计算电磁学第五讲.ppt

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1、计算电磁学第五讲2022/9/29现在学习的是第1页，共28页为何要用吸收边界条件？由于计算机内存空间有限，让我们的分析区域不能无限大，必须在某处截断。另外，即使内存空间很大，也必须在某处截断。因为大的分析空间就意味着巨大的计算时间。从节省计算时间的角度考虑，也必须截断。2022/9/29现在学习的是第2页，共28页有哪些吸收边界条件？基于Sommerfeld辐射条件的Bayliss-Turkel吸收边界条件；基于单向波动方程的Engquist-Majda吸收边界条件(1977年)；Mur吸收边界条件(1981)；Trefethen-Halpern近似展开(1986)Higdon算子；2022

2、/9/29现在学习的是第3页，共28页 利用差值技术的廖氏吸收边界条件 廖氏吸收边界条件比Mur二阶吸收边界条件在网格外边界引起的反射要小一个数量级(20dB)，对外向波传播角度或数值色散均不敏感，并且在矩形计算区域的角点处也易于实现。M.Moghaddam,R.L.Wagner和W.C.Chew(周永祖)曾指出，如果采用单精度计算，可能导致使用廖氏吸收边界条件的FDTD算法不稳定，而采用双精度则可改善稳定性。Mei-Fang超吸收边界条件(1992)；PML完全匹配层2022/9/29现在学习的是第4页，共28页n Engquist-Majda吸收边界条件 考虑二维情形时的齐次波动方程，(5

3、-1)其中U为标量场分量，c为波的相速度。定义偏微分算子(5-2)于是方程(5-1)可写为(5-3)2022/9/29现在学习的是第5页，共28页算子L还可以通过因式分解写为(5-4)其中，(5-5)(5-6)(5-7)2022/9/29现在学习的是第6页，共28页在网格边界，如x=0处，将算子 作用于波函数将完全吸收以任意角度 入射到边界的平面波，即将(5-8)用于图1中的边界x=0，可构成一个准确的解析吸收边界条件。它将吸收来自区域内的波。图1 二维吸收边界条件Fig.1.Two-dimensional ABC.2022/9/29现在学习的是第7页，共28页相似地，算子 作用于波函数，将构

4、成x=a处的准确吸收边界条件。对式(5-5)和(5-6)中根式的处理，可以用Taylor级数展开。将在s=0附近展开为Taylor级数，(5-9)当s很小时，只取一项，(5-10)2022/9/29现在学习的是第8页，共28页将(5-10)代入(5-5)中，有(5-11)将其代入(5-8)，可得这就是所分析区域左侧边界x=0的一阶近似吸收边界条件。(5-12)2022/9/29现在学习的是第9页，共28页将(5-9)中的级数取两项，有(5-13)Substitution(5-13)in(5-5)yields(5-14)2022/9/29现在学习的是第10页，共28页Substituting(5

5、-14)in(5-8)has 这就是所分析区域左侧边界x=0的二阶近似吸收边界条件。对于图1中的其他边界，相应的二阶近似解析吸收边界条件为，x=a边界（右边界）(5-15)(5-16)2022/9/29现在学习的是第11页，共28页，y=0边界（下边界），y=b边界（上边界）(5-17)(5-18)考虑三维情形时的齐次波动方程，(5-19)2022/9/29现在学习的是第12页，共28页此时，偏微分算子 将L分解为和,得到与(5)和(6)相同的准确吸收边界条件算子。不同的是，s为(5-20)(5-21)2022/9/29现在学习的是第13页，共28页算子作用于波函数U，将在网格左边界x=0处准

6、确地吸收以任意角度入射到边界的平面波。利用Taylor级数近似展开式(5-10)，可得到x=0处的一阶吸收边界条件，其形式与(5-12)相同。利用Taylor级数近似展开式(5-13)，可得到x=0处的二阶吸收边界条件。其表达式为(5-22)2022/9/29现在学习的是第14页，共28页两边同乘以 ，得(5-23)当s很小时，(5-23)是准确吸收边界条件 的很好近似。对于其他网格边界相应的二阶近似解析吸收边界条件为，x=a边界(5-24)2022/9/29现在学习的是第15页，共28页，y=0边界，y=b边界，z=0边界(5-25)(5-26)(5-27)，z=h边界(5-28)对于矢量M

7、axwell方程的FDTD仿真，近似吸收边界条件(5-23)-(5-28)中的U表示位于网格边界上的E和H的各个切向分量。2022/9/29现在学习的是第16页，共28页n Mur差分格式 对于上述一阶、二阶近似解析吸收边界条件，Mur提出了一种简单有效的差分数值算法。利用它们来截断FDTD仿真区域，总体虚假反射在1%-5%。以一阶情形，x=0边界为例。在 处、时刻 用中点差分来代替式(5-12)中的偏微分，得(5-29)2022/9/29现在学习的是第17页，共28页(5-30)其中半网格点和半时间步长时刻的值，可用下列二阶精度的平均公式计算(5-31)(5-32)2022/9/29现在学习

8、的是第18页，共28页Substituting(5-31),(5-32)in(5-29),(5-30)and(5-12),after the manipulation,gets(5-33)这就是Mur一阶吸收边界条件(Murs 1st order ABC)。下面推导Mur二阶吸收边界条件。仍旧以x=0边界为例，如图2所示。2022/9/29现在学习的是第19页，共28页图2 Mur吸收边界条件 Fig.2.Murs 2nd ABC.图中表示位于x=0网格边界的E或H的切向分量。2022/9/29现在学习的是第20页，共28页具体为，在距离网格边界半步长的辅助网格点，对分量,将(5-23)中的偏

9、微分用中心差分来代替。将式中关于x、t的偏导用中心差分格式写为(5-34)2022/9/29现在学习的是第21页，共28页 将该式对时间t的偏导数写为相邻两点(0,j)和(1,j)处对时间偏导的平均，其表达式为(5-35)2022/9/29现在学习的是第22页，共28页(3)将该式对y的偏导数写为相邻两点(0,j)和(1,j)处对y偏导的平均，其表达式为(5-36)(4)Substituting(5-34)-(5-36)in(5-23),one can obtain.Thus,the 2nd ABC at x=0 boundary can be got,which is 2022/9/29现在

10、学习的是第23页，共28页(5-37)2022/9/29现在学习的是第24页，共28页对于三维情形，考虑x=0边界。从式(5-23)出发，此时前面的网格图2位于 网格平面，在距离边界半个步长的辅助网格点 处，对分量 用中点差分代替(5-23)中的偏导运算。偏导、和与式(5-34)-(5-36)相同。只是在平面进行计算。2022/9/29现在学习的是第25页，共28页偏导 可表达为在(0,j,k)和(1,j,k)处对z的偏导的平均值，其为(5-38)将这些差分表达式代入式(5-23)，解出 就得到三维情形下W分量在x=0网格边界出的二阶吸收边界条件 2022/9/29现在学习的是第26页，共28页(5-39)2022/9/29现在学习的是第27页，共28页问题：边界反射系数与入射角的关系。葛德彪、闫玉波电磁波时域有限差分方法一书给出了Mur近似边界条件的反射系数。(5-40)Mur二阶近似边界条件时的反射系数：Mur一阶近似边界条件时的反射系数：(5-41)其中 为入射角2022/9/29现在学习的是第28页，共28页