复变函数与积分变换复变函数.ppt

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1、复变函数与积分变换复变函数复变函数与积分变换复变函数现在学习的是第1页，共23页 第六章第六章 共形映射共形映射1.共形映射的概念2.分式线性映射3.唯一决定分式线性映射的条件4.几个初等函数所构成的映射5.关于共形映射的几个一般性定理6.Schwarz-Christoffel映射7.Laolace方程的边值问题8.第六章小结与习题现在学习的是第2页，共23页2 1 1C.0w 映射映射经经)(zfw 2C0z.Cyx0)(wyx0)(zs R)(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念两曲线的夹角1解析函数导数的几何意义2小结与思考

2、4共形映射的概念3现在学习的是第3页，共23页一、两曲线的夹角一、两曲线的夹角)(,)(ttzz正向:t 增大时,点 z 移动的方向.如果规定:tpp正正向向对对应应于于割割线线0pp0 ,那么那么增大的方向增大的方向.)()(00同向同向与与ttzttz 平面内的有向连续曲线C可表示为:zyx0C.0pp)(0tz)(0ttz 现在学习的是第4页，共23页)()()(lim0000tzttzttzt 当 p,0时时ppp0处处切切线线上上 0pC,0)(00 ttz如如果果的的向向量量那那么么表表示示)(0tz).(0tzzC 相相切切于于点点与与方向与 C 一致.C.0pp)(0tz)(0

3、ttz )(0tz yx0C沿沿现在学习的是第5页，共23页000)()(zCztz上上点点为为起起点点为为的的方方向向若若规规定定 处切线的正向,则有x 轴正向之间的夹角.处处的的切切线线的的正正向向与与上上点点就就是是00)(Arg.1zCtz C.0zyx0)(0tz)(Arg0tz 现在学习的是第6页，共23页2C1C正向之间正向之间与与相交于一点的两条曲线相交于一点的两条曲线21 .2CC之间的夹角.)(Arg)(Arg0102tztz .0z),(:11tzzC;)(:22tzzC).()(02010tztzz 向向在在交交点点处处的的两两条条切切线线正正与与就就是是的的夹夹角角2

4、1 ,CC现在学习的是第7页，共23页二、解析函数导数的几何意义二、解析函数导数的几何意义的的几几何何意意义义)(Arg.10zf :,:0参参数数方方程程的的有有向向光光滑滑曲曲线线平平面面内内过过 zzC);(,)(ttzz正向:t 增大的方向;,)(00tzz 且且.,0)(0 ztzC0z.yx0)(z,)(内内解解析析在在区区域域设设Dzfw )(0tz.0)(,00 zfDz且且现在学习的是第8页，共23页,的有向光滑曲线的有向光滑曲线其参数方程为,)(ztzfw正向:t 增大的方向.)()(00zfwwCzfw 平面内过平面内过映射成映射成将将映射映射C0z.yx0)(z)(0t

5、z yx0)(w0w.)(zfw 现在学习的是第9页，共23页)()(ttzfw因因为为0)()(0tttwtw 所所以以,0)(0处处切切线线存存在在上上点点即即w)(Arg)(Arg)(Arg000tztwzf )(Arg)(Arg)(Arg000tzzftw 或处切线的倾角处切线的倾角在在0w 处切线的倾角处切线的倾角在在0zC的的转转动动角角映映射射后后在在经经曲曲线线定定义义为为0)(:zzfwC)()(00tzzf 现在学习的是第10页，共23页2 1 1C说明:转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关.映射 w=f(z)具有转动角的不变性.0w 映射映射经经)(zfw 1C1)(Ar

6、g)(Arg)(Arg01010tztwzf 2C2 2C0z.)(Arg)(Arg)(Arg02020tztwzf 现在学习的是第11页，共23页则有)(Arg)(Arg)(Arg)(Arg02020101tztwtztw 的夹角的夹角在在与与 021w 的的夹夹角角在在与与 021zCC结论:)(zfw 的夹角在其大小和方向上都等同于经过.2121之之间间的的夹夹角角与与对对应应的的曲曲线线与与映映射射后后跟跟 CC方向不变的性质,此性质称为保角性.的大小和的大小和具有保持两曲线间夹角具有保持两曲线间夹角映射映射)(zfw 之之间间与与的的任任意意两两条条曲曲线线相相交交于于点点210 C

7、Cz现在学习的是第12页，共23页 02.()fz 的的几几何何意意义义000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因因为为,0 irezz 令令 Cyx0)(wyx0)(zs R)(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.,lim000zzwwzz .0 ieww 现在学习的是第13页，共23页0000)()(zzzfzfzzww iiree s )(0zf所以所以.lim0szz )(0lim izzerss的的伸伸缩缩率率在在称称为为曲曲线线 0zC结论:的的后通过点后通过点是经过映射是经过映射 )()(00zzfwzf 的形状及的形状及它与曲线它与曲线的伸缩率的伸缩率在在

8、的任何曲线的任何曲线CzC ,0方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.,)(iers现在学习的是第14页，共23页综上所述,有具具有有两两个个性性在在那那末末映映射射且且0)(,0)(zzfwzf 质:(1)保角性;(2)伸缩率不变性.定理一 ,)(0内内一一点点为为内内解解析析在在区区域域设设函函数数DzDzfw 现在学习的是第15页，共23页三、共形映射的概念三、共形映射的概念 定义是共形映射是共形映射在在是共形的，或称是共形的，或称在在变性，那末变性，那末具有保角性和伸缩率不具有保角性和伸缩率不在在的邻域内是解析的的邻域内是解析的在在设设0000)()(,)(zzfwzzfwzzz

9、fw 说明:也称为第一类共形映射.,)(具有伸缩率不变性具有伸缩率不变性如果映射如果映射zfw 但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,则称之为第二类共形映射.现在学习的是第16页，共23页问题:关于实轴对称的映射zw 是第一类共形映射吗?答案:将 z 平面与 w 平面重合观察，y(v)x(u)01 2.z1C2C.z 夹角的绝对值相同而方向相反.否.)()(wz 现在学习的是第17页，共23页部部分分缩缩小小？哪哪一一平平面面的的哪哪一一部部分分放放大大？转转动动角角，并并说说明明它它将将处处的的在在试试求求映映射射zizzzzfw212)(2 例例解,22)(zzf因因izzf21)(arg

10、转动角转动角,2,21处处故在故在iz izz21)22arg()4arg(i 现在学习的是第18页，共23页)(zf 伸伸缩缩率率,1)(zf当当,)1(222yx )(iyxz ,21,1的的圆圆内内缩缩小小半半径径为为为为中中心心故故在在以以 z,41)1(22时时即即 yx反之放大.21,1的的圆圆外外放放大大半半径径为为为为中中心心以以 z,缩缩小小现在学习的是第19页，共23页四、小结与思考四、小结与思考 熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形映射的概念及其重要性质.现在学习的是第20页，共23页.21202处的旋转角处的旋转角在点在点求映射求映射izzzw 思考题现在学习的是第21页，共23页思考题答案.2,4arg)21(arg iif现在学习的是第22页，共23页Thank You!再见！现在学习的是第23页，共23页