《计算电磁学》第五讲ppt课件.ppt

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1、2022年8月8日3时57分第五讲 吸收边界条件Dr. Ping Du(杜平)E-mail: HeFei University of Technology2022年8月8日3时57分为何要用吸收边界条件？ 由于计算机内存空间有限，让我们的分析区域不能无限大，必须在某处截断。另外，即使内存空间很大，也必须在某处截断。因为大的分析空间就意味着巨大的计算时间。从节省计算时间的角度考虑，也必须截断。 2022年8月8日3时57分有哪些吸收边界条件？ 基于Sommerfeld辐射条件的Bayliss-Turkel吸收边界条件； 基于单向波动方程的Engquist-Majda吸收边界条件(1977年)；

2、Mur吸收边界条件(1981) ； Trefethen-Halpern近似展开(1986) Higdon算子；2022年8月8日3时57分 利用差值技术的廖氏吸收边界条件 廖氏吸收边界条件比Mur二阶吸收边界条件在网格外边界引起的反射要小一个数量级(20dB)，对外向波传播角度或数值色散均不敏感，并且在矩形计算区域的角点处也易于实现。 M. Moghaddam, R. L. Wagner和W. C. Chew (周永祖) 曾指出，如果采用单精度计算，可能导致使用廖氏吸收边界条件的FDTD算法不稳定，而采用双精度则可改善稳定性。 Mei-Fang超吸收边界条件(1992) ； PML完全匹配层2

3、022年8月8日3时57分n Engquist-Majda吸收边界条件 考虑二维情形时的齐次波动方程， 222222210UUUxyct(5-1)其中U为标量场分量，c为波的相速度。定义偏微分算子 2222222222211xytLDDDxyctc(5-2)于是方程(5-1)可写为 0LU (5-3)2022年8月8日3时57分算子L还可以通过因式分解写为 0L L U(5-4)其中， 21txDLDsc21txDLDsc/ytDsDc(5-5)(5-6)(5-7)2022年8月8日3时57分在网格边界，如x=0处，将算子 作用于波函数将完全吸收以任意角度 入射到边界的平面波，即将 L0L U

4、(5-8)用于图1中的边界x=0，可构成一个准确的解析吸收边界条件。它将吸收来自区域内的波。 图1 二维吸收边界条件Fig.1. Two-dimensional ABC. 2022年8月8日3时57分相似地，算子 作用于波函数，将构成x=a处的准确吸收边界条件。 L对式(5-5)和(5-6)中根式的处理，可以用Taylor级数展开。 将21 s在s=0附近展开为Taylor级数， 2211.2ss (5-9)当s很小时，只取一项， 211s(5-10)2022年8月8日3时57分将(5-10)代入(5-5)中，有 txDLDc(5-11)将其代入(5-8)，可得10UUxct这就是所分析区域左

5、侧边界x=0的一阶近似吸收边界条件。 (5-12)2022年8月8日3时57分将(5-9)中的级数取两项，有 22112ss (5-13)Substitution (5-13) in (5-5) yields 2221111222yttxxtytxtcDDDLDsDccDcDDDcD(5-14)2022年8月8日3时57分Substituting (5-14) in (5-8) has 22222102UUcUx tcty 这就是所分析区域左侧边界x=0的二阶近似吸收边界条件。 对于图1中的其他边界，相应的二阶近似解析吸收边界条件为 22222102UUcUx tcty ，x=a边界（右边界）

6、 (5-15)(5-16)2022年8月8日3时57分22222102UUcUy tctx ，y=0边界（下边界） 22222102UUcUy tctx ，y=b边界（上边界） (5-17)(5-18)考虑三维情形时的齐次波动方程， 22222222210UUUUxyzct(5-19)2022年8月8日3时57分此时，偏微分算子 2222222222222211xyztLDDDDxyzctcLL将L分解为和,得到与(5)和(6)相同的准确吸收边界条件算子。不同的是，s为(5-20)22/yzttDDsDcDc(5-21)2022年8月8日3时57分L算子作用于波函数U，将在网格左边界x=0处准

7、确地吸收以任意角度入射到边界的平面波。 利用Taylor级数近似展开式(5-10)，可得到x=0处的一阶吸收边界条件，其形式与(5-12)相同。 利用Taylor级数近似展开式(5-13)，可得到x=0处的二阶吸收边界条件。其表达式为 22022ytzxttcDDcDDUcDD(5-22)2022年8月8日3时57分两边同乘以 ，得 tD22222221022UUcUcUx tctyz (5-23)当s很小时，(5-23)是准确吸收边界条件 的很好近似。 L U对于其他网格边界相应的二阶近似解析吸收边界条件为22222221022UUcUcUx tctyz ，x=a边界 (5-24)2022年

8、8月8日3时57分，y=0边界 ，y=b边界 ，z=0边界 22222221022UUcUcUy tctxz 22222221022UUcUcUy tctxz (5-25)(5-26)22222221022UUcUcUz tctxy (5-27)22222221022UUcUcUz tctxy ，z=h边界 (5-28) 对于矢量Maxwell方程的FDTD仿真，近似吸收边界条件(5-23)-(5-28)中的U表示位于网格边界上的E和H的各个切向分量。 2022年8月8日3时57分n Mur差分格式 对于上述一阶、二阶近似解析吸收边界条件，Mur提出了一种简单有效的差分数值算法。利用它们来截断

9、FDTD仿真区域，总体虚假反射在1%-5%。 以一阶情形，x=0边界为例。在 12xx(1/ 2)tnt处、 时刻 用中点差分来代替式(5-12)中的偏微分，得 112211,()122(1)(0)nnUx ntUUxx(5-29)2022年8月8日3时57分111,()111122( )( )22nnUx ntUUctc t(5-30)其中半网格点和半时间步长时刻的值，可用下列二阶精度的平均公式计算 1121( )( )( )2nnnUmUmUm11()(1)( )22nnnUmUmUm(5-31)(5-32)2022年8月8日3时57分Substituting (5-31), (5-32)

10、 in (5-29), (5-30) and (5-12), after the manipulation, gets 11(0)(1)(1)(0)nnnnc txUUUUc tx (5-33)这就是Mur一阶吸收边界条件(Murs 1st order ABC)。 下面推导Mur二阶吸收边界条件。仍旧以x=0边界为例，如图2所示。 2022年8月8日3时57分图2 Mur吸收边界条件 Fig. 2. Murs 2nd ABC. 图中(0, )nWj表示位于x=0网格边界的E或H的切向分量。 2022年8月8日3时57分具体为，在距离网格边界半步长的辅助网格点 1( , )2j，对1( , )2

11、nWj分量,将(5-23)中的偏微分用中心差分来代替。 将式中关于x、t的偏导用中心差分格式写为112111( , )( , )( , )2221111(1, )(0, )(1, )(0, )1212nnnjjjnnnnjjjjWWWx ttxxWWWWtxx (5-34)2022年8月8日3时57分 将该式对时间t的偏导数写为相邻两点(0, j)和(1, j)处对时间偏导的平均， 其表达式为2222221( , )(0, )(1, )21111(0, )(0, )(0, )(1, )(1, )(1, )22122212()()nnnjjjnnnnnnjjjjjjWWWtttWWWWWWtt(

12、5-35)2022年8月8日3时57分(3) 将该式对y的偏导数写为相邻两点(0, j)和(1, j)处对y偏导的平均， 其表达式为 2222221( , )(0, )(1, )2(0,1)(0, )(0,1)(1,1)(1, )(1,1)22122212()()nnnjjjnnnnnnjjjjjjWWWyyyWWWWWWyy(5-36)(4) Substituting (5-34)-(5-36) in (5-23), one can obtain 1(0, )njW.Thus, the 2nd ABC at x=0 boundary can be got, which is 2022年8月8

13、日3时57分1111(0, , )(1, )(1, )(0, )(1, )(0, )22(0,1)(0, )(0,1)(1,1)(1, )(1,1)2()22() ()2nnnnj kjjjnnjjnnnjjjnnnjjjc txWWWWc txxWWc txc txWWWyc txWWW (5-37)2022年8月8日3时57分对于三维情形，考虑x=0边界。 从式(5-23)出发，此时前面的网格图2位于 zk z 网格平面， 在距离边界半个步长的辅助网格点 处，对分量 1( , , )2j k1( , , )2nWj k用中点差分代替(5-23)中的偏导运算。 2Wx t 22Wt22Wyz

14、k z 偏导、和与式(5-34)-(5-36)相同。只是在平面进行计算。 2022年8月8日3时57分偏导 可表达为在(0, j, k)和(1, j, k)处对z的偏导的平均值，其为 22Wz2222221( , , )(0, , )(1, , )2(0, ,1)(0, , )(0, ,1)(1, ,1)(1, , )(1, ,1)22122212()()nnnj kj kj knnnnnnj kj kj kj kj kj kWWWzzzWWWWWWzz(5-38) 将这些差分表达式代入式(5-23)，解出 就得到三维情形下W分量在x=0网格边界出的二阶吸收边界条件 10, ,nj kW202

15、2年8月8日3时57分1111(0, , )(1, , )(1, , )(0, , )(1, , )(0, , )22(0,1, )(0, , )(0,1, )(1,1, )(1, , )(1,1, )222()22() ()2()2()nnnnj kj kj kj knnj kj knnnjkj kjknnnjkj kjkc txWWWWc txxWWc txc txWWWyc txWWWc txz (0, ,1)(0, , )(0, ,1)(1, ,1)(1, , )(1, ,1)2()2nnnj kj kj knnnj kj kj kWWWc txWWW (5-39)2022年8月8日3

16、时57分问题：边界反射系数与入射角的关系。 葛德彪、闫玉波电磁波时域有限差分方法一书给出了Mur近似边界条件的反射系数。cos() 1cos() 1iiR(5-40)Mur二阶近似边界条件时的反射系数：Mur一阶近似边界条件时的反射系数：22cos() 1 sin ()/ 2cos() 1 sin ()/ 2iiiiR (5-41)其中 为入射角i2022年8月8日3时57分反射系数的绝对值与入射角的关系，如图3所示。. 010203040506070809000.10.20.30.40.50.60.70.80.91i( o )|R|1st Order Approximation 2nd Or

17、der Approximation图3 反射系数的绝对值与入射角的关系Fig. 3. Relation between the reflection coefficient and the incident angle. 2022年8月8日3时57分n 完全匹配层(Perfect Matched Layer, PML)1994年，Berenger提出了完全匹配层来吸收外向电磁波 1996年,Gedney提出用单轴各向异性材料实现PML以吸收外向电磁波(UPML) 非Maxwell方程的，物理机制模糊(缺点) 电磁场分量的分裂增加了数值实现的难度、计算机内存消耗(缺点) FDTD模拟的最大动态范围达到80dB (优点) 与Berenger提出的PML在数学上是等效的 理论体系是Maxwell方程的,便于理解和高效数值实现 既可吸收传播模，也能同时吸收凋落模。 初始Berenger的PML难以完成的 2022年8月8日3时57分(To be continued)