VAR模型、协整和VEC模型_yukz8440.docx

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1、VAR模型、协整和VEC模型1. VARR（向量自回归归）模型定义2. VARR模型的特点点3. VARR模型稳定的条件4. VARR模型的分解解5. VARR模型滞后期期的选择6. 脉冲响响应函数和方方差分解7. 格兰杰杰（Grannger）非非因果性检验验8. VARR模型与协整整 9. VVAR模型中中协整向量的的估计与检验验10. 案例例分析1980年Siims提出向向量自回归模模型（vecctor aautoreegresssive mmodel）。这这种模型采用用多方程联立立的形式，它它不以经济理理论为基础。在模型的每每一个方程中中，内生变量量对模型的全全部内生变量量的滞后项进行回

2、归，从从而估计全部部内生变量的的动态关系。1. VARR（向量自回归归）模型定义以两个变量y11t，y2t滞后1期的VAR模型为为例， y1, t = c1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2t 其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Coov(u1 t, u2 t) = 00。写成矩阵阵形式是， =+ 设Yt =, c =, P1 =, ut =,则， YYt = c + P1 Yt-1 + ut (1.3)含有N个变量滞滞后k期的VAR模型表

3、表示如下：Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W)其中，Yt = (y1, t y2, t yN, t)， c = (c1 c2 cN) Pjj =, j = 1, 2, , k uut = (u1 t u2,t uN t),不同方程对应的的随机误差项项之间可能存存在相关。因VAR模型中中每个方程的的右侧只含有有内生变量的的滞后项，他他们与ut是渐近不相相关的，所以以可以用OLLS法依次估估计每一个方方程，得到的的参数估计量量都具有一致致性。2. VARR模型的特点点（1）不以严格格的经济理论论为依据。（2）VAR模模

4、型的解释变变量中不包括括任何当期变变量。（3）VAR模模型对参数不不施加零约束束。（4）VAR模模型有相当多多的参数需要要估计。（5）VAR模模型预测方便便、准确（附图）。（6）可做格兰兰杰检验、脉脉冲响应分析析、方差分析析。（7）西姆斯（SSims）认认为VAR模型中中的全部变量量都是内生变变量。近年来来也有学者认认为具有单向向因果关系的的变量，也可可以作为外生生变量加入VVAR模型。 附： 图1 油价与静静态拟合值 图2 油价与静态态拟合值3. VARR模型平稳（稳定）的条件对于VAR(11)，Yt = c + P1 Yt-1 + ut模型稳定的条件件是特征方程 |P1-l I |=0的根

5、都在单单位圆以内，或或相反的特征方方程|ILP1|= 0的根都都要在单位圆圆以外。对于k1的VVAR(k)模型可以以通过矩阵变变换改写成分分块矩阵的VVAR(1)模型形式。Yt = C + A Yt -1 + Ut模型稳定的条件件是特征方程 |A-lI| =0的根都在在单位圆以内内，或其相反的特征征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以以外。 与单变变量时间序列列的情况类似似，我们可以以来考察VAAR（p）的的单位根的存存在性。为了了说明这个问问题，首先让让我们来看一一个二元时间间序列的VAAR（1）模模型。 即有当的根在单位圆圆上，则该序序列是非平稳稳的。所以作为一个多多变量的时间间序列

6、，其平平稳的充分必必要条件是根在单位圆之外外。附：矩阵变换。给给出k阶VAR模型，Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut 再配上如下等式式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt-k+1 = Yt-k+1把以上k个等式式写成分块矩矩阵形式，=+ 其中每一个元素素都表示一个个向量或矩阵阵。上式可写写为Yt = C + A Yt -1 + Ut 附：VAR模型型的特征根4. VARR模型的分解解以VAR(1)模型 Yt = c + P1 Yt-1 + ut 为例，用递推的的方法最终可可把Yt分解为三部分分：Yt = (II +

7、 P1 + P12 + + P1t-1) c + P1t Y0 + ut-i = (I-P1)-1c + P1t Y0 + ut-i5. VAR模型滞后后期的选择从原则上讲，我我们应该从VVAR模型的的自相关函数数和偏自相关关函数的特征征来考虑模型型的识别问题题，但是从实实用的角度讲讲，要在多元元情况下把AACF和PAACF很直观观的讲清楚，是是一件不容易易的事情，所所以，在实际际应用中，采采用逐步升阶阶的方法，找找出最恰当的的模型阶数。假定我们已经估估计了几个VVAR(p)模型，阶数数从1到k。现现在我们可以以来研究这些些模型的残差差的估计值。我我们知道对一一个AR模型型来说，无谓谓的升阶，

8、达达到了非常小小的残差，是是以牺牲自由由度为代价的的。使二者达达到一个最佳佳的平衡点的的一个有用的的标准就是AAkaikee和Schwwarz信息息准则函数，当当然还有其它它准则，我们们一并列在下下面。1 用F统计量选择择k值。F统计量定义义为， F( m , T k )2 用LR统计量选选择k值。LR（似然比比）统计量定定义为， LR = - 2 (llog L(k) - logg L(k+1) ) 3 用赤池（Akaaike）信信息准则 (AIC) 选择k值。AIC = -2+ 4用施瓦瓦茨（Schhwartzz）准则 (SC) 选择k值。SC =-2+5用Hannnan-Quuinn信息

9、息准则选择kk值。附：选择k值评价结果是建立立VAR(2)模型。例在Evieews中VAAR的估计的的相关操作1、 选择Quickk/Estiimate VAR2、在Lag interrvals对对话框中键入入方程右边滞滞后期数1 21 2表示在方方程的右边所所有的变量均均滞后两期。 键入1 22 4 55 9 9的的意思是所有有方程右边的的变量滞后期期数为：1 2 4 55 9。3、键入内生或或外生变量名名在适当的编编辑框endogennous：内内生变量框exogenoous：外生生变量框4、选择模型类类型（Varr speccificaation）Unrestrrictedd VAR （

10、无约束向向量自回归）Vector Errorr Corrrectioon（向量误误差校正）5、在Incllude iinterccept选择择是否包含常常数项6. VARR模型的脉冲冲响应函数和和方差分解(1)脉冲响应应函数:对于任何一个VVAR模型都都可以表示成成为一个无限限阶的向量MMA()过程。Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + Y s = Y s中第i行第第j列元素表示示的是，令其其它误差项在在任何时期都都不变的条件件下，当第jj个变量yj t对应的误差差项uj t在t期受到一个个单位的冲击击后，对第ii个内生变量量yit在

11、t + s期造成的影影响。 把Y ss中第i行第j列元素看作作是滞后期ss的函数, s = 11, 2, 3, 称作脉冲响应函函数（impullse-reesponsse funnctionn），脉冲响响应函数描述述了其它变量量在t期以及以前前各期保持不不变的前提下下，yi, t+s对 uj, t时一次冲击击的响应过程程。(2)方差分解解MSE() = E(YYt+s -) (Yt+s -)= W + Y1WY11 + Y2WY2 + +Y ss-1WY s-1 （5）其中W = E(ut ut )。 下面考考察每一个正正交化误差项项对MSE()的贡献。把把ut变换为正交交化误差项vvt。ut

12、 = M vt = m1v1t + m2v2t + mmN vN tW = E(utt ut ) = (m1v1t + m2v2t + mN vN t) ( m1v1t + m2v2t + mN vN t) = m1 m11Var(v1t)+ m2 m2Var(v2t) + mN mNVar(vNt) 把用上式式表达的W代入入(5) 式，并合合并同期项，MSE() =则表示正交化的的第j个新息对前前s期预测量方差差的贡献百分分比。附：脉冲响应函函数 图1 油价对33个误差项的的响应 图图2 油产量对33个误差项的的响应 图3 油储量对3个个误差项的响响应附：方差分解图4 油价的方方差分解 图5

13、 油产量的方方差分解 图图6 油储量的方差差分解7. 格兰杰杰（Grannger）非非因果性检验验格兰杰非因果性性：如果由yt和xt滞后值所决决定的yt的条件分布布与仅由yt滞后值所决决定的条件分分布相同，即即 ( yyt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, )则称xt -11对yt存在格兰杰杰非因果性。 格兰杰杰非因果性的的另一种表述述是其它条件件不变，若加加上xt的滞后变量量后对yt的预测精度度不存在显着着性改善，则则称xt -1对yt存在格兰杰杰非因果性关关系。为简便，通常总总是把xt-1 对yt存在非因果果关系表述为为xt（去掉下标-11）对yt存在

14、非因果果关系（严格格讲，这种表表述是不正确确的）。检验式（VARR模型方程之之一）是 H0: b1 = b2 = = bk = 0。检验可用F统计量完成成。 F( k, T - k N )注意：滞后期kk的选取是任任意的。（11）以xt和yt为例，如果果xt-1对yt存在显著性性影响，则不不必再做滞后后期更长的检检验。（2）如果xt-1对yt不存在显著著性影响，则则应该再做滞滞后期更长的的检验。且结结论相同时，才才可以最终下下结论。附：格兰杰非因因果性检验结结果8. VAR模模型与协整（谢小燕版） 一个简单的的例子为了说明多维变变量的协整关关系，我们以以一个一阶自自回归过程为例讨论有关的的问题

15、。模型型的等价形式式为：其中。当，则，即。容容易得到所有有分量均为II（1），且没有有协整关系；当Rank（）=n，对方程程，因为其左左边是平稳的的序列，右边边也应该是平平稳序列，是是满秩矩阵，故故可见本生就是平平稳序列。当，根据线性代代数的结论，有有阶列满秩矩矩阵和，使有包含个协整关关系。该模型成为误差差校正模型，我我们看到模型型在用进行校正。总结起来有三种种情形：l 系数矩阵的秩为为时，的分量间间存在有个协协整组合，有有个组合仍为为I(1);l 系数矩阵的秩为为n时，为I(0)向量;l 系数矩阵的秩为为0时，为I(1)向量，且不不存在任何协协整关系。至此，我们们已经发现，讨论多重协整关系的

16、问题，归于讨论的秩。（张晓峒版）如如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) 的内生变量都含含有单位根，那那么可以用这这些变量的一一阶差分序列列建立一个平平稳的VARR模型。DYt = P1* DYt-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* （新）然而，当这些变变量存在协整整关系时，采采用差分的方方法构造VAAR模型虽然然是平稳的，但但不是最好的的选择。向量误差修正模模型（VECC）的表达式式是DYt = (P11 +P2 +Pk - I ) Yt -1- (P2 +P3 +Pk) D

17、Yt-1- (P3 +Pk) DYt-2 - Pk DYt - (k-1) +ut令 Gj = -, j = 11, 2, , k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk I 则上式写为DYt = P YYt-1 + G1DYt-1 + G2DYt-2 + + Gk-1DYt-(k-1) + ut根据Grangger定理，向量误误差修正模型型（VEC）的表表达式是 A(L) DYt = a b Yt-1 + d (L) ut 其中A(L) 是多项式式矩阵A(L)分离出因子子(1- L)后降低一阶阶的多项式矩矩阵，d (L)是由滞后算算子表示的多多项式矩阵。 Y

18、t-k有如下下三种可能。1当Yt 的的分量不存在在协整关系，P的特征根为零，P = 0。2若rankk (P) = N（满秩），保保证 P Yt-k平稳的的唯一一种可可能是Yt I(0)。3当Yt I(1)，若若保证 P Yt-k平稳，只只有一种可能能，即Yt 的分量存存在协整关系系。例1： P YYt-1 = a b Yt-1 = = 例2：设三个变变量的VARR(1)的误差修修正模型如下下（含两个协整整关系）， = + 代数形式是 D y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (11/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u1 t

19、D y2, t = (11/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u2 t D y3, t = (11/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (33/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u3 t9. VARR模型中协整整向量的估计计与检验(张晓峒版)检验协整关系的的零假设是 H0: rk(P) r 或 P = a b 统计量是 LR = - 22 (logLL()r - loggL()u) = - T (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1 LR统计量在零零假设

20、0 r 34.91r = rk(P ) 120.5073.30 19.96r = rk(P ) 210.044.082 34.911（临界值）接着检验r = 1。 LR = - 100= -100 log(0.5)+ log(0.96)= -100 (-0.6693-0.04) = 73.30 19.96（临界界值）接着检验r = 2。 LR = - 100 Ln (1- l3 ) = -100 log(00.96)= -100 (-0.044) = 44.082 9.224（临界值值）因为r 1已已经被拒绝，但但r 2未能被拒绝绝，所以结论论是该VARR模型中存在在2个协整向量量。例：输出结

21、果说明3个变量之之间存在一个个协整关系。附：说明(1) 首先从从检验r = 0开开始。意即在在VAR模型中中不存在协整整向量（含有有N个单位根）。如如果r = 0不不能被拒绝（LR 临界值），则应继续进行下面的检验。(2) r 1。意即在在VAR模型中中存在1个协协整向量（含含有N-1个单位位根）。如果果r 1不能被被拒绝（LRR 临界值值），检验到到此终止。如如果r 1被拒绝绝，则应进一一步作如下检检验。(3) r N 1。意即即在VAR模型中中存在N 1个协整整向量（含有有1个单位根根）。如果rr N 1不能被被拒绝（LRR 临界值值），检验到到此终止。如如果r N 1被拒绝绝，说明r =

22、N。在检验过程中，比比如r r*-1已经经被拒绝，但但r r*不能被拒拒绝，则结论论是VAR模型中中存在r*个协整向向量。（4）协整检验验过程中的每每一步检验都都属于右单端端检验。（谢小燕版）（一）Johaansen检检验的思路第一步，拟合模模型这里约束了。模模型的残差项项记为，含有的信息。第二步，拟合模模型模型的残差项记记为，含有的信息。实质上，两个辅辅助回归模型型的残差项分分别从和排除了的影响响，使我们的的注意力集中中到了和的关系上。接下来的问题是是是否可以分分别在（含有有的信息）和和（含有的信息）中各自找找出一个线性性组合，构成成一对变量（这这对变量是，且且该对线性组合具有有最大的相关关

23、性，类推找找出所有可能能的，相关性性次强的线性组合对。这这些线性组合合对中的方的成员员对应的系数数则构成中的的协整变量的结构构（或协整变变量的系数），显著相关的线性组合对的个数即为协整变量的的个数 多元统计分析中典型相关分析法。(二)Johaansen检检验Johanseen检验这不不是单独的一一个检验，而而是一系列的的检验，检验验协整变量的的个数为几。从开始，是协整变量量的个数。（1）提出假设设至多存在个协整整关系，即在在和中有对典型变变量相关性显显著； 有大于个协整关关系,即在和中有对以上的的典型变量相相关性显著;（2）构造检验验的统计量检验的统计量为为： 其中是和中典型型相关系数的的平方

24、。（3）Johaansen检检验的实施 检验有几个个协整变量和和协整变量的的结构。为了了检验变量间间的协整关系系和协整变量量的个数，操操作如下图，首首先在下拉式式菜单中选择择协整检验的的选项，如(*)图177。再选择检检验式的形式式图(*)。 图* 协整整检验图* 选择协协整检验式Johanseen检验要求求，协整方程程有5种，上面的的对话框左侧侧：序列y或协整方方程中无确定定趋势项或无无截距项；序列y无截距项项且协整方程程只有截距项项；序列y或协整方方程中只有截截距项；序列y无趋势项项和在协整方方程既有截距距项也有趋势势项；序列y有线性趋趋势且在协整整方程既有截截距项也有趋趋势项.输出结果如

25、下表表。表 协整整检验的结果果Date: 007/15/06 Time: 22:445Sample: 19555 19888Includeed obsservattions: 32Test asssumpttion: Lineaar detterminnisticc trennd in the ddataSeries: LY1 LY2 LLY3 LYY4 LY55 Lags inntervaal: 1 to 1EigenvaalueLikelihhood5 Perceent1 PerceentHypotheesizeddRatioCriticaal VallueCriticaal Vallue

26、No. of CE(s) 0.6737781 89.418854 68.52 76.07 NNone * 0.5206657 53.572257 47.21 54.46 At mmost 11 * 0.3726611 30.041173 29.68 35.65 At mmost 22 * 0.2948853 15.123372 15.41 20.04 At mmost 33 0.1159972 3.9445545 3.76 6.65 At mmost 44 * *(*) denottes reejectiion off the hypotthesiss at 55%(1%) signnific

27、aance llevel L.R. ttest iindicaates 33 coinntegraating equattion(ss) at 5% siignifiicancee leveel Unnormmalizeed Coiintegrratingg Coeffficieents:LY1LY2LY3LY4LY5-1.7724497 0.4746616 2.1076603-3.0099948 1.0064424-1.7873311 1.2015567-0.7414407-1.7646639 1.6260055 1.7466643 0.3416621-0.6434429-0.5888860

28、 0.1159909-0.7530075 0.3233333-0.1832253-0.2328808 0.8267739 0.8225507-1.2227749-0.1636635 1.5934490 0.3437754 Normallized Cointtegratting CCoeffiicientts: 1 Cointtegratting EEquatiion(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.0000000-0.2677767-1.1890059 1.6981140-0.5678800-2.9265526 (0.102287) (0.241139) (0.272219) (0.

29、107789) Log liikelihhood 217.08823 Normallized Cointtegratting CCoeffiicientts: 2 Cointtegratting EEquatiion(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.0000000 0.0000000-2.2507753 2.1686675-0.3414427-2.3072264 (0.741172) (0.710088) (0.228812) 0.0000000 1.0000000-3.9649990 1.7572253 0.8454412 2.3126686 (1.641145) (1.57332

30、1) (0.504484) Log liikelihhood 228.84478 Normallized Cointtegratting CCoeffiicientts: 3 Cointtegratting EEquatiion(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.0000000 0.0000000 0.0000000-0.2443359-0.1361126-2.7734445 (0.166665) (0.228844) 0.0000000 1.0000000 0.0000000-2.4936616 1.2070076 1.4914450 (0.310011) (0.425508) 0.

31、0000000 0.0000000 1.0000000-1.0721101 0.0912214-0.2071122 (0.122288) (0.168844) Log liikelihhood 236.30068 Normallized Cointtegratting CCoeffiicientts: 4 Cointtegratting EEquatiion(s)LY1LY2LY3LY4LY5C 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.3079903-6.5264467 (1.768814) 0.0000000 1.0000000 0.0000000

32、 0.0000000 5.7382259-36.807706 (16.50079) 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000 2.0393343-16.673311 (7.141159) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.8171113-15.358862 (6.595522) Log liikelihhood 241.89964从结果可以看出出，协整变量量的个数是33个。没有正正规化的系数数矩阵：用初初等变换，正正规化的系数数矩阵：案例分析： 英国购买力力平价和利率率平价的协整整性分析，Johannsen

33、-JJuseliius (11992) 。祥见Joournall of EEconommetriccs（计量经济学学杂志）第53卷，211-244页。1购买力平价价和利率平价价同种商品在不同同国家应该保保持相同价格格。否则就会会存在套利问问题。但是当当汇率可以自自由浮动时，套套利问题就会会消除。用PPt表示国内商商品价格，PPt*表示国外外同类商品价价格，Et表示购买力平平价，则有Et = Ptt / Pt*即一个单位的外外国货币相当当于多少本国国货币。对数数形式是LnEt = Ln Pt - LnPt*3个变量的长期期均衡关系是是Ln Pt - LnPt* - LnnEt = u1t其中ut

34、表示非非均衡误差，是是一个均值为为零，平稳的的随机过程。在在均衡点处有有ut = 0。下面考虑与商品品有关的资本本市场条件。生生产商品必然然与金融资产产相联系。而而金融资产可可以用金融债债券度量。国国内外对这些些债券的利息息率是不一样样的。分别用用Rt，Rt*表示。资资本市场的套套利行为对汇汇率形成压力力。制定汇率率必须使国内内外利率差与与t+1期、t期之间汇率率差相等，即即保证Rt - Rtt* = E(t) (Et+1) - Et = u2t其中Et 表示示名义汇率（货货币的购买力力平价）。EE(t) (Et+1)表示t期对t+1期汇率率的期望。uu2t是非均衡误误差，是一个个平稳的随机机

35、过程。保持持Rt，Rt*相等称为为利率平价。2协整关系的的预分析如果用 Yt = (LnnPt LnPt* LnEt Rt Rt*)表示变量列向量量，希望能存存在两个协整整关系。b1 = (1 -1 -1 00 0)b2 = (0 0 00 1 -1)b1表示购买力平平价协整向量量，b2表示利率平价协整整向量。3估计协整向向量个数r。 用Ptt表示英国商商品综合批发发价格指数。Pt*表示进口商品综合批发价格指数。Et表示英国实际汇率。Rt表示三个月的金融债券利率。Rt*表示三个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。通过对数据走势势的分析，认认为批发价格格指数序列中中存在线性趋

36、趋势。所以在在VAR模型中中应该有一个个非约束常数数项（既进入入协整空间，也也进入数据空空间）。2阶VAR模型型估计结果显显示残差序列列的峰度值很很高（高峰厚厚尾特征），为为非正态分布布。残差序列列的方差很大大主要是由于于世界石油价价格的变化造造成的。用石石油价格调整整批发价格指指数，再次估估计2阶VAAR模型。VARR模型残差序序列的诊断检检验结果见表表1。表1 VARR模型残差的的诊断检验方程内生变量标准差偏度峰度-3JB统计量序列相关检验，LM(20)1LnPt0.0070.291.274.84 (5.999)6.09 (5.999)9.59 (31.441)3LnEt0.0300.30

37、0.170.95 (5.999)13.54 (31.41)4Rt0.0110.580.253.55 (5.999)9.11 (5.999)16.41 (68.52r 1r 20.28549.42 47.21r 2r 30.25429.26 29.68r 3r 40.10211.67 3.764协整向量估估计结果的分分析与解释非约束的5个协协整参数向量和55个调整参数数向量见表33。bi和ai的顺序（从从左至右）与与特征根的大大小顺序相对对应。根据上上面的协整向向量个数检验验结果（r = 2），说明b1和b2是协整向量量，a1和a2是调整向量量。表3 协协整参数与调调整参数的估估计内生变量协整参

38、数向量b的的估计b1b2b3b4b5LnPt1.000.030.361.001.00LnPt*-0.910.03-0.46-2.40-1.45LnEt-0.93-0.100.411.12-0.48Rt-3.381.001.00-0.412.28Rt*-1.89-0.93-1.032.980.76方程调整参数向量a的的估计a1a2a3a4a5LnPt-0.070.04-0.010.00-0.01LnPt*-0.020.00-0.040.010.01LnEt0.10-0.01-0.15-0.04-0.05Rt0.03-0.150.030.01-0.02Rt*0.060.290.010.03-0.01对于购买力平价价的协整向量量希望LnPt*与LnEt系数的符号号相同，且都都与LnPt的符号相反反。观察b1和b2，显然b1是购买力平平价的协整向向量。对