全等三角形辅助线复习.ppt

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1、全等三角形辅助线复习全等三角形辅助线复习 知识要点：知识要点： 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所先推导出所缺的条件然后再证明缺的条件然后再证明。 一些较难的证明题要添加适当的辅助线添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 构造辅助线的方法：构造辅助线的方法： 1截长补短法。截长补短法。 2平行线法（或平移法）：平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线。 3倍长中线法：倍长中线法：题中

2、条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 4翻折法：翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。 1截长补短法（通常用来证明线段和差相等）截长补短法（通常用来证明线段和差相等） “截长法截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法 “补短法补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。 例例1、如图、如图ACB

3、D，EA、EB分别平分分别平分CAB、DBA，CD过点过点E，求证：，求证：AB=AC+BD. 分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在ABAB上截取上截取AFAF，使，使AF=ACAF=AC，这样，只要证明这样，只要证明FB=BDFB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。即可，于是将问题转化为证明两线段相等。答案答案证明：证明：在在AB上取点上取点F，使，使AF=AC，连接，连接EFEA平分平分CABCAE=FAECAE FAE（SAS）C=AFEACBDC+D=180又又AFE+BFE=180D=BFEEB平

4、分平分ABDEBF=EBDBFE BDE（AAS）BD=BFAB=AF+BFAB=AC+BD分析过程：分析过程：要证：要证：AB=AC+BD需证：需证：AC=AF、BD=BF要证：要证： AC=AF、BD=BF需证：需证：BFE BDE要证：要证：BFE BDE需证：需证： D=BFE要证：要证： D=BFE需证：需证： C=AFE要证：要证：C=AFE需证：需证： CAE FAE注：注：（1 1）若分别延长）若分别延长ACAC和和BEBE，相交于点，相交于点G G，能否证明结论成立？如能，请你证明，能否证明结论成立？如能，请你证明，如不能，请说明理由。如不能，请说明理由。（2 2）本题中）本

5、题中E E点是否是点是否是CDCD的中点，如是，请证明。的中点，如是，请证明。（3 3）本题的大前提）本题的大前提ACBDACBD不变，而在以下四个条件：不变，而在以下四个条件：EAEA是是BACBAC的平分线，的平分线，EBEB是是ABDABD的平分线，的平分线，E E是是CDCD的中点，的中点，AB=AC+BDAB=AC+BD中，任取两个作为已知条件，中，任取两个作为已知条件，另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。 例例2、 已知：如图所示，在四边形已知：如图所示，在四边形ABCD中，中，BCBA，AD=CD，BD平分平分ABC，求证：

6、，求证：A + C = 180例3、已知：AD为ABC的角平分线，ABAC，求证：ABACBD-DC。 练习练习1、在、在RTABC中，中，BAC=90，AB=AC，BD平分平分ABC，CEBD，求证，求证BD=2CE.( (要求：不能用要求：不能用补短法，只能用截长法补短法，只能用截长法) ) 练习练习2、已知，如图：在、已知，如图：在ABC中，中，C=2B，1=2，求证：，求证：AB=AC+CD.( (要求：不能用截长法要求：不能用截长法, ,只能用补短法只能用补短法) ) 2平行线法（或平移法）平行线法（或平移法） 如果题目中含有中点，可以通过中点作平题目中含有中点，可以通过中点作平行线

7、或中位线行线或中位线 对于对于Rt,有时可作出斜边的中线有时可作出斜边的中线 例例1、ABC中，中，BAC=60，C=40AP平分平分BAC交交BC于于P，BQ平分平分ABC交交AC于于Q，AP、BQ交于点交于点O。 求证：求证：AB+BP=BQ+AQ 说明：说明：本题也可以在本题也可以在AB截取截取AD=AQ，连，连OD，构造全等三角形，即，构造全等三角形，即“截长补短法截长补短法”本题利用本题利用“平行法平行法”解法也较多，举例如下：解法也较多，举例如下：如图（如图（2），过），过O作作ODBC交交AC于于D，则，则ADO ABO来解决来解决如图（如图（3），过），过O作作DEBC交交AB

8、于于D，交，交AC于于E，则，则ADO AQO，ABO AEO来解决来解决如图（如图（4），过），过P作作PDBQ交交AB的延长线于的延长线于D，则，则APD APC来解决来解决如图（如图（5），过），过P作作PDBQ交交AC于于D，则，则ABP ADP来解决来解决 例例2、如图，、如图，ABC中，中，ABAC。E是是AB上异于上异于A、B的任意一点，延长的任意一点，延长AC到到D，使，使CDBE，连接，连接DE交交BC于于F。求证：。求证：EFFD。3倍长法倍长法 如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中以构造全等三角形

9、，从而将分散条件集中在一个三角形内。在一个三角形内。 例例1、如图、如图1，AD是是ABC的中线，求证：的中线，求证：ABAC2AD 例例2、如图，、如图，AD为为ABC的中线，的中线，ADB、ADC的平分线交的平分线交AB、AC于于E、F。求证：。求证：BE+CFEF 分析：本题中已知分析：本题中已知D D为为BCBC的中点，要证的中点，要证BEBE、CFCF、EFEF间的不等关系，可利用点间的不等关系，可利用点D D将将BEBE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。旋转，使这三条线段在同一个三角形内。4翻折法翻折法 沿角平分线翻折构造全等三角形沿角平分线翻折构造全等三角形 沿高线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形 绕点旋转构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形 例例1、如图，在、如图，在ABC中，中，12，ABC2C。 求证：求证：ABBDAC。 例例2、如图，在、如图，在ABC中，中，ADBC于于D，BADCAD。求证：求证：ABAC。 例例3、如图，正方形、如图，正方形ABCD中，中，12，Q在在DC上，上，P在在BC上。求证：上。求证：PAPBDQ。