稳？是否广义平稳？（2）(t)是否各态历经？是否各态历经？解：解：(1)由判定广义平稳的条件可知由判定广义平稳的条件可知,如果如果a(t)为常数为常数,而而R(t,t+)仅与仅与有关有关,则则(t)广义平稳。广义平稳。可见，满足广义条件，所以广义平稳。第47页，本讲稿共52页(2)若集平均统计平均，则若集平均统计平均，则(t)是各态历经的随机过程。是各态历经的随机过程。所以,随机相位的正弦波是一个各态历经的随机过程。第48页，本讲稿共

28、52页随随机机相相位位正正弦弦波波(t)=sin(0t+)的的自自相相关关函函数数与与功功率率谱谱密密度度。0是是常常数数，是是在在区区间间（0，2）上上均均匀匀分分布布的的随随机机变变量。量。求：求：例例3.2cos0-(-0)+(+0)第49页，本讲稿共52页例3.3随机过程随机过程的功率谱密度如图所示，求：的功率谱密度如图所示，求：（1）(t)的自相关函数的自相关函数R()；（2）(t)中包含的直流功率等于多少？中包含的直流功率等于多少？（3）(t)中包含的交流功率等于多少？中包含的交流功率等于多少？解：解：第50页，本讲稿共52页第51页，本讲稿共52页P62 3-7第52页，本讲稿共52页