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1、第二章函数与极限本讲稿第一页，共四十八页第二章函数与极限n元线性方程组与矩阵1函数的概念与性质1n元线性方程组与矩阵1极 限2n元线性方程组与矩阵1函数的连续性3本讲稿第二页，共四十八页第二章函数与极限1.了解初等函数的概念，会建立简单的经济 函数关系；2.掌握函数极限的运算法则，会求函数的极限；3.会求函数的连续区间和间断点。1学习目标本讲稿第三页，共四十八页第二章函数与极限【经济问题2-1】若投资可行，总投资相当于多少万元？一位营销主管，年薪4万元。欲将自己名下一处价值15万元的商住房出售，建一家便利商店，自己经营。并做了一个预期的年度损益表（单位：元）：销售收益 120000 减：售出货

2、物的成本 50000 各种税费与门面租金 30000 净利润 40000 而他的一位经济学朋友从经营便利店的机会成本的角度,建议他用商住房作为抵押向银行申请贷款，可得到的贷款，将这笔贷款进行再次投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品的贷款，如此反复扩大再投资。试问:若投资可行，总投资相当于多少万元？本讲稿第四页，共四十八页第一节函数的概念与性质一、函数的概念一、函数的概念其中变量称为自变量自变量，变量称为，内，任意取一个数和定义定义2121设在某一变化过程中有两个变量如果当变量在实数的某一范围值时，变量按照某种对应法则与之对应，则称是函数函数，的有惟一确定的值因变量因变量。

3、，记作本讲稿第五页，共四十八页第一节函数的概念与性质其中变量、称为自变量自变量，变量称为因变量因变量。、在平面的某一范围、果当变量、和，如在某一变化过程中有三个变量推广：推广：内，对于每个点，变量按照一定的法则总有唯一确定的是变量的二元函数，值和它对应，则称（或记为）记为本讲稿第六页，共四十八页第一节函数的概念与性质解：解：因为，即，。例例1 1求下列函数的定义域。所以函数定义域为解：解：因为根据偶次根式的性质有 ，解得所以此函数定义域为。，本讲稿第七页，共四十八页第一节函数的概念与性质邻域的概念：邻域的概念：的为点点邻域邻域，简称点点的邻域的邻域。为正数，称为邻域的半径。我们称开区间本讲稿第

4、八页，共四十八页第一节函数的概念与性质 在不同的范围内用不同的解析式表示的函数注意，注意，分段函数的定义域为各段自变量取值分段函数：分段函数：成为分段函数分段函数 。如。如:集合的并集。本讲稿第九页，共四十八页第一节函数的概念与性质 解解 （1）函数的定义域为,（2）例例2 2 设分段函数求此函数的定义域并作出草图；求的值。yx2211-1-1-2-2本讲稿第十页，共四十八页（二）（二）函数的单调性函数的单调性第一节函数的概念与性质二、函数的性质二、函数的性质（一）（一）函数的奇偶性函数的奇偶性（三）（三）函数的周期性函数的周期性（四）（四）函数的有界性函数的有界性在集合存在一个正数，对于所有

5、的，恒有，则称函数在 上是有界有界的。定义定义2525设函数上有定义，如果本讲稿第十一页，共四十八页第一节函数的概念与性质轴的直线有界函数的图像必介于两条平行于和之间（如图所示）。本讲稿第十二页，共四十八页第一节函数的概念与性质（一）（一）基本初等函数基本初等函数（二）复合函数（二）复合函数数，称为的复合函数复合函数，其中叫中间变量中间变量。三、初等函数三、初等函数是通过变量与之对应，则的函数，又是函数，如果对于自变量的取值，通过有惟一的构成定义定义2626设的的函记作本讲稿第十三页，共四十八页第一节函数的概念与性质和复合而成的。是由解解 函数例例3 3 指出复合函数是由哪些简单函数复合而成的

6、。本讲稿第十四页，共四十八页 由基本初等函数经有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数初等函数。不是初等函数 分析:不满足有限次运算 也不是初等函数 分析:不能用一个解析式子表示第一节函数的概念与性质（三）（三）初等函数初等函数本讲稿第十五页，共四十八页第一节函数的概念与性质四、经济函数模型四、经济函数模型需求函数的几种类型：1.线性需求函数2.二次需求函数3.指数需求函数需求函数：需求函数：（一）需求函数与供给函数模型（一）需求函数与供给函数模型本讲稿第十六页，共四十八页第一节函数的概念与性质供给函数：供给函数：线性供给函数 当市场的需求量与供给量持平时，称为

7、供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格供需平衡价格或均衡价格均衡价格，记为；需求量称为均衡量，记为。本讲稿第十七页，共四十八页例例4市场调查显示，某商品当售价为每件70元时，市场需求量为 1 万件，若该商品每件降低 3 元时，需求量将增加 0.3 万件，试求该商品的需求函数。解设调整后的价格为 ，则由题意知 第一节函数的概念与性质本讲稿第十八页，共四十八页（二）（二）成本函数、收入函数和利润函数模型成本函数、收入函数和利润函数模型总成本函数 ，第一节函数的概念与性质总收入函数 总利润函数 平均成本平均成本其中称为平均可变成本。本讲稿第十九页，共四十八页例例5 5 已知某垄断者的成本函数为 ，产品

8、得到需求函数为 ，求:（1）当生产100个该产品时的总成本和平均成本;（2）求收益函数与利润函数。解（解（1 1）由题意，产量为100个时的总成本为 产量为100个时的平均成本为 （2）由题意，收益函数为 利润函数为第一节函数的概念与性质本讲稿第二十页，共四十八页一、极限概念（一）数列极限定义28对于数列 ，如果当 无限增大时，无限趋近于一个确定的常数 ，则称常数 为数列第二节极 限的极限，记作；如:本讲稿第二十一页，共四十八页第二节极 限 设S 代表投资与再投资的总和，代表每次的投资解:【经济问题2-1】，（1，2，3，）或再投资（贷款）。于是因此若投资可行，总投资相当于 50 万元。设（万

9、元）本讲稿第二十二页，共四十八页第二节极 限（二）函数极限（二）函数极限同理可定义：的充要条件是定义定义2929如果当自变量 取正值并无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数为函数 当当时的极限时的极限。记作本讲稿第二十三页，共四十八页第二节极 限当时，无限趋近于0;时，也无限趋向于0.当当时，无限趋近于0；本讲稿第二十四页，共四十八页第二节极 限例：1 为函数函数 当当 时的极限，时的极限，数 ，则称常数（但 )时，函数(点可以除外），如果当自变量在点的某邻域内有定义无限趋近于无限趋近于一个确定的常定义定义212212设函数记作：本讲稿第二十五页，共四十八页第二节极 限本讲稿

10、第二十六页，共四十八页第二节极 限为函数为函数 在在 处的左极限处的左极限，则称常数时，函数 无限趋近于一个确定的常数定义定义213213设函数在点左侧的某邻域内点可以除外），如果当 从 左侧无限趋近于有定义（记作:本讲稿第二十七页，共四十八页第二节极 限为函数为函数 在在 处的右极限处的右极限，则称常数时，函数 无限趋近于一个确定的常数定义定义214214设函数在点右侧的某邻域内点可以除外），如果当 从 右侧无限趋近于有定义（记作:本讲稿第二十八页，共四十八页第二节极 限解解 这是一个分段函数，且 是其分段点。定理定理2222的充要条件是例例6 6 设，试判断是否存在。的左极限和右极限都存在

11、但不相等，所以因为不存在。本讲稿第二十九页，共四十八页二、无穷小量与无穷大量二、无穷小量与无穷大量（一）无穷小量的定义（一）无穷小量的定义 某一变化过程中，以零为极限的变量称为在此变化过程中的无穷小量无穷小量，简称无穷小无穷小。第二节极 限如:本讲稿第三十页，共四十八页第二节极 限（二）无穷小量的性质：性质1有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。性质2有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量。性质3 常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。本讲稿第三十一页，共四十八页第二节极 限例例7 7求解解 因为 ，由性质2 知。本讲稿第三十二页，共四十八页例如，变量 ，当 时是无穷大量；当 时就不是无穷大量。（三

12、）无穷大量（三）无穷大量定义定义216216在某一变化过程中，绝对值无限增大的变量称为在此变化过程中的无穷大量无穷大量，简称无穷大无穷大。记作第二节极 限本讲稿第三十三页，共四十八页3 3无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较定义定义217217设 ，是同一变化过程中的两个无穷小量，且 （为常数）（1）如果 ，则称 是比 高阶的无穷小；（2）如果 ，则称 是 同阶的无穷小，特别地，如果 ，则称 是 等价的无穷小。第二节极 限本讲稿第三十四页，共四十八页三、极限的四则运算三、极限的四则运算定理定理2525设当自变量 在同一变化过程中，及 都存在，则第二节极 限 （其中）。；本讲稿第三十五页，共四十八页

13、第二节极 限例例8 8 求 .解解 例例9 9求 .解解本讲稿第三十六页，共四十八页第二节极 限例例10 10 求解解 将分子、分母同除以 ,然后再求极限，得本讲稿第三十七页，共四十八页第二节极 限四、两个重要极限四、两个重要极限（括号代表同一变量）（一）（一）本讲稿第三十八页，共四十八页第二节极 限例例11 11 求解解例例1212求解解本讲稿第三十九页，共四十八页第二节极 限（括号代表同一变量）（二）（二）本讲稿第四十页，共四十八页第二节极 限解解例例1414求解解例例1313求本讲稿第四十一页，共四十八页第二节极 限例例1515（连续复利公式）（连续复利公式）设本金为 ，年复利率为 ，若

14、把一年均分为t t 期计息，已知 年的本利和 。求计息期无限缩短（即期数 ）时年的本利和 。解解本讲稿第四十二页，共四十八页一、连续的概念定义定义218218设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果则称函数 在点 处连续，称为函数 的连续点。否则称函数 在点 处间断，称为函数 的间断点。例如:函数 ，分别在 ，处连续。第三节函数的连续性本讲稿第四十三页，共四十八页二、间断点与连续区间的求法 根据函数在某点连续的定义可知，若函数 在点 处有下列三种情况之一，则点 是函数 的一个间断点。第三节函数的连续性 虽然 有定义，存在，但 。不存在；没有定义；本讲稿第四十四页，共四十八页第三节函数的连续性 在

15、 处，例例1616判断函数在指定点处的连续性。解解虽然在 处 有定义，且 ，但在 处有 ，即 在 的左、右极限不相等，故 在 处极限不存在。所以 是 的一个间断点。本讲稿第四十五页，共四十八页三、闭区间上连续函数的性质定理定理2929闭区间上连续函数一定有最大值和最小值.定理定理210210 如果函数 在闭区间 上连续，且 与 异号，则至少存在一点 ，使得第三节函数的连续性本讲稿第四十六页，共四十八页例例1717证明方程 在 之间有实根。证明令 ，因为 在 内连续，所以 在 也连续，而第三节函数的连续性即方程 在 与 之间至少有一个实根。根据定理210知，至少有一个 ，使得 ，本讲稿第四十七页，共四十八页第三节函数的连续性机会成本 知识应用链接知识应用链接 机会成本机会成本是指由于使用某些资源所放弃的该资源其他用途的最高代价。本章【经济问题2-1】中营销主管因自己经营便利店,放弃的薪水4万元和相当于50万元的总投资就是机会成本机会成本（确切地是隐成本隐成本），即该营销主管经营便利店的机会成本是 54万元.市场经济中，企业是以获得最大利润为经营目标，因此作为企业的管理者在做出任何一项经营决策时都要使收益大于或等于机会成本机会成本，否则这项决策从经济学的角度看是不够合理的。经济学中的利润称为经济利润经济利润.本讲稿第四十八页，共四十八页