复变函数的积分.ppt

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1、复变函数的积分现在学习的是第1页，共80页一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,若若选定选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向或正向),),则称则称C为为有向曲有向曲线线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就就是曲线是曲线C的负向的负向,简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点当曲线上的点P顺此方向前进时顺此方向前进时,邻近邻近P点点的曲线的内部始终位于的曲线的内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的

2、负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念2现在学习的是第2页，共80页2.积分的定义积分的定义:(D3现在学习的是第3页，共80页关于定义的说明关于定义的说明:4现在学习的是第4页，共80页二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法1.存在条件：存在条件：若若f(z)为连续函数且为连续函数且C是光滑曲线，是光滑曲线，则则积分积分 一定存在。（证明略）一定存在。（证明略）2.积分计算：积分计算：5现在学习的是第5页，共80页计算方法计算方法1的推导：的推导：计算方法计算方法2的推导：的推导：6现在学习的是第6页，共80页连续连续曲曲线线 两个连

3、续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲曲线线的数学表达的数学表达 过定点，倾斜角为 的直线参数方程为：7现在学习的是第7页，共80页其参数方程为复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：以(a,b)为圆心，半径为r的圆：8现在学习的是第8页，共80页例例1 直线段C3:的方程为解：解：计算 其中积分路径C分别为如下两种：直线段 ，和折线段写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：9现在学习的是第9页，共80页例例1 续续 直线段直线段 方程为方程为这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关（格林定理格林定理）10现在学习的是第10页，共80页y=x例

4、例2 11现在学习的是第11页，共80页例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为12现在学习的是第12页，共80页例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为13现在学习的是第13页，共80页重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.14现在学习的是第14页，共80页例例5 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为15现在学习的是第15页，共80页y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段

5、的参数方程为直线段的参数方程为16现在学习的是第16页，共80页三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式17现在学习的是第17页，共80页性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕18现在学习的是第18页，共80页例例6解解根据估值不等式知根据估值不等式知19现在学习的是第19页，共80页2 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理f(z)不不满足满足C-RC-R方程方程,在复平面内处处不在复平面内处处不解析解析.此时积分与路线有关此时积分与路线有关.由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线无关积分是

6、否与路线无关,或沿闭曲线的积分值为或沿闭曲线的积分值为0的条的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：上一小节几个例子：例例1 1 此时积分与路线无关此时积分与路线无关.例例2 2 例例4 4 f(z)在以在以z0为中心的圆周内不是处处为中心的圆周内不是处处解析的，此时解析的，此时 虽然在除虽然在除z0外的圆内处处解外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域析，但此区域已不是单连通域20现在学习的是第20页，共80页积分积分 定积分定积分 二重积分三重积分二重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分积分域积分域 区间区间

7、平面区域平面区域 空间区域空间区域 曲线曲线 曲面曲面曲线积分曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：在高等数学中我们学习了下列积分：21现在学习的是第21页，共80页二重积分二重积分22现在学习的是第22页，共80页第一型曲线积分第一型曲线积分如果如果 L 是闭曲线是闭曲线,则记为则记为设设 L 是空间可求长曲线段是空间可求长曲线段,f(x,y)为定义在为定义在 L上的函数，则可定义上的函数，则可定义 f(x,y)

8、在空间曲线在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并记作上的第一型曲线积分，并记作23现在学习的是第23页，共80页第二型曲线积分第二型曲线积分 变力沿曲线作功变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用沿曲线沿曲线 L 从点从点 A 移动到点移动到点 B，则力，则力 F(x,y)所作的所作的功由如下曲线积分给出：功由如下曲线积分给出：或或也记为也记为或或简记为简记为P、Q是连续函数24现在学习的是第24页，共80页格林格林 (Green)(Green)公式公式定理定理(格林公式格林公式)若函数若函数在闭区域在闭区域 D 上具有连续一阶偏导上具有连续一阶偏导数，则有：数，则有：其中其

9、中 L 为区域为区域 D 的边界曲线，并取正方向的边界曲线，并取正方向.25现在学习的是第25页，共80页曲线积分与路线的无关性定理曲线积分与路线的无关性定理在在D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,(iii)沿沿D 中任意按段光滑闭曲线中任意按段光滑闭曲线 L,有有(ii)对对D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(i)在在 D 内内 处处成立处处成立与路径无关与路径无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关.设设D 是单连通域，函数是单连通域，函数则以下三个条件等价则以下三个条件等价:26现在学习的是第26页，共80页根据格林公式：根据格林公式：2

10、7现在学习的是第27页，共80页柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理（柯西积分定理）（柯西积分定理）定理中的定理中的 C 可以不是简单可以不是简单曲线曲线.28现在学习的是第28页，共80页关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,定理仍成立定理仍成立.例例根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有29现在学习的是第29页，共80页3 复合闭路定理复合闭路定理30现在学习的是第30页，共80页设函数设函数f(z)在多连通域在多连通域D内解析内解析31现在学习的是第31页，共80页32现在学习的是

11、第32页，共80页得得解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经过函数在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.33现在学习的是第33页，共80页例例1 1闭路变形原理：闭路变形原理：34现在学习的是第34页，共80页35现在学习的是第35页，共80页复合闭路定理复合闭路定理36现在学习的是第36页，共80页例例2 2解解依题意知依题意知,37现在学习的是第37页，共80页根据复合闭路定理根据复合闭路定理,38现在学习的是第38页，共8

12、0页例例3 3解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,39现在学习的是第39页，共80页例例4 4解解由复合闭路定理有由复合闭路定理有 此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线 内即可内即可.40现在学习的是第40页，共80页例例5 5解解由上例可知由上例可知41现在学习的是第41页，共80页定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关有关,(如下页

13、图如下页图)4 原函数与不定积分原函数与不定积分42现在学习的是第42页，共80页43现在学习的是第43页，共80页定理二定理二 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似完全类似.其证明也完全类似。其证明也完全类似。44现在学习的是第44页，共80页原函数原函数:原函数之间的关系原函数之间的关系:证证 证毕证毕 推论：推论：45现在学习的是第45页，共80页不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微复变函数的积分就可以用跟微积分学中

14、类似的方法去计算积分学中类似的方法去计算.46现在学习的是第46页，共80页例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,47现在学习的是第47页，共80页例例2 2解解(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)48现在学习的是第48页，共80页例例3 3解解此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”49现在学习的是第49页，共80页例例4 4解解50现在学习的是第50页，共80页一、问题的提出一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,5 柯西积分公式柯西积分公式 51现在学习的是第51页，共80页二、柯西积分公

15、式二、柯西积分公式定理定理-柯西积分公式柯西积分公式或者：或者：52现在学习的是第52页，共80页证明：（不作要求，仅供参考）证明：（不作要求，仅供参考）53现在学习的是第53页，共80页上不等式表明上不等式表明,只要只要 足够小足够小,左端积分的模就可以左端积分的模就可以任意小任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕54现在学习的是第54页，共80页关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表内

16、部任一点的值用它在边界上的值表示示.(2)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值均值.55现在学习的是第55页，共80页例例1 1解解由柯西积分公式可得由柯西积分公式可得56现在学习的是第56页，共80页例例2 2解解57现在学习的是第57页，共80页例例3 3解解由柯西积分公式由柯西积分公式58现在学习的是第58页，共80页定理定理6 高阶导数高阶导数高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分.59现在学习的是第59页，共80页例例1 1解解60现在学习的是第6

17、0页，共80页例例2 2解解61现在学习的是第61页，共80页根据复合闭路定理根据复合闭路定理62现在学习的是第62页，共80页例例3 3解解63现在学习的是第63页，共80页例例4 4解解64现在学习的是第64页，共80页一、调和函数的定义一、调和函数的定义7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 65现在学习的是第65页，共80页二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系两者的关系定理：任何在区域定理：任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚它的实部和虚部都是部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证：证：根据高阶导数定理根据高阶导数定理

18、,证毕证毕66现在学习的是第66页，共80页2.共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数数.67现在学习的是第67页，共80页3.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用柯西那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而构成一个从而构成一个解析函数解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 故u(x,y)为调和函数。68现在学习的是第68页，共80页得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为练

19、习：练习：答案答案69现在学习的是第69页，共80页例例2 解解70现在学习的是第70页，共80页所求解析函数为所求解析函数为71现在学习的是第71页，共80页4.不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:上两式积分得：上两式积分得：72现在学习的是第72页，共80页用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 例例3 3解解73现在学习的是第73页，共80页例例4 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 74现在学习的是第74页，共80页第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分75现在学习的是第75页，共80页76现在学习的是第76页，共80页77现在学习的是第77页，共80页当f(z)=1时，由上两式容易得到：C为包含z0点的闭合曲线78现在学习的是第78页，共80页79现在学习的是第79页，共80页感感谢谢大大家家观观看看9/25/2022现在学习的是第80页，共80页