高考理科数学一轮复习课——不等式.doc

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1、第六篇不等式A第1讲不等关系与不等式最新考纲1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用. 知 识 梳 理1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2)辨 析 感 悟1对两个实数大小的比较的认识(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab三种关系中的一种()(2)若1.则ab.()2对不等式性质

2、的理解(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立()(4)同向不等式具有可加性和可乘性()(5)(2014丽水模拟改编)设a，b为实数，则“0ab1”是“b”成立的既不充分也不必要条件()(6)(2013北京卷改编)若ab，则.()若ab，则a2b2.()若ab，则a3b3.()感悟提升两个防范一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符号等都需注意，如(2)、(3)、(4)二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推

3、理论证如(6)中当a1，b2时，不成立；当a1，b2时，a2b2不成立.学生用书第94页考点一用不等式(组)表示不等关系【例1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？解若提价后商品的单价为x元，则销售量减少10件，因此，每天的利润为(x8)10010(x10)元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x8)10010(x10)300.规律方法 对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清

4、变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决【训练1】 某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋产品需用4 h；生产每袋产品需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t试根据这些数据预测明年的产量解设明年的产量为x袋，则解得80 000x90 000.预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间考点二比较大小【例2】 (1)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab

5、Dbac(2)已知a1且aR，试比较与1a的大小(1)解析易知a，b，c都是正数，log891，所以ba；log25321，所以ac.即cab.故选C.答案C(2)解(1a)，当a0时，0，1a；当a1，且a0时，0，1a；当a1时，0，1a.规律方法 (1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小【训练2】 (2012四川卷)设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|

6、1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析中，a2b2(ab)(ab)1，a，b为正实数，若ab1，则必有ab1，又ab，不合题意，故正确中，1，只需abab即可如取a2，b满足上式，但ab1，故错中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确答案考点三不等式的性质及其应用【例3】 (1)(2014泉州模拟)若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的所有不等式的

7、序号是_(2)(2012湖南卷)设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A. B C D审题路线解析(1)令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不成立又1，1，因此不成立由不等式的性质可推出成立(2)由不等式性质及ab1知，又c，正确；构造函数yxc，c0，yxc在(0，)上是减函数，又ab1，acbc，知正确；ab1，ac0，acbc1，ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确答案(1)(2)D规律方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判

8、断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等【训练3】 若0，则下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2中，正确的不等式是()A B C D解析法一由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在

9、定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确法二因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误综上所述，可排除.答案C 1判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便2倒数关系在不等式中的作用：；.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商 易错辨析6多次使用同向不等式的可加性而致误【典例】 设f(x)a

10、x2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_错解由得得a3.得b1.由此得4f(2)4a2b11.所以f(2)的取值范围是4,11答案4,11错因本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f(2)的范围扩大正解法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三由确定的

11、平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5,10防范措施利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径【自主体验】如果1ab3,3ab5，那么2a3b的取值范围是()A(2,8) B(5,14) C(6,13) D(7,13)解析设abx，aby，1x3,3y5，a，b，2a3bxy(xy)xy.又x，y，6xy13，2a3b的取值范围是(6,13

12、)答案C对应学生用书P297基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014深圳一模)设x，yR，则“x1且y2”是“xy3”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由不等式性质知当x1且y2时，xy3；而当x2，y时满足xy3，但不满足x1且y2，故“x1且y2”是“xy3”的充分而不必要条件答案A2(2014保定模拟)已知ab，则下列不等式成立的是()Aa2b20 BacbcC|a|b| D2a2b解析A中，若a1，b2，则a2b20不成立；当c0时，B不成立；当0ab时，C不成立；由ab知2a2b成立，故选D.答案D3(2014河南三市三模)

13、已知0a1，xlogaloga ，yloga5，zloga loga ，则()Axyz BzyxCzxy Dyxz解析由题意得xloga，yloga，zloga，而0a1，函数yloga x在(0，)上单调递减，yxz.答案D4已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是()Aaabab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析由1b0，可得bb21，又a0，abab2a.答案D5(2014晋城模拟)已知下列四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0，能推出b，ab0可得0，b0且ab时，aabb与abba.解(1)3x2x12x2x1x22x2(x1)210，3x2x12x2x1.(2)

14、aabbbaaababab.当ab，即ab0，1时，ab1，aabbabba.当ab，即ab0,01，aabbabba.当a0，b0且ab时，aabbabba.10甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1v2.甲所用的时间t甲，乙所用的时间t乙，1.t甲0，t乙0，t甲t乙，即乙先到教室能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b

15、3解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab1.答案A2已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acba BacbCcba Dacb解析cb44aa2(2a)20，cb，将已知两式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a20，1a2a，b1a2a，cba.答案A二、填空题3(2014三门峡二模)给出下列条件：1ab；0ab1；0a1b.其中，能推出logblogalogab成立的条件的序号是_解析若1ab，则1b，logaloga1logb，故条件不成立；若0ab1，则b1，logablogalo

16、ga1logb，故条件成立；若0a1b，则01，loga0，logab0，故条件不成立答案三、解答题4设0x0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小解法一作差比较当a1时，由0x1知，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)，01x21，loga(1x2)0，故|loga(1x)|loga(1x)|.当0a|loga(1x)|.法二平方作差|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)logaloga(1x2)loga0.|loga(1x)|2|loga

17、(1x)|2，故|loga(1x)|loga(1x)|.法三作商比较|log(1x)(1x)|，0x1，log(1x)(1x)0，故log(1x)(1x)log(1x)1log(1x)1log(1x).由0x1及1，log(1x)0，故1，|loga(1x)|loga(1x)|.学生用书第96页第2讲一元二次不等式及其解法最新考纲1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 知 识 梳 理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的

18、不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2辨 析 感 悟1对一元二次不等式的解法的理解(1)(2013广东卷改编)不等式x2x20的解集为2x1.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(

19、x1，x2)，则必有a0.()(3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()2对一元二次不等式恒成立问题的认识(5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(6)若关于x的不等式ax2x10的解集为R，则a.()(7)若不等式x2ax10对x恒成立，则a的最小值为.()感悟提升三个防范一是当0时，不等式ax2bxc0(a0)的解集为R还是，要注意区别，如(4)中当a0时，解集为R；当a0时，解集为.二是对于不等式ax2bxc0求解

20、时不要忘记讨论a0时的情形，如(5)中当ab0，c0时，不等式ax2bxc0在R上也是恒成立的三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏. 考点一一元二次不等式的解法【例1】 (2014大连模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是()A.B.C.D.解析由f(x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0.且解得a1或，a1，b3.f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得4x24x30，解得x或x，故选

21、A.答案A规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.学生用书第97页【训练1】 (2013江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又当x0时，x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0)，f(x)(1)当x0时，由f(x)x得x24xx，解得x5；(2)当x0时，f(x)x无解；(3)当x0时，由f(x)x得x24xx，解得5x0.综上得不等式

22、f(x)x的解集用区间表示为(5,0)(5，)答案(5,0)(5，)考点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013烟台期末)解关于x的不等式：ax222xax(aR)解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即a2，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为.规律方法 解含参数的一元

23、二次不等式分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【训练2】 (1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于()A. B. C. D.(2)解关于x的不等式(1ax)21.(1)解析法一不等式x22ax8a20的解集为(x1，x2)，x1，x2是方程x22ax8a20的两根由根与系数的关系知x2x115，又a0，a，故选A.法二由x

24、22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，a0，不等式x22ax8a20的解集为(2a,4a)，又不等式x22ax8a20的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得a，故选A.答案A(2)解由(1ax)21，得a2x22ax0，即ax(ax2)0，当a0时，x.当a0时，由ax(ax2)0，得a2x0，即0x.当a0时，x0.综上所述：当a0时，不等式解集为空集；当a0时，不等式解集为；当a0时，不等式解集为.考点三一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3

25、，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解(1)由题意可得m0或m0或4m04m0.故m的取值范围是(4,0(2)法一要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是.法二f(x)m5m(x2x1)6，x2x10，m对于x1,3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1,3，记h(x)x2x12，h(x)在x1,3上为增函数则g

26、(x)在1,3上为减函数，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范围是.规律方法 (1)不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单【训练3】 (1)若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，则实数a的取值范围是_(2)(2014淄博模拟)若不等式(aa2)(x21)x0对一切x(0,2恒成立，则a的取值

27、范围是()A.B.C.D.解析(1)当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围是.(2)x(0,2，a2a.要使a2a在x(0,2时恒成立，则a2amax，由基本不等式得x2，当且仅当x1时，等号成立，即max.故a2a，解得a或a.答案(1)(2)C学生用书第98页 1解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决2当判别式0时，ax2bxc0(a0)解集为R；ax2bxc0(a0)解集为.二者不要混为一谈3含参数的不等式的

28、求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论4对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min. 思想方法5数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012福建卷)对于实数a和b，定义运算“*”；a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析由定义可知：f(x)(2x1)*(x1)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x2x3，易知x20，

29、且x2x321，0x2x32，即0x2x3.令解得x或(舍去)x10，x10，0x1x2x3，x1x2x30.答案反思感悟 “三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数yax2bxc(a0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值、二次方程ax2bxc0(a0)的根是同一个问题解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决【自主体验】1已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析由函数f(x)的图象可知(如下图)，满足f(1x2)f(2x)分两种情况：0x1；1x0.综上可知：1x1.答案(1，1)2已

30、知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)答案(0,1)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014长春调研)已知集合Px|x2x20，Qx|log2(x1)1，则(RP)Q()A2,3 B(，13，)C(2,3 D(，1(3，)解析依题意，得Px|1x2，Qx|1x3，则(RP)Q(2,3答案C2(2014沈阳质检)不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A4,4 B(4,4)C(，44，) D(，4)(4，)解析不等式x2ax40的解

31、集不是空集，只需a2160，a4或a4，故选D.答案D3(2013南通二模)已知f(x)则不等式f(x)f(4)的解集为()Ax|x4 Bx|x4Cx|3x0 Dx|x3解析f(4)2，不等式即为f(x)2.当x0时，由2，得0x4；当x0时，由x23x2，得x2，因此x0.综上，x4.故f(x)f(4)的解集为x|x4答案B4已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3)B(，2)(3，)C.D.解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3)答案A5已知函数f(x)ax2b

32、xc，不等式f(x)0的解集为x|x3，或x1，则函数yf(x)的图象可以为()解析由f(x)0的解集为x|x3，或x1知a0，yf(x)的图象与x轴交点为(3,0)，(1,0)，f(x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(1,0)答案B二、填空题6已知关于x的不等式0的解集是(，1)，则a_.解析由于不等式0的解集是(，1)，故应是ax10的根，a2.答案27(2013四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_解析f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)又x0时，f(x)x24x，不等式f(x2)5f(|x2|)5|x2|24|

33、x2|5(|x2|5)(|x2|1)0|x2|50|x2|55x257x3.故解集为(7,3)答案(7,3)8(2014福州期末)若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_. 解析原不等式即(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1；当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.答案4,3三、解答题9求不等式12x2axa2(aR)的解集解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得：x1，x2.a0时，解集为；a0

34、时，x20，解集为x|xR且x0；a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.10(2014长沙质检)已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围是3,1法二令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.所求a的取值范围是3,1能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2013安徽卷)已知一元二次不等式f(x)0的解集为，则f(10x)0的解集为()Ax|x1或xlg 2 Bx|1xlg 2Cx|xlg 2 Dx|xlg 2解析依题意知f(x)0的解为1x，故110x，解得xlg lg 2.答案D2(2013西安二模)在R上定义运算：ad