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1、热点跟踪训练11(2019天一大联考)已知函数f(x)mexx2.(1)若m1,求曲线yf(x)在(0,f(0)处的切线方程;(2)若关于x的不等式f(x)x(4mex)在0,)上恒成立,求实数m的取值范围解:(1)当m1时,f(x)exx2,则f(x)ex2x.所以f(0)1,且斜率kf(0)1.故所求切线方程为y1x,即xy10.(2)由mexx2x(4mex)得mex(x1)x24x.故问题转化为当x0时,m.令g(x),x0,则g(x).由g(x)0及x0,得x1.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(1,)时,g(x)0,g(x)单调递减所以当x1时,g(x)maxg
2、(1)2e1.所以m2e1.即实数m的取值范围为2e1,)2(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1,证明:当x0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.(1)证明:当a1时,f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1,则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;()当a0时,h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增故h(2)1是h(x)在(0,)的最小值若h(2)0,即a,h(x)在(0,)上没有零点若h(2)0,即a
3、,h(x)在(0,)上只有一个零点若h(2),因为h(0)1,所以h(x)在(0,2)有一个零点;由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)11110,故h(x)在(2,4a)有一个零点因此h(x)在(0,)上有两个零点综上,当f(x)在(0,)上只有一个零点时,a.3(2020潍坊调研)已知函数f(x)ex(ax2xa)(其中常数a0)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)ex(ax22x)1恒成立,求实数a的取值范围解:(1)函数f(x)的定义域为R,且f(x)(axa1)(x1)ex,当a0时,f(x)ex(x1),当x1时,f(x)0,当x1时,f(x)0时,f(x)
4、a(x1)ex,则方程f(x)0有两根1,且1.所以函数f(x)的单调增区间为和(1,),单调减区间为.综上可知,当a0时,函数f(x)的单调增区间为和(1,),单调减区间为;当a0时,函数f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(,1)(2)函数f(x)ex(ax22x)1恒成立转化为ax在R上恒成立令h(x)x,则h(x),易知h(x)在(0,)上为增函数,在(,0)上为减函数所以h(x)minh(0)1,则a1.又依题设知a0,故实数a的取值范围为0,14已知函数f(x)ln x,g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(2)已知x1,x2是函数F(x
5、)f(x)g(x)的两个零点,且x1x2,求证:x1x20),则F(x)1(x0),当x1时,F(x)0,当0x0,所以F(x)在(1,)上单调递减,在(0,1)上单调递增F(x)在x1处取得最大值1m,若f(x)g(x)恒成立,则1m0,即m1.(2)证明:由(1)可知,若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点,则m1,0x11x2,要证x1x21,只需证x2F,由F(x1)F(x2)0,mln x1x1,即证lnmlnx1ln x10,令h(x)x2ln x(0x0,故h(x)在(0,1)上单调递增,所以h(x)h(1)0,所以x1x20,所以xa0,所以f(x)0,所以f(x)在定义域(
6、0,)上单调递增;当a0时,因为xa时,f(x)0,所以f(x)单调递增;当0xa时,f(x)0时,f(x)在区间(0,a)上是减函数,在区间(a,)上是增函数(2)f(x)1ln x1ln x1axln xx对任意x(0,1恒成立等价于axln xxmax,x(0,1,令g(x)xln xx,x(0,1,g(x)ln xx1ln x0,x(0,1,所以g(x)在(0,1上单调递增,所以gmax(x)g(1)1,所以a1,故a的取值范围为1,)6(2020江南十校联考)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)的图象与x轴相切,求证:对于任意互不相等的正实数x1,x2,都有0,f(x)在(0,)上单调递增;当a0,f(x)单调递增;若x,f(x)0,f(x)单调递减综上:当a0时,f(x)在(0,)上单调递增;当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减(2)证明:由(1)知,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增,不满足条件当a0时,f(x)的极大值为fln(a),由已知得ln(a)0,故a1,此时f(x)ln xx1.不妨设0x1x2,则等价于lnx2x1,即证:ln1),故g(x)在(1,)上单调递减,所以g(x)g(1)0x2x1.所以对于任意互不相等的正实数x1,x2,都有成立- 5 -