高中数学解题方法技巧汇总.docx

《高中数学解题方法技巧汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解题方法技巧汇总.docx（96页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、目录 前言 2 第一章 高中数学解题基本方法 3 一、 配方法 3 二、 换元法 7 三、 待定系数法 14 四、 定义法 19 五、 数学归纳法 23 六、 参数法 28 七、 反证法 32 八、 消去法 九、 分析与综合法 十、 特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 十二、 观察与实验法 第二章 高中数学常用的数学思想 35 一、 数形结合思想 35 二、 分类讨论思想 41 三、 函数与方程思想 47 四、 转化（化归）思想 54 第三章 高考热点问题和解题策略 59 一、 应用问题 59 二、 探索性问题 65 三、 选择题解答策略 71 四、 填空题解答策略 77 附录 一、 高考数学

2、试卷分析 二、 两套高考模拟试卷 三、 参考答案 2 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解 题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有 对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考 试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过 程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题 解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去

3、法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数 学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将 来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维 的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一 阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思

4、想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式 化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂， 它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质 的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能 力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中 常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消 去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法， 再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、

5、数形结合思想、分类讨论思想、 转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在 附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形 式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行 详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果， 起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个 部分重要章节的数学知识。 2 3 第一章 高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配 方找到已知和未知的联系，从而化繁

6、为简。何时配方，需要我们适当预测，并且 合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也 将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已 知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解， 或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)2a22abb2， 将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2b2(ab)22ab(ab)22ab； a2abb2(ab)2ab(ab)23ab(ab)2（ 3b）2； 22 1 a2b2c2abbcca2(ab)

7、2(bc)2(ca)2 a2b2 c2(abc)2 2(abbcca)(abc)2 2(abbcca) 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1sin212sincos（sincos）2； 2 (x ) x2 111 22(x )22 ； 等等。 xxx 、再现性题组： 1. 在正项等比数列an 中，a1 sa5 +2a3 sa5 +a3 a7 =25，则a 3 a5 _。 2. 方程x2 y2 4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. 111 4 k1 B. k1 C. kR D. k4 或k1 3. 已知sin4 cos4 1，则sincos的值为_。 A. 1 B.

8、 1 C. 1或1 D. 0 4. 函数ylog1 ( 2x2 5x3)的单调递增区间是_。 2 A. （, 55155 4 B. 4 ,+) C. (2 ,4 D. 4 ,3) 5. 已知方程x2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1 、x2，则点P(x1 ,x2)在圆x2 +y2 =4 上，则实数a_。 【简解】1 小题：利用等比数列性质am- p am+ p am 2，将已知等式左边后配方 （a3 a5 ）2易求。答案是：5。 3 4 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa)2(yb)2r2，解r20即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin2cos2)22sin2cos21，求出si

9、n cos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。 选D。 5小题：答案3 11。 、示范性题组： 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体 的一条对角线长为_。 A. 23B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则 4(x + y + z) = 24+ y2 + z2 ，将其配凑成两已知式的组合 2(xy + yz + xz) = 11, 而欲求对角线长 x2 形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的

10、全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为24”而得：2(xy + yz + xz) = 11。 4(x + y + z) = 24 长方体所求对角线长为： x2 + y2 + z2 (x+ y+ z)2 - 2(xy+ yz+ xz) 62 -115 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观 察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已 知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 pq 例2. 设方程x2 kx2=0的两实根为p、q，若( )2 +( )2 7成立，求实 qp 数k的取值范围。 【解】方程x2 k

11、x2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq 2 , p 2q 2p4 + q4(p2 + q2)2 - 2p2q2(p+ q)2 - 2pq2 - 2p2q2 () +() qp(pq)2(pq)2(pq)2 (k2 - 4)2 - 87， 解得k 10 或k 10 。 4 又 p、q为方程x2 kx2=0的两实根， k2 80即k2 2或 k2 2 综合起来，k的取值范围是： 10 k2 2 或者 2 2k 10 。 4 5 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知 方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察 已知不等式，从其

12、结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。 假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“” 的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 ab 例3. 设非零复数a、b满足a2 abb2=0，求(a+ b)1998 (a+ b)1998。 【分析】 对已知式可以联想：变形为(a)2 (a)10，则a （为 bbb 1的立方虚根）；或配方为(ab)2ab 。则代入所求式即得。 【解】由a2abb2=0变形得：(a)2 (a)10 ， bb 设a，则210，可知为1的立方虚根，所以：1 b，3 bwa w 31。 又由a2abb2=0变

13、形得：(ab)2ab ， a1998b1998a2999b2999ab 所以()()()()( )999( )999 a+ ba+ bababba 999w 9992 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用的 性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们 善于联想和展开。 【另解】由a2abb20变形得：(a)2 (a)10 ，解出b-13i bba2 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a)999(b)999后，完成后面的运 ba 算。此方法用于只是未-13i 联想到时进行解题。 2 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可

14、由 a2abb20 解出：a -13i b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用 2 棣莫佛定理完成最后的计算。 、巩固性题组： 1. 函数y(xa)2(xb)2（a、b为常数）的最小值为_。 C. a2 + b2 2 D.最小值不存在 2. 、是方程x22axa60的两实根，则(-1)2+( -1)2的最小值 是_。 A. 8 B. (a- b)2 2 5 6 A. 449 B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知x、yR+ ，且满足x3y10，则函数t2x 8y 有_。 A.最大值2 2B.最大值 2 2 C.最小值2 2 B.最小值 2 2 4. 椭圆 x22

15、ax3y2a260 的一个焦点在直线 xy40 上，则 a _。 A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或6 5. 化简：2 1- sin8 2+ 2cos8的结果是_。 A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos4 2sin4 2 6. 设F1和F2为双曲线x y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2 4 90，则F1PF2的面积是_。 7. 若x1，则f(x)x22x 1 的最小值为_。 x+1 8. 已知p 3，cos(-)12，sin(+)3，求 24135 sin2的 值。(92年高考题) 9. 设二次函数f(x)Ax2BxC，给定m、

16、n（m0； 是否存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlogs tlogt s，ylogs 4tlogt 4sm(logs 2t logt 2s), 将y表示为x的函数yf(x)，并求出f(x)的定义域； 若关于x的方程f(x)0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 二、换元法 6 7 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得 到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等 量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使 非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元

17、素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件 联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的 形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式， 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元， 是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问 题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为 设2xt（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者

18、变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式 中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y x 1- x 的值域时，易发 p 现x0,1，设xsin2 ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。 2 为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如 变量x、y适合条件x2y2r2（r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin 化为三角问题。 均值换元，如遇到xyS形式时，设xS t，yS t等等。 22 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重 新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也 p 不能扩大。如上几例中的t

19、0和0, 。 2 、再现性题组： 1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。 2.设f(x21)loga (4x4) （a1），则f(x)的值域是_。 3.已知数列an 中，a1 1，an+1an an+1an ，则数列通项 an _。 4.设实数x、y满足x22xy10，则xy的取值范围是_。 5.方程1+ 3-x 3的解是_。 1+ 3x 6.不等式log2(2x 1) log2(2x+12)2的解集是_。 7 8 t21 【简解】1小题：设sinx+cosxt 2, 2，则yt ，对称轴 22 t1，当t 2，y1 max 2； 2 2 小题：设 x21t (t1)，则 f(

20、t)loga -(t-1)24，所以值域为( ,loga 4； an ，则b11,bn 1(n 3小题：已知变形为 1 1 1,设b1 n+1anan 1)(-1)n，所以a1 n ； n 4小题：设xyk，则x22kx10, 4k240,所以k1或k1； 5小题：设3xy，则3y22y10,解得y1，所以x1； 3 6 小题：设 log2 (2x 1)y，则 y(y1)2，解得2y0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值。 【解】 设 sinxcosxt，则 t- 2, 2，由(sinx y t2 -1 2cos cosx)212sinxcosx得：sin

21、xcosx, , 2 22 11 f(x)g(t) 2 (t2a)2 2 （a0），t x - 2, 2 1 t- 2时，取最小值：2a22 2a2 1 当2a 2时，t 2，取最大值：2a22 2a2； 1 当02a 2时，t2a，取最大值：2。 1 f(x) 的 最 小 值 为 2a 2 22 a 2 ， 最 大 值 为 12 (0 a0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理） 4(a+1)2a(a+1)2 【分析】不等式中log2a、log 2 a+1、log24a2三项有何联系？进 行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 2a4(a+1)8(a+1)a+1 【解】 设 log2

22、a+1t，则 log2alog22a3log22a 3 log2a(a+1)2a+1 2 a+13t，log24a22log22a 2t， 代入后原不等式简化为（3t）x22tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以： 3- t 0t 32a D = 4t2 + 8t(3- t) 0，解得t 6t0 即log2 a+10 0 2a 1，解得0a0 恒成立，求 k 的范 916 围。 (x-1)2(y+1)2 【分析】由已知条件1，可以发现它与 a2b21 有相似 916 之处，于是实施三角换元。 (x-1)2(y+1)2x-1y+1 【解】由1，设cos，sin， 91634 x = 1+ 3co

23、s 即：y = -1+ 4sin代入不等式xyk0得： 3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 (a0)所表示的区域为直线 axbyc0 所分平面成两部分中含 x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图 y 形问题：椭圆上的点始终位于平面上 xyk0 的 区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切 x 线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 16(x-1)2 + 9(y+1)2 = 144 有相等的一组实数解，消 x+ y- k = 0xy 元后由0 可求得 k3,所以 k0 恒成立。k 平面区 域 、巩固性题组： 1.已知 f(x3 )lgx (x0)，则 f(

24、4)的值为 _。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4 333 2.函数y(x1)42的单调增区间是_。 A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-1 3.设等差数列an 的公差d1，且S100145，则a1a3a5a99 的 2 值为_。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4.已知x24y24x，则xy的范围是_。 a+ 1 2 b+ 1 2 5.已知a0，b0，ab1，则 6.不等式 x 的范围是_。 ax3的解集是(4,b)，则a_，b_。 2 7.函数y2x x+1的值域是_。 8.在等比数列an 中，a1a2a

25、102，a11a12a30 12，求a31 a32 a60 。 9.实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin2x2mcosx4m10,y0)上移动，且AB、 A B AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最 小面积。O x 14 15 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些 未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a) g(a)；或者两个多 项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法， 就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组 来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是 否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解 因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这 些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是