函数周期性与对称性讲义- 高三数学二轮复习.docx

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1、周期性与对称性1. 函数周期性定义：若对任意，存在非零实数满足，则函数为周期为的周期函数；最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期。例题1、设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时，则当时， 。例题2、设的定义为域R且，当时，；当时，则 。变式2.1 已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，则 。变式2.2 设是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则 。总结：常见周期函数模型（1） 对任意，若，则；（2） 对任意，若，则；（3） 若满足，则。例题3、函数对于任意实数满足，若，则 。例题4、函数的定义域为R，且对任意都有，若，则 。

2、变式4.1 函数对于任意都有的图像关于点(1,0)对称且，则 。变式4.2 定义在R上的奇函数满足，当时，设，则（）A. B. C. D. 例题5 定义在R上的函数，则 。变式5.1 当时，；当时，；当时，则 。变式5.2 若函数对任意的都有，且，则 。2. 函数的对称性总结：的图像关于直线轴对称；的图像关于点中心对称例题6 已知在上递减，且为偶函数，则（）A. B. C. D. 例题7 函数的对称中心为 。例题8 设，则 。例题9 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m变式9.1 已知函数的图像关于轴对称，若函数满足，则函数的对称中心为 。变式9.2 已知函数是奇函数，且函数的图像交点为，则 。总结：如果关于和对称，则；如果关于和对称，则；如果关于和对称，则。例题10 已知函数是定义在R上的奇函数，满足，若，则 。变式10.1 已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，若，则 。变式10.2 已知函数是定义在R上的偶函数，且为奇函数，当时，则 。