九年级数学上册专题突破讲练相似三角形的性质试题新版青岛版20180719349.doc

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1、1相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等；2.相似三角形的对应边成比例；3.相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。方法归纳：（或技巧归纳）当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决：1比或比例；示例：示例：平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC=1：2，则 BF：EF=_ _解析解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质由题可知ABFCEF，然后根据相似比求解答案：答案：3：2解：DE：EC=1：2；EC：CD=2：3 即 EC：AB=2：3，ABCD，ABFCEF，BF：EF=

2、AB：EC=3：22线段的积；示例：示例：四边形中，AC 平分DAB，ADC=ACB=90，求证：2ACAB AD解析解析：由 AC 平分DAB，ADC=ACB=90，可证得ADCACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2=ABAD；证明：证明：AC 平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC2=ABAD；边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。示例示例：如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=5，AC=4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为_2解析解析：本题主要考查直角三角形性质、线

3、段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算答案：答案：76解：ACB=90，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3，而 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，BD=52，BDE=90，又B=B，ACBEDB，BC：BD=AB：BE，又 BC=3，AB=5，BE=256，从而得到 CE=BEBC=76总结：1.掌握相似三角形的性质；2.能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。例题例题 1 1如图，在RtABC中，C90，翻折C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E

4、、F分别在边AC、BC上）。若CEF与ABC相似。（1）当ACBC2 时，求AD的长；（2）当AC3，BC4 时，求AD的长。解析解析：若CEF与ABC相似。（1）当ACBC2 时，ABC为等腰直角三角形；（2）当AC3，BC4 时，分两种情况：（I）若CE：CF3：4，如答图 2 所示，此时EFAB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE3：4，如答图 3 所示。由相似三角形角之间的关系，可以推出AECD与BFCD，从而得到CDADBD，即D点为AB的中点。答案：答案：若CEF与ABC相似。（1）当ACBC2 时，ABC为等腰直角三角形，如答图 1 所示。此时D为AB边中点，2AD2AC2

5、，AD22AC 2。（2）当AC3，BC4 时，有两种情况：（I）若CE：CF3：4，如答图 2 所示。3CE：CFAC：BC，EFBC。由折叠性质可知，CDEF，CDAB，即此时CD为AB边上的高。在RtABC中，AC3，BC4，AB5。ADCACB90且AA，ACDABC，ADACACAB，即AD335，AD95；（II）若CF：CE3：4，如答图 3 所示。CFECAB，C EFB。由折叠性质可知，CEFECD90，又AB90，AECD，ADCD。同理可得：BFCD，CDBD，此时AD12AB52。综上所述，当AC3，BC4 时，AD的长为95或52。点点拨拨：本题是几何综合题，考查了几

6、何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第（2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意。利用相似三角形的性质求线段的长度是一类常见问题，常常综合考查勾股定理、等腰三角形、四边形等知识，特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现，有时难度较大。解答这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定理等列方程，用代数方法求线段的长度。满分训练满分训练如图，直角三角形ABC中，ACB90，AB10，BC6，在线段AB上取一点D，作DFAB交AC于点F。现将ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1。若E1FA1E1BF，则AD_。解析解析：ACB9

7、0，AB10，BC6，ACAB2BC2 102628，设AD2x，点E为AD的中点，将ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，AEDEDE1A1E1x，DFAB，ACB90，AA，ABCAFD，AD：ACDF：BC，即 2x：8DF：6，解得DF1.5x，在RtDE1F中，E1F2DF2DE123.25x2，又BE1ABAE1103x，E1FA1E1BF，E1FA1E1BE1E1F，E1F2A1E1BE1，即 3.25x2x（103x），解得x1.6，AD的长为 21.63.2。答案：答案：3.2点拨点拨：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换、折叠、勾股定理、相似三角形的

8、对应边成比例。利用勾股定理列式求出AC，设AD2x，得到AEDEDE1A1E1x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然4后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而得出AD的值。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1.如图，ABC中，DEBC，DE1，AD2，DB3，则BC的长是（）A.12B.32C.52D.72*2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC（）A.1：4B.1：3C.2：3D.1：2*3.如图所示，ADBC，D

9、90，DC7，AD2，BC3。若在边DC上有点P使PAD与PBC相似，则这样的点P有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个ABCDP*4.如图，在ABC中，ABACa，BCb（ab）。在ABC内依次作CBDA，DCECBD，EDFDCE。则EF等于（）A.b3a2B.a3b2C.b4a3D.a4b35二、填空题5.在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC1：2，则BF：BE_。6.如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE4：3，且BF2，则DF_。*7.如图，在边长为 9 的正三角形ABC中，BD3，ADE60，则AE的长为_。*8.如图，在RtA

10、BC中，ACB90，BC3，AC4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为_。A AB BC CD DE E三、解答题*9.如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F。（1）求证：ABAF；（2）当AB3、BC5 时，求AEAC的值。*10.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE6上一点，且AFEB。（1）求证：ADFDEC；（2）若AB8，AD6 3，AF4 3，求AE的长。*11.如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADCACB90，E为AB的中点，（1）求证：AC2ABAD；（2）求证：CEA

11、D；（3）若AD4，AB6，求ACAF的值。*12.【提出问题】（1）如图 1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN。求证：ABCACN。【类比探究】（2）如图 2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABCACN还成立吗？请说明理由。【拓展延伸】（3）如图 3，在等腰ABC中，BABC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMNABC。连结CN。试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由。71.C解析：DEBC，ADEABC，则ADD

12、EABBC，DE1，AD2，DB3，ABADDB5，BC51252。故选C。2.D解析：在平行四边形ABCD中，ABDC，则DFEBAE，DFABDEEB，O为对角线的交点，DOBO，又E为OD的中点，DE14DB，则DE：EB1：3，DF：AB1：3，DCAB，DF：DC1：3，DF：FC1：2。故选D。3.C解析：设PDx，则（1）若APDPBC，则PDADPCBC，即x27x3，解之得x145；（2）若PADBPC，则PDADBCPC，即x237x，解之得x11，x26。综上所述，存在三个点P，使PAD与PBC相似。4.C解析：ABAC，ABCACB，又CBDA，ABCBDC，同理可得：

13、ABCBDCCDEDFE，ABBCBCCD，CDBDDECD，EFDEDECE，且BDBC，CECD，解得：CDb2a，DEb3a2，EFb4a3。故选C。5.3：5解析：DE：EC1：2，EC：CD2：3 即EC：AB2：3，ABCD，ABFCEF，BF：EFAB：EC3：2。BF：BE3：5。6.143解析：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，AE：BE4：3，BE：AB3：7，BE：CD3：7。ABCD，BEFDCF，BF：DFBE：CD3：7，即 2：DF3：7，DF143。7.7解析：ABC是等边三角形，BC60，ABBC；CDBCBD936；BADADB120，ADE6

14、0，ADBEDC120，DABEDC，又BC60，ABDDCE，则ABBDDCCE，即936CE，解得：CE2，故AEACCE927。8.76解析：在RtABC中，BC3，AC4，AB5，BD52。易知ABCEBD，ABBCBEBD，即53BE2.5，BE256，CEBEBC256376。9.解：（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，ADBC，23。BF是ABC的平分线，12。13。ABAF。（2）AEFCEB，23，AEFCEB，AEECAFBC35，AEAC38。10.解：（1）证明：在平行四边形ABCD中ABCD，ADBC，CB180，ADFDEC。AFDAFE180，AFEB，AF

15、DC。在ADF与DEC中，AFDCADFDEC，ADFDEC。（2）解：平行四边形ABCD，CDAB8。由（1）知8ADFDEC，ADDEAFCD，DEADCDAF6 384 312。在RtADE中，由勾股定理得：AEDE2AD2 122（6 3）26。11.解：（1）证明：AC平分DAB，DACCAB，ADCACB90，ADCACB，AD：ACAC：AB，AC2ABAD；（2）证明：E为AB的中点，CE12ABAE，EACECA，DACCAB，DACECA，CEAD；（3）解：CEAD，AFDCFE，AD：CEAF：CF，CE12AB，CE1263，AD4，43AFCF，ACAF74。12.

16、解：（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，ABACBAMCANAMAN，BAMCAN（SAS），ABCACN。（2）解：结论ABCACN仍成立。理由如下：ABC、AMN是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，ABACBAMCANAMAN，BAMCAN（SAS），ABCACN。（3）解：ABCACN。理由如下：BABC，MAMN，顶角ABCAMN，底角BACMAN，ABCAMN，ABAMACAN，又BAMBACMAC，CANMANMAC，BAMCAN，BAMCAN，ABCACN。