2023届高三数学圆锥曲线高考大题的类型与解法.pdf

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1、2023届高三数学2023届高三数学圆锥曲线高考大题的类型与解法 圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的 12 分大题。从题型上看是 20（或 21）题的 12 分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到 4 到 10 分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；已

2、知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题：1、设抛物线 C：2y=2px（p0）的焦点为 F，点 D（p，0），过点 F 的直线交 C 于 M，N 两点，当直线 MD垂直于 X 轴时，|MF|=3。（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 MD，ND 与 C 的另一

3、个交点分别为 A，B，记直线 AB，MN 的倾斜角分别为，当-取得最大值时，求直线 AB 的方程（2022 全国高考甲卷）2、已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的四个顶点围成的四边形的面积为 25，右焦点2F到直线 x-y+2=0的距离为 22（2021 成都市高三三诊）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）（理）过点 M（-3，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，过点2F作直线 l 的垂线，垂足为 N（点A，B 在点 M，N 之间），若A2FM 与B2FN 面积相等，求直线 l 的方程。（文）过点 M（-3，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，过点2F作直线

4、 l 的垂线，垂足为 N（点 A，B 在点 M，N 之间），若|MA|=|BN|，求直线 l 的方程。3、在平面直角坐标系 XOY 中，已知点1F(-17，0)，2F(17，0)，点 M 满足|M1F|-|M2F|=2,记 M 的轨迹为 C。（1）求 C 的方程；（2）设点 T 在直线 x=12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和（2021 全国高考新高考 I 卷）。4、抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 X 轴上，直线 l：x=1 交 C 于 P，Q 两点，且 OPOQ

5、，已知点M（2，0），M 与 l 相切。（1）求 C，M 的方程；（2）设1A，2A，3A是 C 上的三个点，直线1A2A，1A3A均与M 相切，判断2A3A与M 的位置关系，并说明理由（2021 全国高考甲卷）。5、（理）已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的右顶点为 A，上顶点为 B（0,1），右焦点为 F，连接 BF并延长与椭圆 C 相交于点 C，且|CF|=17|BF|。（1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，直线 AM，AN 分别与直线 x=3 相交于点 P，点 Q，若APQ 的面积是AMN 的面积的 2 倍。求直线

6、 l 的方程。（文）已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的离心率为32，且经过点（2，22）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，使得 M，N 与 Y 轴上的一点 P连线后组成以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）6、（理）已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 X 轴和 Y 轴上运动，动点 P 满足BP=3PA，记动点 P 的轨迹为曲线 C。（1）求曲线 C 的方程；（2）设不经过点 H（0，1）的直线 y=2x+t，与曲线 C

7、相交于两点 M，N，若直线 HM 与 HN 的斜率之和为1，求实数 t 的值。（文）已知点 A（m，0）和 B（0，n），且2m+2n=16，动点 P 满足BP=3PA，记动点 P 的轨迹为曲线 C。（1）求曲线 C 的方程；（2）设不经过点 H（0，1）的直线 y=2x+t，与曲线 C 相交于两点 M，N，若直线 HM 与 HN 的斜率之和为1，求实数 t 的值（2019 成都市高三一诊）7、已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的短轴长为 42，离心率为13。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）（理）设椭圆 C 的左右焦点分别为1F，2F，左右顶点分别为 A，B，点 M，N 为椭圆

8、C 设位于 X 轴上方的两点，且1FM/2FN，记直线 AM，BN 的斜率分别为1k，2k，若 31k+22k=0，求直线1FM/的方程。（文）设椭圆 C 的左右焦点分别为1F，2F，左右顶点分别为 A，B，点 M，N 为椭圆 C 设位于 X 轴上方的两点，且1FM/2FN，直线1FM 的斜率为 26，记直线 AM，BN 的斜率分别为1k，2k，求 31k+22k的值（2019 成都市高三二诊）思考问题 1（1）【典例 1】中问题的特点是：条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；（2）解答这类问题的基本思路是：设出两点的坐标和直线的斜率

9、k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数 k（或 m）的式子；结合问题条件得到关于参数 k（或 m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；求解方程（或不等式）求出参数 k（或 m）的值；得出问题的结果。【典例 2】解答下列问题：1、已知椭圆 E：22xa+22yb=1（ab0）的右焦点为2F，

10、上顶点为 H，O 为坐标原点，OH2F=.30，点（1，32）在椭圆,E 上。（1）求椭圆 E 的方程；（2）设经过点2F且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，点 P（-2，0），Q（2，0），若 M，N分别为直线 AP，BQ 与 Y 轴的交点，MPQ，NPQ 的面积分别为MPQS，NPQS求MPQNPQSS的值（成都市 2020级高三零诊）2、已知点 A（2，1）在双曲线 C：22xa-221ya=1（a1）上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为 0。（1）求直线 l 的斜率；（2）若 tanPAQ=22，求PAQ 的面积（2022 全

11、国高考新高考 I 卷）3、（理）已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）的左，右焦点分别为1F，2F，点 P 在椭圆 C 上，|P1F|=3，1FP2F=3，且椭圆 C 的离心率为12。（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 l：y=kx+m（m0）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值。（文）已知椭圆C：22xa+22yb=1（ab0）的左，右焦点分别为1F，2F，点P 在椭圆C上，|P1F|=2，1FP2F=3，且椭圆 C 的离心率为12（成都市 2019 级高三零诊）（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 M（3，0）直线 l 与椭圆 C 相交于

12、A，B 两点，求AB2F面积的最大值。4、（理）已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）经过点（3，12），其右顶点为 A（2，0）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P，Q 在椭圆 C 上，且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为120，求APQ 面积的最大值。（文）已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）经过点（3，12），其右顶点为 A（2，0）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P，Q 在椭圆 C 上，且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为120，证明直线 PQ 经过定点，并求APQ面积的最大值（成都市 2019 级高三二诊）5、（理）已知抛物线 C：2x=2py

13、（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：2x+2(4)y=1 上点的距离的最小值为4（2021 全国高考乙卷）。（1）求 P；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求PAB 面积的最大值。（文）已知抛物线 C：2y=2px（p0）的焦点为 F 到准线的距离为 2。（1）求 C 的方程；（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足PQ=9QF，求直线 OQ 斜率的最大值。6、已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）经过点 A（1，32），其长半轴长为 2。（1）求椭圆 C 的方程；（2）（理）设经过点 B（-1，0）的直线 l 与椭圆

14、C 相交于 D，E 两点，点 E 关于 X 轴的对称点为 F，直线DF 与 X 轴相交于点 G，求DEG 的面积 S 的取值范围。（文）设经过点 B（-1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 D，E 两点，点 E 关于 X 轴的对称点为 F，直线 DF 与 X 轴相交于点 G，记BEG 与BDG 的面积分别为1S，2S，求|1S-2S|的最大值（2021 成都市高三二诊）。7、已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）的左，右焦点分别为1F（-3，0），2F（3，0），且经过点 A（3，12）（2020 成都市高三零诊）。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）（理）过点 B（4，0）作一条斜

15、率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相较于 P，Q 两点，记点 P 关于 X 轴对称的点为P，若直线PQ 与 X 轴相较于点 D，求DPQ 面积的最大值。（文）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相较于 P，Q 两点，记点 P 关于 X 轴对称的点为P，证明直线PQ 经过 X 轴上一定点 D，并求出定点 D 的坐标。（1 题图）（2 题图）（3 题图）8、已知椭圆 C：225x+22ym=1（0mb0）过点 M（2，3），点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为12（2020 全国高考新高考 II）。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）N 为椭圆上任意一点，求AMN 面

16、积的最大值。思考问题 2（1）【典例 2】中问题的特点是：条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，所求问题是多边形面积的值（或取值范围或最值）；（2）解答这类问题的基本思路是：设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数 k（或 m）的式子；运用多边形面积的相关知识把多边形的面积

17、表示成关于参数的函数；求出关于参数的函数值（或值域或最值）；得出问题的结果。【典例 3】解答下列问题：1、设双曲线 C：22xa-22yb=1（a0，b0）的右焦点为 F（2，0），渐近线方程为 y=3x。（1）求双曲线 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点，点 P（1x，1y），Q（2x，2y），在 C 上，且1x2x0，1y0，过点 P 且斜率为-3的直线与过点 Q 且斜率为3的直线相交于点 M，请从下面中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。M 在 AB 上；PQ/AB，|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022

18、 全国高考新高考 II 卷）2、已知抛物线 C：2y=2px（p0，p4），过点 A（2，0）且斜率为 k 的直线与抛物线 C 相交于 P，Q 两点。（1）设点 B 在 x 轴上，分别记直线 PB，QB 的斜率为1k，2k，若1k+2k=0，求点 B 的坐标；（2）过抛物线 C 的焦点 F 作直线 PQ 的平行线与抛物线 C 相交于 M，N 两点，求|.|MNAPAQ的值（成都市 2019 级高三一诊）3、（理）已知椭圆 E：2222xyab=1（ab0）的左，右焦点分别为1F（-1，0），2F（1，0），点 P 在椭圆E 上，P2F1F2F，且|P1F|=3|P2F|。（1）求椭圆 E 的标

19、准方程；（2）设直线 l：x=my+1(mR)与椭圆 E 相较于 A，B 两点，与圆2x+2y=2a相较于 C，D 两点，求|AB|.|CD|2的取值范围。（文）已知椭圆 E：2222xyab=1（ab0）的左，右焦点分别为1F（-1，0），2F（1，0），点 P（1，22）在椭圆 E 上。（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）设直线 l：x=my+1(mR)与椭圆 E 相较于 A，B 两点，与圆2x+2y=2a相较于 C，D 两点，当|AB|.|CD|2的值为 82时，求直线 l 的方程（2020 成都市高三二诊）。（1 题图）（2 题图）（3 题图）4、已知椭圆 C：2222xyab=1（a

20、b0）的左焦点为1F（-3，0），点 Q（1，32）在椭圆 C 上（2020成都市高三三诊）。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）经过圆 O：2x+2y=5 上一动点 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分别记为 A，B，直线 PA，PB 分别与圆O 相较于异于点 P 的 M，N 两点。（理）求证：OM+ON=0；求OAB 的面积的取值范围。（文）当直线 PA，PB 的斜率都存在时，记直线 PA，PB 斜率分别为1k，2k，求证：1k.2k=-1；求|ABMN的取值范围。5、已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的离心率为22，且过点 A（2，1）。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）点 M

21、，N 在 C 上，且 AM AN，AD MN，D 为垂足，证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考 I）。思考问题 3（1）【典例 3】中问题的特点是：条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；（2）解答这类问题的基本方法是：设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于 x（或 y）的一元二次方程；运用韦达定理得到两根的和与积

22、关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数 k（或 m）的式子；运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；得出问题的结果。【典例 4】解答下列问题：1、在同一平面直角坐标系 XOY 中，圆2x+2y=4 经过伸缩变换：x=x，后得到曲线 y=12y，C。（1）求曲线 C 的方程；（2）（理）设直线 l 与曲线 C 相较于 A，B 两点，连接 BO 并延长与曲线 C 相较于点 D，且|AD|=2，求ABD 面积的最大值；（文）设曲线 C 与 X 轴和 Y 轴的正半轴分别相交于 A，B

23、 两点，P 是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N，求ABM与BMN的面积之和（2021 成都市高三零诊）。2、已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的离心率为22，且直线xa+yb=1 与圆2x+2y=2 相切。（1）求椭圆 C 的方程；（2）（理）设直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，M 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，射线 OM 与椭圆 C 相交于点 P，且 O 点在以 AB 为直径的圆上，记AOM，BOP 的面积分别为1S，2S，求12SS的取值范围。（文）设直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，M 为线段

24、AB 的中点，O 为坐标原点，射线 OM 与椭圆 C 相交于点 P，且|OP|=15|OM|，求ABO 的面积（2021 成都市高三一诊）3、已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的左，右焦点分别为1F（-3，0），2F（3，0），且经过点 A（3，12）（2020 成都市高三零诊）。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）（理）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相较于 P，Q 两点，及点 P 关于 X 轴对称的点为1P，若直线PQ 与 X 轴相较于点 D，求DPQ 面积的最大值。（文）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相较于 P，Q

25、两点，记点 P 关于 X 轴对称的点为P，证明直线PQ 经过 X 轴上一定点 D，并求出定点 D 的坐标。（1 题图）（2 题图）（3 题理科图）（3 题文科图）4、已知椭圆1C：2222xyab=1（ab0）的右焦点 F 与抛物线2C的焦点重合，1C的中心与2C的顶点重合，过 F 且与 X 轴垂直的直线交1C于 A，B 两点，交2C于 C，D 两点，且|CD|=43|AB|（2020 全国高考新课标 II）。（1）求1C的离心率；（2）（理）设 M 是1C与2C的公共点，若|MF|=5，求1C与2C的标准方程。（文）若1C的四个顶点到2C的准线距离之和为 12，求1C与2C的标准方程。5、（

26、理）已知抛物线 C：2y=2px 过点 P（1，1），过点（0，12）的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 X 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点。（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点。（文）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A（-2，0），B（2，0），焦点在 X 轴上，离心率为32。（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 D 为 X 轴上一点，过 D 作 X 轴的垂线交椭圆 C 于不同两点 M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点E，求证：BDE 与BDN 的面积之比为 4：5（2

27、017 全国高考北京卷）思考问题 4（1）【典例 4】中问题的特点是：条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；（2）解答这类问题的基本方法是：设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数 k（或 m）的式子；运用相关知识结合问题

28、的条件把点的坐标表示成关于参数 k（或m）的式子；求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；得出问题的结果。【典例 5】解答下列问题：1、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 X 轴，Y 轴，且过点 A（0，-2），B（32，-1）两点。（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点 P（1，-2）的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 X 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H满足MT=TH，证明直线 HN 过定点（2022 全国高考乙卷）2、已知椭圆 C：22ya+22xb=1（ab0）的离心率为12，且经过点（6，2），椭圆 C 的右顶点到抛物线 E：2y=2px（

29、p0）的准线的距离为 4。（1）求椭圆 C 和抛物线 E 的方程；（2）设与两坐标轴都不垂直的直线 l 与抛物线 E 相交于 A，B 两点，与椭圆 C 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若OA.OB=-4，则在 x 轴上是否存在点 H，使得 x 轴平分MHN，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由（成都市 2019 级高三三珍）3、已知椭圆 C 的方程为22xa+22yb=1（ab0），右焦点为 F（2，0），且离心率为63。（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线2x+2y=2b相切，证明 M，N，F 三点共线的充分必要条件是|MN|

30、=3，（2021 全国高考新高考 II 卷）。4、（理）已知椭圆 C：22x+2y=1 的右焦点为 F，过点 F 的直线（不与 X 轴重合）与椭圆 C 相交于 A，B两点，直线 l：x=2 与 X 轴相较于点 H，过点 A 作 ADl，垂足为 D。（1）求四边形 OAHB（O 为坐标原点）面积的取值范围；（2）证明：直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标。（文）已知椭圆 C：22x+2y=1 的右焦点为 F，过点 F 的直线（不与 X 轴重合）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l：x=2 与 X 轴相较于点 H，E 为线段 FH 的中点，直线 BE 与直线 l 的交点为 D。（1）

31、求四边形 OAHB（O 为坐标原点）面积的取值范围；（2）证明：直线 AD 与 X 轴平行（2020 成都市高三一诊）。5、已知 A，B 分别为椭圆 E：22xa+2y=1（a1）的左，右顶点，G 为 E 上顶点，AG.GB=8，P 为直线 x=6上的动点，PA 与 E 的另一个交点为 C，PB 与 E 的另一个交点为 D。（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点（2020 全国高考新课标 I）。6、（理）已知抛物线 C：2x=2py 经过点（2，-1）。（1）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两

32、点 M，N，直线 y=-1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B，求证：以 AB 为直径的圆经过 Y 轴上的两个定点。（文）已知椭圆 C：22xa+22yb=1（ab0）的右焦点为（1，0），且经过点 A（0，1）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 O 为原点，直线 l：y=kx+t（t1）与椭圆 C 相较于不同两点 P，Q，直线 AP 与 x 轴相较于点 M，直线 AQ 与 x 轴相较于点 N，若|OM|.|ON|=2，求证：直线 l 经过定点（2019 全国高考北京）思考问题 5（1）【典例 5】中问题的特点是：条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，所求问题是直线过定点（或

33、点在定直线上）；（2）解答这类问题的基本方法是：设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数 k（或 m）的式子；运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数 k（或 m）的式子；确定直线存在与参数 k（或 m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验

34、证）；得出问题的结果。圆锥曲线高考大题的类型与解法 圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的 12 分大题。从题型上看是 20（或 21）题的 12 分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到 4 到 10 分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；已知过定点的直线

35、与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题：1、设抛物线 C：2y=2px（p0）的焦点为 F，点 D（p，0），过点 F 的直线交 C 于 M，N 两点，当直线 MD垂直于 X 轴时，|MF|=3。（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为

36、A，B，记直线 AB，MN 的倾斜角分别为，当-取得最大值时，求直线 AB 的方程（2022 全国高考甲卷）【解析】【考点】抛物线定义与性质；求抛物线方程的基本方法；已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；求直线方程的基本方法；正切三角函数差角公式及运用。【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用求抛物线方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线 C 的方程；（2）如图，设 M（214y，1y），N（224y，2y），根据已知直线两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别表示出MNk，ABk1A2A，1A3A均与M 相切，得到关于1y，2y，3y的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本

37、方法就可判断2A3A与M 的位置关系。【详细解答】（1）如图，当直线 MD 垂直于 X 轴时，点 M 为（p，2p），在 RtMDF 中，|FD|=12p，|DM|=2p，|FM|=3，|FD|2+|DM|2=|FM|2，142p+22p=9，p=2，抛物线 C 的方程为：2y=4x；（2）如图，设 M（214y，1y），N（224y，2y），B F（1，0），D（2，0），直线 MN 过点 F，直 y M 线 MN 的方程为：x=my+1，联立直线 MN 和抛物 线 C 的方程得：2y-4my-4=0，1y+2y=4m，0 N F D 1y.2y=-4，MNk=tan=1212124()()

38、()yyyyyy A=124yy=1m，点 A，D，M 在直线 AM 上，ADk=DMk，1114(2 2)(2 2)yyy=4(2 2)(2 2)AAAyyy，Ay=-18y，同理由点 B，D，N 在直线 BN 上可得By=-28y，ABk=tan=4AByy=-12124.8()y yyy=-48m=12m，tan(-)=tantan1tan.tan=221mm=112mm，当且仅当 2m=1m，即 m=-22时，tan(-)=24为最大值，此时-取得最大值，ABk=12m=-22，Ay+By=12128().yyy y=8m=-42，Ay.By=1264.y y=-16，直线 AB 的方

39、程为：y-Ay=-22（x-24Ay），即 x+2y-4=0。2、已知椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的四个顶点围成的四边形的面积为 25，右焦点2F到直线 x-y+2=0的距离为 22（2021 成都市高三三诊）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）（理）过点 M（-3，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，过点2F作直线 l 的垂线，垂足为 N（点A，B 在点 M，N 之间），若A2FM 与B2FN 面积相等，求直线 l 的方程。（文）过点 M（-3，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，过点2F作直线 l 的垂线，垂足为 N（点 A，B 在点 M，N 之间），

40、若|MA|=|BN|，求直线 l 的方程。【解析】【考点】椭圆的定义与性质；求椭圆方程的基本方法；设而不求，整体代入数学思想及运用；两点之间的距离公式及运用；点到直线的距离公式及运用；求直线方程的基本方法。【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于 a，b，c 的方程组，求解方程组求出 a，b 的值就可求出椭圆 C 的方程；（2）（理）设 A（1x，1y），B（2x，2y），根据求直线方程的基本方法求出直线2FN 的方程，从而得到点 N 的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数 m 的表示式，利用点到直线的距离公式和三

41、角形面积公式得到关于 m的方程，求解方程求出 m 的值就可求出直线 l 的方程。（文）设 A（1x，1y），B（2x，2y），根据求直线方程的基本方法求出直线2FN 的方程，从而得到点 N 的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数 m 的表示式，从而得到关于 m 的方程，求解方程求出 m 的值就可求出直线 l 的方程。【详细解答】（1）椭圆 C：2222xyab=1（ab0）的四个顶点围成的四边形的面积为 25，右焦点2F到直线 x-y+2=0 的距离为 22，2ab=25，2Fd=|02|1 1c=|2|2c=22，2a=2b+2c，联立解

42、得：2a=5，2b=1，椭圆 C 的方程为25x+2y=1；（2）（理）设 A（1x，1y），B（2x，2y），直线 l 过点 M（-3，0），直线 l 的方程为 x=my-3，联立直线 l 和椭圆 C 的方程得：（2m+5）2y-6my+4=0，1y+2y=265mm，1y.2y=245m，直线2FN 的方程为 y=-mx+2m，N（22231mm，251mm），|MN|=2222255()()11mmmm=225|11mmm，2Fd=2|203|1m=251m，2BF NS=2MF NS-2BF MS=2AF MS,12|MN|.2Fd-12|M2F|.|1y|=12|M2F|.|2y|，

43、225|11mmm.251m=（2+3）|1y+2y|=230|5mm，5（2m+5）=6（2m+1），m=19，直线 l 的方程为 x=19y-3 或 x=-19y-3。（文）设 A（1x，1y），B（2x，2y），直线 l 过点 M（-3，0），直线 l 的方程为 x=my-3，联立直线 l 和椭圆 C 的方程得：（2m+5）2y-6my+4=0，1y+2y=265mm，1y.2y=245m，直线2FN 的方程为 y=-mx+2m，N（22231mm，251mm），|MA|=|BN|，|1y-0|=|251mm -2y|，点 A，B 在点 M，N 之间，1y+2y=251mm，265mm=

44、251mm，m=19，即直线 l 的方程为 x=19y-3 或 x=-19y-3。3、在平面直角坐标系 XOY 中，已知点1F(-17，0)，2F(17，0)，点 M 满足|M1F|-|M2F|=2,记 M 的轨迹为 C。（1）求 C 的方程；（2）设点 T 在直线 x=12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和（2021 全国高考新高考 I 卷）。【解析】【考点】双曲线的定义与性质；求双曲线方程的基本方法；设而不求，整体代入数学思想及运用；求圆方程的基本方法；已知直线上两点的坐

45、标，求直线方程的基本方法；判断直线与圆位置关系的基本方法。【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出 C 的方程；（2）如图，设 A（1x，1y），B（2x，2y），T（12，m），直线 AB 的斜率为1k，直线 PQ 的斜率为2k，根据直线点斜式方程求出直线 AB 的方程，联立直线 AB 和双曲线 C 的方程消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于1k，m 的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于2k，m 的表示式，联立两个表示式得到关于1k，2k的等式，求出1k，2k之间的关系就可求出直线 A

46、B 的斜率与直线PQ 的斜率之和。【详细解答】（1）点1F(-17，0)，2F(17，0)，点 M 满足|M1F|-|M2F|=2,a=1，c=17，2b=2c-2a=17-1=16，C 的方程为2x-216y=1（x1）；（2）如图，设 A（1x，1y），B（2x，2y），T（12，m），直线 AB 的斜率为1k，直线 PQ 的斜率为2k，直线 AB 过点 T（12，m），斜率为1k，直线 AB 的方程为 y=1kx-121k+m，联立直线 AB 和双曲线 C 的方程消去 y 得：（16-21k）2x+（21k-21km）x-1421k+1km-2m-16=0，1x+2x=21121216k

47、 mkk，1x.2x=22112144644(16)k mkmk，|TA|.|TB|=（1+21k）（1x-12）（2x-12）=（1+21k）22112144644(16)k mkmk-21121424(16)k mkk+2121164(16)kk=-（1+21k）2211216mk=（1+21k）2211216mk，同理可得|TP|.|TQ|=（1+22k）2221216mk，|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+21k）2211216mk=（1+22k）2221216mk，（1+21k）（2216k）=（1+22k）（2116k），21k=22k，1k2k，1k=-2k，1k+2

48、k=0，直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0。4、抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 X 轴上，直线 l：x=1 交 C 于 P，Q 两点，且 OPOQ，已知点M（2，0），M 与 l 相切。（1）求 C，M 的方程；（2）设1A，2A，3A是 C 上的三个点，直线1A2A，1A3A均与M 相切，判断2A3A与M 的位置关系，并说明理由（2021 全国高考甲卷）。【解析】【考点】抛物线的定义与性质；圆的定义与性质；求抛物线方程的基本方法；求圆方程的基本方法；已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；判断直线与圆位置关系的基本方法。【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛

49、物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设1A（21y，1y），2A（22y，2y），3A（23y，3y），根据直线1A2A，1A3A均与M 相切，得到关于1y，2y，3y的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断2A3A与M的位置关系。【详细解答】（1）设抛物线的方程为2y=2px（p0），直线 l：x=1 交 C 于 P，Q 两点，P（1，2p），Q（1，-2p），OP=（1，2p），OQ=（1，-2p），OPOQ，OP.OQ=1-2P=0，p=12，抛物线 C 的方程为：2y=x，点 M（2，0），M 与 l 相切，M 的方程为：2(2)x+2y

50、=1；如图，设1A（21y，1y），2A（22y，2y），3A（23y，3y），直线1A2A，1A3A的方程 y 2A 分别为：121yyx-y+1212y yyy=0，131yyx-y 0 1A+1313y yyy=0，直线1A2A，1A3A均与M 相 3A 切，12212|2|()1y yyy=1，13213|2|()1y yyy，2y，3y是方程（21y-1）2x+21yx-21y+3=0 的两根，直线2A3A的方程为：x-(2y+3y)y+2y3y=0，点 M 到直线2A3A的距离Md=23223|2|()1y yyy=2211242111|223|421yyyyy=214211|1|