备战2024年高考数学一轮复习人教a选择性必修第二册第三章一元函数的导数及其应用第1节导数的概念及其意义、导数的运算课时作业.docx

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1、第三章一元函数的导数及其应用(选择性必修第二册)第1节导数的概念及其意义、导数的运算选题明细表 知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,6,7导数的几何意义3,4,5,8,9,11,14函数与导数的综合10,12,13,151.下列函数的求导正确的是(B)A.(x-2)=-2xB.(xcos x)=cos x-xsin xC.(ln 10)=110D.(e2x)=2ex解析:(x-2)=-2x-3,所以A错误;(xcos x)=cos x-xsin x,所以B正确;(ln 10)=0,所以C错误;(e2x)=2e2x,所以D错误.2.(2022湖北武汉联考)已知f(x)=x3-2xf(1),则

2、f(2)等于(B)A.11B.10C.8D.1解析:由题意,函数f(x)=x3-2xf(1),可得f(x)=3x2-2f(1),令x=1,可得f(1)=3-2f(1),解得f(1)=1,所以f(x)=3x2-2,所以f(2)=322-2=10.3.下列直线中,既不是曲线C1:y=ex的切线,也不是曲线C2:y=ln x的切线的是(D)A.y=x+1B.y=x-1C.y=exD.y=e(x-2)解析:对于f(x)=ex,f(x)=ex,则f(0)=1,f(1)=e,故曲线C1在(0,1),(1,e)处的切线分别为y=x+1与y=ex;对于g(x)=ln x,g(x)=1x,则g(1)=1,g(1

3、e)=e,故曲线C2在(1,0)与(1e,-1)处的切线分别为y=x-1与y=ex-2.综上可知只有D满足题意.4.若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线,则这样的切线共有(C)A.0条 B.1条 C.2条 D.3条解析:设切点坐标为(x0,x03),由y=x3,所以y=3x2,所以y|x=x0=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03,因为切线过点P(1,0),所以0=3x02-2x03,解得x0=0或x0=32,所以过点P(1,0)作曲线y=x3 的切线可以作2条.5.已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则a22-b的

4、取值范围是(C)A.(0,+)B.(0,1)C.(0,12) D.1,+)解析:函数y=ln(x+b)的导数为y=1x+b=1,则x=1-b,切点坐标为(1-b,0),代入y=x-a,得a+b=1,因为a,b为正实数,即a,b(0,1),所以a22-b=a21+a,令g(a)=a21+a,且a(0,1),则g(a)=a(a+2)(1+a)20,即g(a)为增函数,所以a22-b(0,12).6.(2022河南郑州一模)已知函数f(x)=x+aex,若f(0)=2,则f(0)= .解析:由已知f(x)=ex-(x+a)ex(ex)2=-x-a+1ex,则f(0)=-a+1e0=2,解得a=-1,

5、所以f(x)=x-1ex,所以f(0)=-1.答案:-17.(2022湖北武汉一模)已知函数f(x)=ax2+ln x满足limx0f(1)-f(1-2x)3x=2,则曲线y=f(x)在点(12,f(12)处的切线斜率为.解析:易知f(x)=2ax+1x,由limx0f(1)-f(1-2x)3x=2,可得23limx0f(1)-f(1-2x)2x=2,即23f(1)=2,所以f(1)=3,可得3=2a+1,解得a=1,故f(x)=2x+1x,故f(12)=212+2=3.答案:38.若曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线与曲线y=eax相切,则a=.解析:因为y=ln x,所以y=1x,则

6、y|x=e=1e,所以曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线方程为y=1ex.设y=1ex与y=eax相切于点(x0,eax0),因为(eax)=aeax,所以aeax0=1e,eax0=1ex0,则aeax0=eax0x0,a=1x0,可得x0=e2,从而a=e-2.答案:e-29.已知函数f(x)=x3-ax2+(23a+1)x(aR),若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,则a的取值范围为.解析:因为f(x)=x3-ax2+(23a+1)x(aR),所以f(x)=3x2-2ax+23a+1,因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f(x)=3x2-2ax+2

7、3a+1=0有两个不等的实根,则=4a2-12(23a+1)0,即a2-2a-30,解得a3或a-1,所以a的取值范围是(-,-1)(3,+).答案:(-,-1)(3,+)10.(多选题)若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)=f(x).若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,34)上是凸函数的是(ABC)A.f(x)=-x3+3x+4B.f(x)=ln x+2xC.f(x)=sin x+cos xD.f(x)=xex解析:对于A,f(x)=-x3+3x+4,f(x)=-3x2+3,

8、f(x)=-6x,当x(0,34)时,f(x)0,故A为凸函数;对于B,f(x)=ln x+2x,f(x)=1x+2,f(x)=-1x2,当x(0,34)时,f(x)0,故B为凸函数;对于C,f(x)=sin x+cos x,f(x)=cos x-sin x,f(x)=-sin x-cos x=-2sin(x+4),当x(0,34)时,f(x)0,故D不是凸函数.11.若经过点P(2,8)作曲线y=x3的切线,则切线方程为(D)A.12x-y-16=0B.3x-y+2=0C.12x-y+16=0或3x-y-2=0D.12x-y-16=0或3x-y+2=0解析:易知点P在曲线y=x3上,当点P为

9、切点时,y=3x2,切线斜率k=12,切线方程为12x-y-16=0.当点P不是切点时,设切点为A(x0,y0),由定义可求得切线的斜率为k=3x02.因为A在曲线上,所以y0=x03,所以x03-8x0-2=3x02,所以x03-3x02+4=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2(舍去),所以y0=-1,k=3,此时切线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0.故经过点P的曲线的切线有两条,方程为12x-y-16=0或3x-y+2=0.12.已知函数f(x)的定义域为(0,+),对任意x(0,+),都有f(f(x)-log2x)=20,现已知f(a)=f(a

10、)+17,那么(D)A.a(1,1.5)B.a(1.5,2)C.a(2,2.5)D.a(2.5,3)解析:不妨设f(x)-log2x=m,则f(m)=20,所以m+log2m=20m=16,得f(x)=16+log2x,f(x)=1xln2,因为f(a)=f(a)+17,所以log2a-1aln2-1=0,令g(a)=log2a-1aln2-1,易得g(a)在(0,+)上单调递增,因为g(3)=log23-13ln2-1=ln278-13ln20,g(2.5)=log22.5-12.5ln2-1=5ln54-25ln2=ln(54) 5-25ln2=ln3 1251 024-25ln2ln4-

11、25ln21对x(1,2)恒成立,即有ax(2x-1)=2x2-x对x(1,2)恒成立.令g(x)=2x2-x,对称轴方程为x=14,所以区间(1,2)为增区间,即有g(x)g(2)=6,则有a6.14.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ex的切线,则b=.解析:设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点坐标为(x1,y1),与曲线y=ex的切点坐标为(x2,y2),y=ln x+2的导数为y=1x,y=ex的导数为y=ex,可得k=ex2=1x1.又由k=y2-y1x2-x1=ex2-ln x1-2x2-x1,消去x2,可得(1+ln x1)(x1-1)=0,则

12、x1=1e或x1=1,当直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(1e,1)时,其与曲线y=ex的切点为(1,e);当直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(1,2)时,其与曲线y=ex的切点为(0,1).所以k=e-11-1e=e或k=1-20-1=1,则切线方程为y=ex或y=x+1,可得b=0或1.答案:0或115.设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(B)A.22 B.322C.(4e-1)22 D.(4e+1)22解析:由题意,曲线y=xe-x上的任意一点P和直线y=x+3上的动点Q两点间的距离的最小值,就是曲线y=xe-x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.由y=xex可得y=1-xex,令y=1,解得x=0.当x=0时,y=0,点P(0,0),因此P,Q两点间的距离的最小值,即为点P(0,0)到直线y=x+3的距离,dmin=32=322.