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1、第二章农业生产函数本讲稿第一页，共五十七页第一节第一节 农业生产函数的一般概念农业生产函数的一般概念一、农业生产函数的概念及分类一、农业生产函数的概念及分类二、农业生产函数的三个阶段二、农业生产函数的三个阶段 本讲稿第二页，共五十七页一、农业生产函数的概念及分类一、农业生产函数的概念及分类农业生产函数是指把产品的产量随着投入物数量农业生产函数是指把产品的产量随着投入物数量的变化而变化的关系用数学函数的形式表达出来，的变化而变化的关系用数学函数的形式表达出来，即产品产出的数量为投入物数量的函数。即产品产出的数量为投入物数量的函数。（一）农业生产函数的基本性质（一）农业生产函数的基本性质 1客客观

2、性性 2 时空性空性 3 纯质性性（二）农业生产函数的表达方式（二）农业生产函数的表达方式 1列表法列表法 2 图示法示法 本讲稿第三页，共五十七页 图图 21 农业生产函数农业生产函数 本讲稿第四页，共五十七页 3数学式表达法数学式表达法 它是根据投入它是根据投入X与产出与产出Y的一一对应关系，的一一对应关系，采用回归方法建立起一个方程式，即类似经采用回归方法建立起一个方程式，即类似经验公式的表达方法。验公式的表达方法。农业生产函数最一般的数学表达式为：农业生产函数最一般的数学表达式为：Q=F（X1，X2，Xn）式中：式中：Q代表某种农产品；代表某种农产品；X1，X2，Xn代代表表n种用于生

3、产产品种用于生产产品Q的可变投入，它们可以是的可变投入，它们可以是生产资源，可以是经济资源，也可以是技术；生产资源，可以是经济资源，也可以是技术；F表示资源投入与产品产出间的函数关系。表示资源投入与产品产出间的函数关系。本讲稿第五页，共五十七页生产函数方程式的经济含义是：在既生产函数方程式的经济含义是：在既定技术水平条件下，在某一时间内为定技术水平条件下，在某一时间内为生产出生产出Q数量的产品，需要相应投入数量的产品，需要相应投入的的X1，X2，Xn等生产要素的数等生产要素的数量及其组合比例。量及其组合比例。本讲稿第六页，共五十七页（三）农业生产函数的分类（三）农业生产函数的分类 比例函数：比

4、例函数：是不改变各种生产要素的配合比例，是不改变各种生产要素的配合比例，使各种生产要素的投入量按某一比例增加，产使各种生产要素的投入量按某一比例增加，产量也相应地按该比例增加。量也相应地按该比例增加。递增函数：递增函数：是各种生产要素的投入量都按某一是各种生产要素的投入量都按某一比例增加，会使产量增加的比例大于要素投比例增加，会使产量增加的比例大于要素投入量增加的比例，那么，收益就会随生产规入量增加的比例，那么，收益就会随生产规模的扩大而递增。模的扩大而递增。递减函数：递减函数：是各种生产要素的投入量都按某一比是各种生产要素的投入量都按某一比例增加，会使产量增加的比例小于要素投入量增例增加，会

5、使产量增加的比例小于要素投入量增加的比例，那么，收益就会随生产规模的扩大而加的比例，那么，收益就会随生产规模的扩大而递减。递减。本讲稿第七页，共五十七页二、农业生产函数的三个阶段二、农业生产函数的三个阶段（一）农业生产量的三种形式（一）农业生产量的三种形式 1 1总产量（总产量（TPTP）它是指一种可变资源的投入同其他生它是指一种可变资源的投入同其他生产要素投入的特定数量相结合所产生产要素投入的特定数量相结合所产生的产品数量总和。常用的产品数量总和。常用TPTP或或Y Y表示。表示。2 2平均产量（平均产量（APAP）它是指每一单位可变资源平均提它是指每一单位可变资源平均提供的产品量。供的产品

6、量。本讲稿第八页，共五十七页 3 3边际产量（边际产量（MPMP）它是指在其他生产要素的投入量既定它是指在其他生产要素的投入量既定不变的条件下，每增加不变的条件下，每增加1单位某种可单位某种可变资源的投入量所引起的总产量的增变资源的投入量所引起的总产量的增加量。加量。本讲稿第九页，共五十七页 图图22 总产量、边际产量总产量、边际产量 和平均产量曲线图和平均产量曲线图 本讲稿第十页，共五十七页三条产量曲线的关系（如图三条产量曲线的关系（如图22所所示）是：当总产量曲线达到最高点示）是：当总产量曲线达到最高点A时，边际产量为时，边际产量为0；平均产量达到最；平均产量达到最高点高点B时，边际产量曲

7、线与平均产量时，边际产量曲线与平均产量曲线相交；边际产量曲线达到最高点曲线相交；边际产量曲线达到最高点C时，总产量曲线从以递增比率转为时，总产量曲线从以递增比率转为以递减比率增长。以递减比率增长。本讲稿第十一页，共五十七页（二）生产弹性（二）生产弹性 它是用于反映产量增长对于投入资源的敏感它是用于反映产量增长对于投入资源的敏感程度，即反映产量增加幅度与资源增加幅度程度，即反映产量增加幅度与资源增加幅度的比例关系。的比例关系。当资源用量增加当资源用量增加1，而产量增加幅度大于，而产量增加幅度大于1时，生产弹性大于时，生产弹性大于1。因此，当生产弹性。因此，当生产弹性大于大于1时，只要资源条件允许

8、，就应该增加资时，只要资源条件允许，就应该增加资源用量以增加收益。当资源用量增加源用量以增加收益。当资源用量增加1，而产，而产量增加幅度小于量增加幅度小于1时，生产弹性小于时，生产弹性小于1，这时，这时资源投入量就要适可而止。资源投入量就要适可而止。本讲稿第十二页，共五十七页（三）农业生产函数三阶段（三）农业生产函数三阶段 从原点起到平均产量最高点止，即生从原点起到平均产量最高点止，即生产弹性等于产弹性等于1时为第一阶段；第一阶段时为第一阶段；第一阶段为相对不合理阶段。为相对不合理阶段。以平均产量最高点到总产量最高点之以平均产量最高点到总产量最高点之间，即生产弹性大于间，即生产弹性大于0小于小

9、于1时为第二时为第二阶段；第二阶段为合理阶段。阶段；第二阶段为合理阶段。总产量曲线最高点之后，即生产弹性总产量曲线最高点之后，即生产弹性等于等于0时为第三阶段。第三阶段为不合时为第三阶段。第三阶段为不合理阶段。理阶段。本讲稿第十三页，共五十七页第二节第二节 农业生产函数模型的建立农业生产函数模型的建立 一、农业生产函数建模程序一、农业生产函数建模程序 农业生产函数的回归建模程序，主要分如下步农业生产函数的回归建模程序，主要分如下步骤：骤：第一步：首先确定是否需要用生产函数。第一步：首先确定是否需要用生产函数。第二步：搜集资料。即由问题性质的需要来选第二步：搜集资料。即由问题性质的需要来选取样本

10、数据（实验资料或调查资料）。取样本数据（实验资料或调查资料）。第三步：将取得的样本数据作散点图，并观察第三步：将取得的样本数据作散点图，并观察散点分布规律，初步确定回归模型，如一元回散点分布规律，初步确定回归模型，如一元回归模型等。归模型等。本讲稿第十四页，共五十七页第四步：建立问题的回归经验方程，确定模型第四步：建立问题的回归经验方程，确定模型中的待定系数，求解。中的待定系数，求解。第五步：相关分析，检验回归方程的回归效第五步：相关分析，检验回归方程的回归效果。果。第六步：判定或明确生产函数式。如果在相第六步：判定或明确生产函数式。如果在相关分析中，相关系数达不到既定的要求（精关分析中，相关

11、系数达不到既定的要求（精度），则需检查原因，或考察样本，或重新度），则需检查原因，或考察样本，或重新判定回归类型，直至相关性检验达到显著要判定回归类型，直至相关性检验达到显著要求，方可完成函数形式的最后判定。求，方可完成函数形式的最后判定。第七步：应用。第七步：应用。本讲稿第十五页，共五十七页二、一元线性回归函数模型的建立二、一元线性回归函数模型的建立（一）建立回归方程（一）建立回归方程 一元线性回归是用来将一种生产一元线性回归是用来将一种生产要素投入量与一种产品产出量的线性要素投入量与一种产品产出量的线性相关关系转化为直线确定型的函数模相关关系转化为直线确定型的函数模型。型。因为两个变量间是

12、直线关系，故因为两个变量间是直线关系，故用一元一次方程表示：用一元一次方程表示：Y=abX 本讲稿第十六页，共五十七页 由最小二乘法原理，当由最小二乘法原理，当X=XX=X i i（i=i=1 1，2 2，3 3，n n）时，样本离差或称）时，样本离差或称误差误差Q Q i i（即实际产量（即实际产量Y Y i i理论产量理论产量 i i）的平方和）的平方和 最小时，则最小时，则a a、b b所确定的直线才最接所确定的直线才最接近已知的数据散点。近已知的数据散点。本讲稿第十七页，共五十七页 再由数学分析中求极值原理可知，当再由数学分析中求极值原理可知，当一阶导数等于一阶导数等于0时，有极值。因

13、此，要时，有极值。因此，要使误差平方和使误差平方和Q极小，只有分别对极小，只有分别对a、b求偏导数，并令它们等于求偏导数，并令它们等于0。把上面。把上面的分析列成方程，则有：的分析列成方程，则有：本讲稿第十八页，共五十七页当：当：即即 Q达到最小。达到最小。整理上式得：整理上式得：本讲稿第十九页，共五十七页（二）相关分析（二）相关分析 将有关系数代入下列公式，求出将有关系数代入下列公式，求出r系数，判定其相关显著程度。其公系数，判定其相关显著程度。其公式为：式为：本讲稿第二十页，共五十七页表表21 棉花施肥量与亩产量的产量资料棉花施肥量与亩产量的产量资料 本讲稿第二十一页，共五十七页 表表22

14、 参数计算表参数计算表 本讲稿第二十二页，共五十七页把表把表22中的中的计算算结果代入公式，即果代入公式，即可求出：可求出：a120 99 b0 829因此，棉花生因此，棉花生产过程中，施肥量与程中，施肥量与亩产量的函数式量的函数式为：Y=120 990 829X r=0 937 本讲稿第二十三页，共五十七页三、多元线性回归模型的建立三、多元线性回归模型的建立 现以二元回归分析为例，说明建立多现以二元回归分析为例，说明建立多元线性回归方程的基本过程。元线性回归方程的基本过程。设投入因素有设投入因素有X1和和X2两个，共有两个，共有n组组数据，根据数据分布可拟合为一直线。数据，根据数据分布可拟合

15、为一直线。即：即：式中：式中：b0是常数项；是常数项；b1、b2分别为分别为Y对对X1、X2的回归系数。的回归系数。本讲稿第二十四页，共五十七页要求确定要求确定b0、b1、b2值，使得总误差值，使得总误差（或误差平方和）达到极小。即：（或误差平方和）达到极小。即：达到极小。达到极小。此时，根据最小二乘法，必须满足：此时，根据最小二乘法，必须满足：本讲稿第二十五页，共五十七页整理上式得；整理上式得；本讲稿第二十六页，共五十七页 多多元元线线性性回回归归相相关关系系数数的的计计算算公公式为：式为：本讲稿第二十七页，共五十七页 四、非线性回归模型的建立四、非线性回归模型的建立（一）抛物线回归模型的建

16、立（一）抛物线回归模型的建立 根据给出的资料，作散点图，观察散点分布根据给出的资料，作散点图，观察散点分布呈抛物线，故选用抛物线回归模型。呈抛物线，故选用抛物线回归模型。YabXcX2 为了计算方便，可令为了计算方便，可令X=X2，这样抛物线回，这样抛物线回归模型转化为二元回归模型，归模型转化为二元回归模型，即即Y=abXCX，其求解原理同二元回归模，其求解原理同二元回归模型。型。本讲稿第二十八页，共五十七页 表表23 投入产出资料投入产出资料 本讲稿第二十九页，共五十七页第一步：画出散点图，列出回归模型。第一步：画出散点图，列出回归模型。初步判断为抛物线，可确立抛物线的初步判断为抛物线，可确

17、立抛物线的回归模型。如：回归模型。如：YabXcX2第二步：列出计算表，见表第二步：列出计算表，见表24。本讲稿第三十页，共五十七页 表表24 计算表计算表 本讲稿第三十一页，共五十七页第三步：代入公式求解。第三步：代入公式求解。6a28b210c190 28a210b1756c1113 210a1756b15 474c8599通过行列式求解，得：通过行列式求解，得：a=1304 788，b=0772 744，c=0049 836。因此，得回归方程：因此，得回归方程：=1304 7880772 744X0049 836X2 本讲稿第三十二页，共五十七页第四步：第四步：结果分析。果分析。由曲由曲

18、线回回归方程方程计算的理算的理论值与与实际值Y相当接近，相当接近，说明此方程符合明此方程符合实际。再再对上述方程求一上述方程求一阶导数，并令其等于数，并令其等于0。X=7 75 本讲稿第三十三页，共五十七页（二）对数回归模型的建立（二）对数回归模型的建立 对数回归是反映产量对数回归是反映产量Y和变量和变量X的对的对数成相关关系，其一般模型为：数成相关关系，其一般模型为：Y=ablnX式中：式中：X代表投入量；代表投入量；a、b代表待定代表待定系数。系数。为了计算方便，可令为了计算方便，可令lnX=X/，这样，这样对数回归模型就转化为一元线性回归对数回归模型就转化为一元线性回归模型，即模型，即Y

19、=abX/，其求解原理与，其求解原理与一元线性回归模型完全一样。一元线性回归模型完全一样。本讲稿第三十四页，共五十七页五、生产函数建模中应注意的问题五、生产函数建模中应注意的问题 建立合理的生产函数模型必须正确建立合理的生产函数模型必须正确考虑四个因素，即数据的科学性、变考虑四个因素，即数据的科学性、变量的选择、模型的选择、估计方法以量的选择、模型的选择、估计方法以及模型的检验，最终可归结为变量及及模型的检验，最终可归结为变量及模型两类因素。模型两类因素。本讲稿第三十五页，共五十七页 第三第三节 柯布柯布道格拉斯生道格拉斯生产函数函数一、柯布一、柯布道格拉斯生道格拉斯生产函数模型函数模型 美国

20、美国经济学家道格拉斯（学家道格拉斯（P H Douglas）与数学家柯）与数学家柯布（布（C W Cobb）合作，根据美国）合作，根据美国18991922年的年的历史史资料，研究了料，研究了劳动投入与投入与资本投入和本投入和产出之出之间的相关关系，的相关关系，得出得出这一方程。一方程。Y KLC(1)或或 YKLC （+=1）式中：式中：Y代表代表产出量；出量；K代表常数；代表常数；L代表代表劳动投入量；投入量；C代代表表资本投入量；本投入量；、（、（1 ）代表效益系数。）代表效益系数。上式中，上式中，劳动投放量和投放量和资本投入量的效益系数之和本投入量的效益系数之和为1，称之称之为收益守恒。

21、收益守恒。本讲稿第三十六页，共五十七页 一般模型：一般模型：(YALKet)式中：式中：Y表示表示产出；出；X1表示表示劳动投入量；投入量；X2表示表示资本投入量；本投入量；a、b1、b2为参数。参数。在在农业中，主要的投入要素中，主要的投入要素为土地、土地、劳力和力和资金三金三项，因而，因而农业上的柯布上的柯布道格拉斯函数模型道格拉斯函数模型一般一般为：式中：式中：X1、X2、X3分分别为土地、土地、劳力和力和资金的投入金的投入量。量。通式通式 本讲稿第三十七页，共五十七页二、柯布二、柯布道格拉斯函数模型的道格拉斯函数模型的经济意意义和特点和特点（一）柯布（一）柯布道格拉斯生道格拉斯生产函数

22、的函数的经济意意义通通过柯布柯布道格拉斯函数式，分道格拉斯函数式，分别对X1和和X2求求Y的的编导数。数。则 本讲稿第三十八页，共五十七页从公式可知，从公式可知，b1与与b2分分别表示表示劳动投入与投入与资本本投入的生投入的生产弹性。性。b1是是劳动投入的生投入的生产弹性，它表示一定比率的性，它表示一定比率的劳动投入所引起的一定比率的投入所引起的一定比率的产出出变化，即化，即劳动投入所引起的投入所引起的边际产出除以出除以劳动投入的平均投入的平均产出。出。b2是是资本投入的生本投入的生产弹性，它表示一定比性，它表示一定比率的率的资本投入所引起的一定比率的本投入所引起的一定比率的产出出变化，化，即

23、即资本投入所引起的本投入所引起的边际产出除以出除以资本投入本投入的平均的平均产出。出。a是是转换系数，它表示除生系数，它表示除生产要素要素X1，X2，X3，Xn以外，其他要素以外，其他要素对产出量的影响。出量的影响。本讲稿第三十九页，共五十七页（二）柯布（二）柯布道格拉斯函数模型的特点道格拉斯函数模型的特点第一，可以第一，可以线性化，建模性化，建模计算比算比较容易。容易。对农业生生产上的柯布上的柯布道格拉斯函数两道格拉斯函数两边同取同取对数，数，为：lnY=ln ab1ln X1b2ln X2b3ln X3 令令 Y=ln Y A=lna X1=ln X1 X2=ln X2 X3=ln X3

24、则上式就成了上式就成了 Yab1X1b2 X2b3 X3 本讲稿第四十页，共五十七页 第二，与第二，与变量的量量的量纲无关，无关，计算方便。算方便。第三，所有的投入都必第三，所有的投入都必须大于大于0。第四，第四，弹性性值（即效益系数）的解（即效益系数）的解释明确而明确而且容易。且容易。函数系数等于各函数系数等于各项投入的投入的b值之和，即之和，即B=b1+b2+bn。当函数系数大于当函数系数大于1，产出出值以以递增的速度增加；增的速度增加；当函数系数等于当函数系数等于1，产出出值以固定的速度增加；以固定的速度增加；当函数系数小于当函数系数小于1，产出出值以以递减的速度增加；减的速度增加；本讲

25、稿第四十一页，共五十七页三、柯布三、柯布道格拉斯函数建模和分析道格拉斯函数建模和分析的主要步的主要步骤（一）明确（一）明确农业技技术经济问题的性的性质，确定，确定选用道格拉斯函数模型是否适宜用道格拉斯函数模型是否适宜函数模型函数模型为：（二）搜集整理数据（二）搜集整理数据资料料 根据模型要求，研究者收集了如上八个方面根据模型要求，研究者收集了如上八个方面2000年各年各农业小小组的的资料，并料，并进行了整理。行了整理。（三）建立生（三）建立生产函数模型如下函数模型如下本讲稿第四十二页，共五十七页（四）（四）对计测结果和模型果和模型 进行行检验和和经济分析分析1 R2=0 8728，表示，表示总

26、收入收入变化的化的87 28，可用模型中的可用模型中的7个个变量要素来量要素来说明，模型是合明，模型是合理的。理的。2生生产弹性性值分析分析 模型中，模型中，a1a7，分，分别为要素要素X1X7的生的生产弹性性值。a1为X1（土地）的生（土地）的生产弹性性值，表示在，表示在其他条件保持不其他条件保持不变的情况下，如果的情况下，如果X1增加增加1，则农业总收入就会增加收入就会增加0 5202，意即，意即农场在在当当时条件下，若耕地面条件下，若耕地面积增加增加312亩则种植种植业总收入就会增加收入就会增加2 77万元。其余万元。其余类推。推。本讲稿第四十三页，共五十七页 3 边际生生产力的分析力的

27、分析 对生生产函数模型函数模型 分分别求各自求各自变量的偏量的偏导数，数，则 本讲稿第四十四页，共五十七页求得各种求得各种资源的源的边际生生产力水平如下：力水平如下：本讲稿第四十五页，共五十七页上面的上面的结果表示，在果表示，在农场当当时生生产条件下，当其他条件下，当其他生生产要素不要素不变时：每增加每增加1亩耕地，种植耕地，种植业总收入就增加收入就增加89元；元；每增加每增加1个个劳力，力，总收入就减少收入就减少45 7元；元；每增加每增加1元化肥，元化肥，总收入收入仅增加增加0 444元；元；每增加每增加1元元农药，总收入会增加收入会增加2 509元；元；每增加每增加100元机械作元机械作

28、业费，总收入收入仅增加增加 21 39元；元；每增加每增加100元企元企业管理管理费，总收入减少收入减少83 24元；元；每增加每增加100元共同生元共同生产费，总收入减少收入减少0 10元。元。本讲稿第四十六页，共五十七页 4 综合分析和合分析和评价价结论（1）上述）上述结果表明，果表明，长江江农场土地土地资源源弹性性值和和边际生生产力都力都较高，因而高，因而在当在当时生生产条件下条件下应尽量尽量扩大种植面大种植面积，而，而农场只有耕地只有耕地33 762 5亩，仅占土地面占土地面积56 27，机耕路、沟渠，机耕路、沟渠等竟占等竟占总土地面土地面积的的14 82，占耕，占耕地面地面积的的26

29、 33（见表表41），），本讲稿第四十七页，共五十七页表表41 长江江农场土地占用情况一土地占用情况一览表表 本讲稿第四十八页，共五十七页（2）农场生生产费用中商品肥增加用中商品肥增加较快，快，2000年占年占生生产费用的用的10 3，出，出现了了过量施肥量施肥现象。象。对农场亩化肥量和粮食化肥量和粮食产量量进行回行回归分析得出如分析得出如下下经验公式：公式：Y=1048 74838 63lgX式中：式中：Y为粮食粮食亩产量（千克）；量（千克）；X为施化肥量（千克）施化肥量（千克）R2=0 9617，极，极显著。著。对上述回上述回归公式公式进行行边际分析，得化肥施用分析，得化肥施用最佳量最佳量

30、为135千克。因此千克。因此应控制化肥施用量，不宜控制化肥施用量，不宜超超过135千克，否千克，否则会增会增产不增收。不增收。本讲稿第四十九页，共五十七页（3）农场亩生生产费用中企用中企业管理管理费已已占到占到14 8，不，不论从其生从其生产弹性性值还是是边际生生产力分析来看，企力分析来看，企业管理管理费的增加都只能减少收入，因而的增加都只能减少收入，因而应进一一步步压缩非生非生产性开支，努力性开支，努力节减行政减行政办公、招待公、招待费用之用之类。（4）以上分析均在当）以上分析均在当时生生产技技术水平水平下下进行，行，为长远计，应从根本上考从根本上考虑如何如何进一步革新生一步革新生产经营技技

31、术。本讲稿第五十页，共五十七页 四、增四、增长速度方程速度方程 增增长速度方程是描述投入要素增速度方程是描述投入要素增长速度、速度、产出增出增长速度与科技速度与科技进步速度之步速度之间关系的关系的数学模型，是从柯布数学模型，是从柯布道格拉斯生道格拉斯生产函数函数通通过微分微分计算得到的：算得到的：Y=A（t）tF（K，L）两端求全）两端求全导数，得：数，得：在上式两端除以在上式两端除以Y，并定，并定义：本讲稿第五十一页，共五十七页 则有：有：令：令：或或 =Y=Ykkl l （=1=1）式中：式中：Y Y、k k、l l分分别是是产出量、出量、资本投入量和本投入量和劳动投入量的增投入量的增长率。率。本讲稿第五十二页，共五十七页 科技科技进步率步率()农业产出量的年增出量的年增长率被分解成三个率被分解成三个部分，其中两个部分是部分，其中两个部分是资本和本和劳动投投入的年增入的年增长率各自引起的率各自引起的农业产量增量增长的那部分年增的那部分年增长率。率。第三部分第三部分则是是表示的靠科技表示的靠科技进步步实现的的农业产出量增出量增长的那一部分年增的那一部分年增长率。也就是率。也就是说，年科技年科技进步率步率是是产出年增出年增长率扣除率扣除资本和本和劳动投入的增投入的增长率后的率后的产出增出增长率的余率的余值。本讲稿第五十三页，共五十七页