全等三角形辅助线分类精.ppt

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1、全等三角形辅助线分类第1页，本讲稿共21页第2页，本讲稿共21页如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形连连线线 构构造造全全等等第3页，本讲稿共21页连线连线 构造全等构造全等如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O,O,且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长.连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO第4页，本讲稿共21页第5页，本讲稿共21页如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？可可

2、以以利利用用倍倍长长中中线线法法，即即把把中中线线延延长一倍，来构造全等三角形。长一倍，来构造全等三角形。如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线，必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结，连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。第6页，本讲稿共21页已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ABCDE延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线第7页，本

3、讲稿共21页第8页，本讲稿共21页 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。造全等三角形。如何利用三角形的角平分线来构造如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？全等三角形？问题：问题：如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。方法一：方法一：ABCDE必有结论：必有结论：在在AB上上截截取取AE=AC，连结连结DE。ADEADC。ED=CD，3 3*2 21 1AED=C，ADE=ADC。第9页，本讲稿共21页方法二：方法二：ABCDF延延 长长 AC到到 F，使使AF=AB，连结，连结DF。必有结论：必有结论：A

4、BDAFD。BD=FD，如何利用三角形的角平分线来构造如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？全等三角形？问题：问题：3 3*2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。造全等三角形。B=F，ADB=ADF。第10页，本讲稿共21页 如何利用三角形的角平分线来构造如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？全等三角形？问题：问题：ABCDMN方法三：方法三：作作DMAB于于M，DNAC于于N。必有结论：必有结论：AMDAND。DM=DN，3 3*2 21 1 如图，

5、在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。（还可以用（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等角平分线上的点到角的两边距离相等”来证来证DM=DN）第11页，本讲稿共21页练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDE122 21 1证明证明:在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结，连结DE。AD是是B

6、AC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知）1=2（已证）（已证）AD=AD（公共边）（公共边）AEDACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）（等边对等角）4*C3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代换）（等量代换）3=B+4=2B（三角（三角形的一个外角等于和它不相邻的形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）两个内角和）C=2B（等量代换）（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）第12

7、页，本讲稿共21页.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例2:2:如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AC=BC,AD AD平分平分BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了:全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE 思考思考:若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少?第13页，本讲稿共21页.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例3:3:如图如图,梯形中梯形中,A=D=90,A=D=90o o

8、,BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线,求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了:全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考:你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论?E第14页，本讲稿共21页证明证明：例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角平的角平分线，分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。BD是是ABC的角平分线（已知）的角

9、平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知）1=2（已证）（已证）BD=BD（公共边）（公共边）ABDEBD（S.A.S）1243 3+4180（平角定义），（平角定义），A3（已证）（已证）A+C180 （等量代换）（等量代换）3 32 21 1*A3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已证）（已证）DE=DC（等量代换）（等量代换）4=C（等边对等角）（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）第15页，本讲稿共21页证明证明:例例1 1已知

10、：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角平的角平分线，分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCF延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结，连结DF。BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知）1=2（已证）（已证）BD=BD（公共边）（公共边）BFDBCD（S.A.S）1243 FC（已证）（已证）4=C（等量代换）（等量代换）3 32 21 1*FC（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）AD=CD

11、（已知），（已知），DF=DC（已证）（已证）DF=AD（等量代换）（等量代换）4=F（等边对等角）（等边对等角）3+4180 （平角定义）（平角定义）A+C180 （等量代换）（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）第16页，本讲稿共21页证明证明:例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角平的角平分线，分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（

12、角平分线定义）（角平分线定义）DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在NBD和和MBD中中 N=DMB（已证）（已证）1=2（已证）（已证）BD=BD（公共边）（公共边）NBDMBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）N433 32 21 1*ND=MD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD（已证）（已证）AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L）3+4180（平角定义），（平角定

13、义），A3（已证）（已证）A+C180（等量代换）（等量代换）第17页，本讲稿共21页A1BCD234如图所示，已知如图所示，已知AD BC，1=2，3=4，直线，直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短第18页，本讲稿共21页第19页，本讲稿共21页1.1.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB,DEAB.DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少?.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB第20页，本讲稿共21页2.2.如图如图,ABC,ABC中中,D,D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上.若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC第21页，本讲稿共21页