数系的扩充.doc

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1、数系的构造与逐步扩充：自然数系数系的构造与逐步扩充：自然数系整数系和分数系整数系和分数系实数系实数系复数系复数系从自然数到有理数，从自然数到有理数，两个方向的需求：两个方向的需求： （1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位体积等能任意细分的量：度量单位分数单位分数单位分数。分数。 问题问题 1：为什么把：为什么把 叫做叫做“有理数有理数”？“有理有理”在哪里？在哪里？m mn n因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事规律！只要

2、我们按照如下定义行事，。bdbcaddcbabdacdcba1aababcac在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等都成立。交换律、结合律、分配律等都成立。问题问题 2：为什么不把加法定义为：为什么不把加法定义为？dbcadcba逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，没有意义。例如，从度量的角度看是不合适的。，从度量的角度看是不合适的。422121（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运

3、算逆运算”不能通行。为此，需要引进符号不能通行。为此，需要引进符号 0 以以及及1，2，3，并定义，并定义 ab 时，时，ab(ba)，以及在以及在“使算术运算的运算律保持不变使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义的原则下，定义(1)(1)1。问题问题 3：为什么不是：为什么不是(1)(1)1？与引入与引入 0 和负整数的数学需求类似，分数的引进使得和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号除法消除了障碍：定义符号，称为分数，它服从，称为分数，它服从bab=a（b0） 。ba这样，全体有理数这样，全体有理数整数和分数、正数和负数整数和分数、正数和负数的纯算术意义就清楚了

4、。在这一扩展了的数的范围内，不的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性性这个封闭的数的范围叫做这个封闭的数的范围叫做域域。上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性个重要特性使得在原来范围内成立的规律在更大的范使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。完全满足了用数来表示度量结果的实际需要

5、。问题问题 4：有理数有多少个？：有理数有多少个？从度量长度中得到启发，引进数轴的概念，可以用数从度量长度中得到启发，引进数轴的概念，可以用数轴上的点表示任意有理数。借此可以容易地证明：有理点轴上的点表示任意有理数。借此可以容易地证明：有理点在数轴上是稠密的。在数轴上是稠密的。从有理数到无理数，从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结也可以看成是两个方面需求的结果：果：（1）前面已经谈到的度量线段中发现的存在着不可公）前面已经谈到的度量线段中发现的存在着不可公度线段度线段每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。给出

6、的一个数，这样的数就是无理数。 “这是科学史上极其这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。数学和哲学。 ” （柯朗，什么是数学，（柯朗，什么是数学，72）问题问题 1：你能证明：你能证明是无理数吗？你能用几何作图的是无理数吗？你能用几何作图的2方法构造出一些无理数吗？方法构造出一些无理数吗？由此可以看到，实数是几何数（实数是大自然给的）由此可以看到，实数是几何数（实数是大自然给的） 。关于实数理论的严格化，数

7、学家们做出了长期坚持不关于实数理论的严格化，数学家们做出了长期坚持不懈的努力，直到十九世纪末，在戴德金、康托、维尔斯特懈的努力，直到十九世纪末，在戴德金、康托、维尔斯特拉斯那里才真正建立了无理数的严格理论。其中有些问题拉斯那里才真正建立了无理数的严格理论。其中有些问题可以让高中生进行研究，例如：可以让高中生进行研究，例如：极限与无穷递缩等比数列，无限循环小数与分数的互极限与无穷递缩等比数列，无限循环小数与分数的互化；化；用有理数逼近无理数；用有理数逼近无理数；构造一个无限不循环小数；等。构造一个无限不循环小数；等。问题问题 2：有理数多还是无理数多？：有理数多还是无理数多？（2）从数学内部的需

8、求看，与有理数域的扩充类似，）从数学内部的需求看，与有理数域的扩充类似，为了解像为了解像 x2=2 这样的方程，需要构造一个比有理数域更广这样的方程，需要构造一个比有理数域更广的实数域。的实数域。从实数到复数从实数到复数，主要是数学内部的需求：，主要是数学内部的需求：最早要求应用复数的是为了解二次方程。最早要求应用复数的是为了解二次方程。16 世纪，意世纪，意大利数学家卡尔丹在解三次方程时使用了复数。那时，数大利数学家卡尔丹在解三次方程时使用了复数。那时，数学家们对复数的意义充满疑惑，并一直想要搞清楚复数的学家们对复数的意义充满疑惑，并一直想要搞清楚复数的意义意义寻找几何表示，使它寻找几何表示

9、，使它“看得见看得见” 。直到十九世纪初，。直到十九世纪初，高斯给出了复数高斯给出了复数 a+bi（a，b 为实数）的几何意义，复数才为实数）的几何意义，复数才有了合法地位。有了合法地位。引进一种新的数，就要定义它的运算；定义一种运算，引进一种新的数，就要定义它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算律。对于引进的就要研究它的运算律。对于引进的“虚数单位虚数单位”i，它服从，它服从i2=1，现在有，现在有问题问题 1：根据已有的数系扩充理论，要使符号：根据已有的数系扩充理论，要使符号 i 能像对能像对实数那样进行加、乘运算，它应该有怎样的一般形式？实数那样进行加、乘运算，它应该有怎样的一般形式？

10、对于复数对于复数 a+bi（a，b 为实数）为实数） ，根据一以贯之的原则，根据一以贯之的原则，即即“使算术运算的运算律保持不变使算术运算的运算律保持不变” ，应如何定义关于它的，应如何定义关于它的运算？运算？问题问题 2：在复数域中，二次方程：在复数域中，二次方程 ax2+bx+c=0 的解的情的解的情况如何？况如何？问题问题 3：类比用数轴上的点表示实数，如何对复数作出：类比用数轴上的点表示实数，如何对复数作出几何解释（复数的几何表示）？由复数的几何表示出发，几何解释（复数的几何表示）？由复数的几何表示出发，你能发现和提出哪些问题？得出哪些有用的结论？（复数你能发现和提出哪些问题？得出哪些

11、有用的结论？（复数的模，共轭复数及其性质，复数加法的平行四边形法则，的模，共轭复数及其性质，复数加法的平行四边形法则，复数的复数的“三角形不等式三角形不等式” ，复数的三角表示，等。，复数的三角表示，等。 ）问题问题 4：借助于复数的三角表示，你能提出哪些问题？：借助于复数的三角表示，你能提出哪些问题？得出哪些结论？（向量的旋转、伸缩与复数乘法，棣莫弗得出哪些结论？（向量的旋转、伸缩与复数乘法，棣莫弗公式等）公式等）问题问题 5：借助单位圆，用棣莫弗公式研究单位根：借助单位圆，用棣莫弗公式研究单位根“在复数域中，在复数域中，1 恰有恰有 n 个不同的个不同的 n 次方根，它们可以用单次方根，它们可以用单位圆的一个内接正位圆的一个内接正 n 边形的顶点来表示，边形的顶点来表示，z=1 是其中一个。是其中一个。”问题问题 6：从复数、三角函数、向量之间的联系性出发，：从复数、三角函数、向量之间的联系性出发，你能发现和提出哪些问题？（包括欧拉公式你能发现和提出哪些问题？（包括欧拉公式）01ie