VAR模型、协整和VEC模型_yukz10899.docx

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1、VAR模型、协整和VEC模型1. VAR（向量自回归）模型定义2. VAR模型的特点3. VAR模型稳定的条件4. VAR模型的分解5. VAR模型滞后期的选择6. 脉冲响应函数和方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果性检验8. VAR模型与协整 9. VAR模型中协整向量的估计与检验10. 案例分析1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。1. VAR（向量自回归）模型定义以两个变量

2、y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例， y1, t = c1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2t 其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是， =+ 设Yt =, c =, P1 =, ut =,则， Yt = c + P1 Yt-1 + ut (1.3)含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut

3、IID (0, W)其中，Yt = (y1, t y2, t yN, t)， c = (c1 c2 cN) Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t),不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。2. VAR模型的特点（1）不以严格的经济理论为依据。（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。（3）VAR模型对参数不施加零约束。（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。（

4、6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。 附： 图1 油价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值3. VAR模型平稳（稳定）的条件对于VAR(1)，Yt = c + P1 Yt-1 + ut模型稳定的条件是特征方程 |P1-l I |=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|ILP1|= 0的根都要在单位圆以外。对于k1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。Yt = C + A Yt -1 + Ut模型稳定的条件是特征方

5、程 |A-lI| =0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。 与单变量时间序列的情况类似，我们可以来考察VAR（p）的单位根的存在性。为了说明这个问题，首先让我们来看一个二元时间序列的VAR（1）模型。 即有当的根在单位圆上，则该序列是非平稳的。所以作为一个多变量的时间序列，其平稳的充分必要条件是根在单位圆之外。附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut 再配上如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt-k+1 = Yt-k+1把以上k个等式写成

6、分块矩阵形式，=+ 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为Yt = C + A Yt -1 + Ut 附：VAR模型的特征根4. VAR模型的分解以VAR(1)模型 Yt = c + P1 Yt-1 + ut 为例，用递推的方法最终可把Yt分解为三部分：Yt = (I + P1 + P12 + + P1t-1) c + P1t Y0 + ut-i = (I-P1)-1c + P1t Y0 + ut-i5. VAR模型滞后期的选择从原则上讲，我们应该从VAR模型的自相关函数和偏自相关函数的特征来考虑模型的识别问题，但是从实用的角度讲，要在多元情况下把ACF和PACF很直观的讲清楚，是一件

7、不容易的事情，所以，在实际应用中，采用逐步升阶的方法，找出最恰当的模型阶数。假定我们已经估计了几个VAR(p)模型，阶数从1到k。现在我们可以来研究这些模型的残差的估计值。我们知道对一个AR模型来说，无谓的升阶，达到了非常小的残差，是以牺牲自由度为代价的。使二者达到一个最佳的平衡点的一个有用的标准就是Akaike和Schwarz信息准则函数，当然还有其它准则，我们一并列在下面。1 用F统计量选择k值。F统计量定义为， F( m , T k )2 用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) 3 用赤池（Akaike）信息

8、准则 (AIC) 选择k值。AIC = -2+ 4用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。SC =-2+5用Hannan-Quinn信息准则选择k值。附：选择k值评价结果是建立VAR(2)模型。例在Eviews中VAR的估计的相关操作1、 选择Quick/Estimate VAR2、在Lag intervals对话框中键入方程右边滞后期数1 21 2表示在方程的右边所有的变量均滞后两期。 键入1 2 4 5 9 9的意思是所有方程右边的变量滞后期数为：1 2 4 5 9。3、键入内生或外生变量名在适当的编辑框endogenous：内生变量框exogenous：外生变量框4、选择模

9、型类型（Var specification）Unrestricted VAR （无约束向量自回归）Vector Error Correction（向量误差校正）5、在Include intercept选择是否包含常数项6. VAR模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yj t对应的误差项uj t在t期受到一个单位的冲击后，对第i

10、个内生变量yit在t + s期造成的影响。 把Y s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数, s = 1, 2, 3, 称作脉冲响应函数（impulse-response function），脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s对 uj, t时一次冲击的响应过程。(2)方差分解MSE() = E(Yt+s -) (Yt+s -)= W + Y1WY1 + Y2WY2 + +Y s-1WY s-1 （5）其中W = E(ut ut )。 下面考察每一个正交化误差项对MSE()的贡献。把ut变换为正交化误差项vt。ut = M vt = m1v1t + m2

11、v2t + mN vN tW = E(ut ut ) = (m1v1t + m2v2t + mN vN t) ( m1v1t + m2v2t + mN vN t) = m1 m1Var(v1t)+ m2 m2Var(v2t) + mN mNVar(vNt) 把用上式表达的W代入(5) 式，并合并同期项，MSE() =则表示正交化的第j个新息对前s期预测量方差的贡献百分比。附：脉冲响应函数 图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果

12、性检验格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即 ( yt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, )则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把xt-1 对yt存在非因果关系表述为xt（去掉下标-1）对yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。检验式（VAR模型方程之一）是 H0: b1 = b2 = = bk = 0。检验可用F统计量完成

13、。 F( k, T - k N )注意：滞后期k的选取是任意的。（1）以xt和yt为例，如果xt-1对yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果xt-1对yt不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。附：格兰杰非因果性检验结果8. VAR模型与协整（谢小燕版） 一个简单的例子为了说明多维变量的协整关系，我们以一个一阶自回归过程为例讨论有关的问题。模型的等价形式为：其中。当，则，即。容易得到所有分量均为I（1），且没有协整关系；当Rank（）=n，对方程，因为其左边是平稳的序列，右边也应该是平稳序列，是满秩矩阵，故可见本生就是平稳序列。当，根据

14、线性代数的结论，有阶列满秩矩阵和，使有包含个协整关系。该模型成为误差校正模型，我们看到模型在用进行校正。总结起来有三种情形：l 系数矩阵的秩为时，的分量间存在有个协整组合，有个组合仍为I(1);l 系数矩阵的秩为n时，为I(0)向量;l 系数矩阵的秩为0时，为I(1)向量，且不存在任何协整关系。至此，我们已经发现，讨论多重协整关系的问题，归于讨论的秩。（张晓峒版）如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) 的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。DYt = P1* DYt

15、-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* （新）然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。向量误差修正模型（VEC）的表达式是DYt = (P1 +P2 +Pk - I ) Yt -1- (P2 +P3 +Pk) DYt-1- (P3 +Pk) DYt-2 - Pk DYt - (k-1) +ut令 Gj = -, j = 1, 2, , k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk I 则上式写为DYt = P Yt-1 + G1DYt-1 + G2DYt-2 + + Gk-1DYt

16、-(k-1) + ut根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是 A(L) DYt = a b Yt-1 + d (L) ut 其中A(L) 是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。 Yt-k有如下三种可能。1当Yt 的分量不存在协整关系，P的特征根为零，P = 0。2若rank (P) = N（满秩），保证 P Yt-k平稳的唯一一种可能是Yt I(0)。3当Yt I(1)，若保证 P Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt 的分量存在协整关系。例1： P Yt-1 = a b Yt-1 = = 例2：设三个变量

17、的VAR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系）， = + 代数形式是 D y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (1/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u1 t D y2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u2 t D y3, t = (1/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (3/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u3 t9. VAR模型中协整向量的估计与检验(张晓峒版)检验协整关系的零

18、假设是 H0: rk(P) r 或 P = a b 统计量是 LR = - 2 (logL()r - logL()u) = - T (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1 LR统计量在零假设 0 r 34.91r = rk(P ) 120.5073.30 19.96r = rk(P ) 210.044.082 34.91（临界值）接着检验r = 1。 LR = - 100= -100 log(0.5)+ log(0.96)= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 19.96（临界值）接着检验r = 2。 LR = - 100 Ln (1- l3 ) = -10

19、0 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 9.24（临界值）因为r 1已经被拒绝，但r 2未能被拒绝，所以结论是该VAR模型中存在2个协整向量。例：输出结果说明3个变量之间存在一个协整关系。附：说明(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR模型中不存在协整向量（含有N个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR 临界值），则应继续进行下面的检验。(2) r 1。意即在VAR模型中存在1个协整向量（含有N-1个单位根）。如果r 1不能被拒绝（LR 临界值），检验到此终止。如果r 1被拒绝，则应进一步作如下检验。(3) r N 1。意即在VAR模型中存在N 1个协整向量

20、（含有1个单位根）。如果r N 1不能被拒绝（LR 临界值），检验到此终止。如果r N 1被拒绝，说明r =N。在检验过程中，比如r r*-1已经被拒绝，但r r*不能被拒绝，则结论是VAR模型中存在r*个协整向量。（4）协整检验过程中的每一步检验都属于右单端检验。（谢小燕版）（一）Johansen检验的思路第一步，拟合模型这里约束了。模型的残差项记为，含有的信息。第二步，拟合模型模型的残差项记为，含有的信息。实质上，两个辅助回归模型的残差项分别从和排除了的影响，使我们的注意力集中到了和的关系上。接下来的问题是是否可以分别在（含有的信息）和（含有的信息）中各自找出一个线性组合，构成一对变量（这

21、对变量是，且该对线性组合具有最大的相关性，类推找出所有可能的，相关性次强的线性组合对。这些线性组合对中的方的成员对应的系数则构成中的协整变量的结构（或协整变量的系数），显著相关的线性组合对的个数即为协整变量的个数 多元统计分析中典型相关分析法。(二)Johansen检验Johansen检验这不是单独的一个检验，而是一系列的检验，检验协整变量的个数为几。从开始，是协整变量的个数。（1）提出假设至多存在个协整关系，即在和中有对典型变量相关性显著； 有大于个协整关系,即在和中有对以上的典型变量相关性显著;（2）构造检验的统计量检验的统计量为： 其中是和中典型相关系数的平方。（3）Johansen检验

22、的实施 检验有几个协整变量和协整变量的结构。为了检验变量间的协整关系和协整变量的个数，操作如下图，首先在下拉式菜单中选择协整检验的选项，如(*)图17。再选择检验式的形式图(*)。 图* 协整检验图* 选择协整检验式Johansen检验要求，协整方程有5种，上面的对话框左侧：序列y或协整方程中无确定趋势项或无截距项；序列y无截距项且协整方程只有截距项；序列y或协整方程中只有截距项；序列y无趋势项和在协整方程既有截距项也有趋势项；序列y有线性趋势且在协整方程既有截距项也有趋势项.输出结果如下表。表 协整检验的结果Date: 07/15/06 Time: 22:45Sample: 1955 198

23、8Included observations: 32Test assumption: Linear deterministic trend in the dataSeries: LY1 LY2 LY3 LY4 LY5 Lags interval: 1 to 1EigenvalueLikelihood5 Percent1 PercentHypothesizedRatioCritical ValueCritical ValueNo. of CE(s) 0.673781 89.41854 68.52 76.07 None * 0.520657 53.57257 47.21 54.46 At most

24、 1 * 0.372611 30.04173 29.68 35.65 At most 2 * 0.294853 15.12372 15.41 20.04 At most 3 0.115972 3.944545 3.76 6.65 At most 4 * *(*) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 3 cointegrating equation(s) at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coe

25、fficients:LY1LY2LY3LY4LY5-1.772497 0.474616 2.107603-3.009948 1.006424-1.787311 1.201567-0.741407-1.764639 1.626055 1.746643 0.341621-0.643429-0.588860 0.115909-0.753075 0.323333-0.183253-0.232808 0.826739 0.822507-1.222749-0.163635 1.593490 0.343754 Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegr

26、ating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000-0.267767-1.189059 1.698140-0.567800-2.926526 (0.10287) (0.24139) (0.27219) (0.10789) Log likelihood 217.0823 Normalized Cointegrating Coefficients: 2 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000 0.000000-2.250753 2.168675-0.341427-2.307264 (0.74172) (

27、0.71088) (0.22812) 0.000000 1.000000-3.964990 1.757253 0.845412 2.312686 (1.64145) (1.57321) (0.50484) Log likelihood 228.8478 Normalized Cointegrating Coefficients: 3 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000 0.000000 0.000000-0.244359-0.136126-2.773445 (0.16665) (0.22844) 0.000000 1.00000

28、0 0.000000-2.493616 1.207076 1.491450 (0.31011) (0.42508) 0.000000 0.000000 1.000000-1.072101 0.091214-0.207122 (0.12288) (0.16844) Log likelihood 236.3068 Normalized Cointegrating Coefficients: 4 Cointegrating Equation(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.307903-6.526467 (1.7681

29、4) 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 5.738259-36.80706 (16.5079) 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 2.039343-16.67311 (7.14159) 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.817113-15.35862 (6.59522) Log likelihood 241.8964从结果可以看出，协整变量的个数是3个。没有正规化的系数矩阵：用初等变换，正规化的系数矩阵：案例分析： 英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Jus

30、elius (1992) 。祥见Journal of Econometrics（计量经济学杂志）第53卷，211-244页。1购买力平价和利率平价同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存在套利问题。但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用Pt表示国内商品价格，Pt*表示国外同类商品价格，Et表示购买力平价，则有Et = Pt / Pt*即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是LnEt = Ln Pt - LnPt*3个变量的长期均衡关系是Ln Pt - LnPt* - LnEt = u1t其中ut表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处有ut = 0。下

31、面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一样的。分别用Rt，Rt*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证Rt - Rt* = E(t) (Et+1) - Et = u2t其中Et 表示名义汇率（货币的购买力平价）。E(t) (Et+1)表示t期对t+1期汇率的期望。u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持Rt，Rt*相等称为利率平价。2协整关系的预分析如果用 Yt = (LnPt LnPt* LnEt Rt Rt*)表示变量列向量，希望能存在两

32、个协整关系。b1 = (1 -1 -1 0 0)b2 = (0 0 0 1 -1)b1表示购买力平价协整向量，b2表示利率平价协整向量。3估计协整向量个数r。 用Pt表示英国商品综合批发价格指数。Pt*表示进口商品综合批发价格指数。Et表示英国实际汇率。Rt表示三个月的金融债券利率。Rt*表示三个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据空间）。2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石

33、油价格的变化造成的。用石油价格调整批发价格指数，再次估计2阶VAR模型。VAR模型残差序列的诊断检验结果见表1。表1 VAR模型残差的诊断检验方程内生变量标准差偏度峰度-3JB统计量序列相关检验，LM(20)1LnPt0.0070.291.274.84 (5.99)6.09 (5.99)9.59 (31.41)3LnEt0.0300.300.170.95 (5.99)13.54 (31.41)4Rt0.0110.580.253.55 (5.99)9.11 (5.99)16.41 (68.52r 1r 20.28549.42 47.21r 2r 30.25429.26 29.68r 3r 40.

34、10211.67 3.764协整向量估计结果的分析与解释非约束的5个协整参数向量和5个调整参数向量见表3。bi和ai的顺序（从左至右）与特征根的大小顺序相对应。根据上面的协整向量个数检验结果（r = 2），说明b1和b2是协整向量，a1和a2是调整向量。表3 协整参数与调整参数的估计内生变量协整参数向量b的估计b1b2b3b4b5LnPt1.000.030.361.001.00LnPt*-0.910.03-0.46-2.40-1.45LnEt-0.93-0.100.411.12-0.48Rt-3.381.001.00-0.412.28Rt*-1.89-0.93-1.032.980.76方程调整

35、参数向量a的估计a1a2a3a4a5LnPt-0.070.04-0.010.00-0.01LnPt*-0.020.00-0.040.010.01LnEt0.10-0.01-0.15-0.04-0.05Rt0.03-0.150.030.01-0.02Rt*0.060.290.010.03-0.01对于购买力平价的协整向量希望LnPt*与LnEt系数的符号相同，且都与LnPt的符号相反。观察b1和b2，显然b1是购买力平价的协整向量。对于利率平价，希望Rt与Rt*系数的符号相反，显然b2是利率平价的协整向量。b1和b2是标准化后的协整向量。对于b1，取变量LnPt相应的系数为1；对于b2，取变量R

36、t的相应系数为1。10 建立VEC模型建立VEC模型的步骤是（1）检验变量间是否存在协整关系。从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选Cointegration Test功能，得如下对话框：其中有5种选择。协整空间无常数项、无时间趋势项；协整空间有常数项、无时间趋势项，数据空间无常数项；协整空间有常数项、无时间趋势项；协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间无时间趋势项；协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间有时间趋势项。上述5种情形总览。根据变量的实际情况作出选择。（2）当检验结果是变量存在协整关系时，就可以估计VEC模型。EViews命令是点击Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对话框：在VAR设定（VAR Specification）对话框中点击VEC估计（Vector Error Correction），如下图，点击OK，得如下对话框：其中协整式（Cointegration equation）中的选择应该与前述协整检验中的选择保持一致。点击OK， 问题：（1）若对协整式（Cointegration equation）中的选择前后不一致可以否？要慎重。（2）写VEC表达式。（3）解释经济意义。