高中数学第二章函数第4节二次函数性质的再研究第2课时基础知识素材北师大版必修1.doc

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1、42 二次函数的性质1理解二次函数的性质2会判断二次函数的单调性3掌握二次函数最值的求法二次函数f(x)ax2bxc(a0)的性质(1)定义域：R.(2)图像：当a0时，图像开口向_，顶点坐标为，对称轴为_；当a0时，图像开口向_，顶点坐标为，对称轴为x_.(3)值域：当a0时，值域为_；当a0时，值域为_(4)单调性：当a0时，减区间是_，增区间是；当a0时，减区间是_，增区间是.(5)最值：当a0时，有最小值_，没有最大值；当a0时，有最大值_，没有最小值(6)f(0)_.【做一做11】 抛物线yx22x2的顶点坐标是( )A(2，2) B(1，2)C(1，3) D(1，3)【做一做12】

2、 函数yx2x1的值域是( )AR B1，)C. D.【做一做13】 求函数y5x24x1的图像与x轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的答案：(2)上x下(3) (4)(5) (6)c【做一做11】 Dyx22x2(x1)23，故顶点坐标为(1，3)故选D.【做一做12】 Cyx2x1，故值域为.【做一做13】 解：令y0，即5x24x10，解得x1，x21.故函数图像与x轴的交点坐标为，(1,0)因为y5x24x1，所以，函数图像的对称轴是直线x，函数在区间上是减少的，在区间上是增加的如何求二次函数在闭区间上的最值？剖析：对于二次函数f(x)a(xh)2k

3、(a0)在区间m，n上的最值可作如下讨论对称轴xh与m，n的位置关系最大值最小值hmf(n)f(m)hnf(m)f(n)mhnmhf(n)f(h)hf(m)或f(n)f(h)hnf(m)f(h)题型一 二次函数的单调性【例1】 函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增加的，求f(1)的取值范围分析：f(1)9m，求f(1)的取值范围就是求一次函数y9m的值域，利用已知条件先求其定义域反思：利用二次函数的单调区间与对称轴的关系，求m的范围是解此题的关键不要认为f(x)的增区间是2，)，实际上它只是增区间的子区间题型二 二次函数图像的对称性【例2】 已知函数f(x)x23x.(1)求这个函数图像

4、的顶点坐标和对称轴；(2)已知f，不计算函数值，求f；(3)不直接计算函数值，试比较f 与f 的大小分析：解答本题可先将f(x)配方，进而确定顶点坐标及对称轴，然后根据f(x)图像的对称性求f 的值及比较f 与f 的大小反思：(1)已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：ya(xh)2k，进而确定顶点坐标为(h，k)，对称轴为xh.(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小题型三 二次函数的最值问题【例3】 求函数

5、f(x)x22x，x2,3的最大值和最小值，并写出单调区间分析：画出图像来分析反思：讨论二次函数的性质时，常借助于图像来解决，特别是最值问题，利用图像可以简洁地求出，否则易出现错误本题中易错认为最小值是f(3)，其原因是没有结合图像分析【例4】 求函数f(x)x22ax1在闭区间0,2上的最大值和最小值分析：因为f(x)(xa)2a21，其图像的对称轴为直线xa，由对称轴相对于区间0,2的可能位置分别求其最值反思：求二次函数f(x)ax2bxc(a0)的最值，要根据其图像的对称轴相对于所给区间的位置来确定一般地，当a0，即抛物线开口向上时，在距对称轴较远的区间的端点处取得最大值；在抛物线的顶点

6、处(当对称轴在所属区间内)或在距对称轴较近(当对称轴在所给区间外侧时)的区间的端点处取得最小值当a0，即抛物线开口向下时，可相应地得出结论【例5】 设函数f(x)x22x2，xt，t1的最小值为g(t)，求g(t)的解析式分析：本题按抛物线对称轴x1在区间t，t1之内和之外分类讨论反思：二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程xm，可分为三个类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点变动，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数题型四 二次函数的实际应用【例6】 渔场中

7、鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；(2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件反思：二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题答案：【例1】 解：二次函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增加的，且对称轴是x，2，即m16.f(1)4m5m925，f(1)25.【例2】 解：(

8、1)f(x)x23x(x3)2，函数的顶点坐标为，对称轴为x3.(2)f，又，结合二次函数图像的对称性，有ff.(3)由f(x)(x3)2可知，f(x)在(，3上是减少的，又3，ff.【例3】 解：画出函数f(x)x22x，x2,3的图像，如图所示观察图像，得函数f(x)x22x在区间2,1上是减少的，则此时最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；函数f(x)x22x在区间1,3上是增加的，则此时最大值是f(3)3，最小值是f(1)1.则函数f(x)x22x，x2,3的最大值是8，最小值是1.增区间是1,3，减区间是2,1【例4】 解：f(x)x22ax1(xa)2a21，f(x)的图像是开口

9、向上，对称轴为直线xa的抛物线，如图所示当a0时(如图(1)，f(x)的最大值为f(2)34a，f(x)的最小值为f(0)1；当0a1时(如图(2)，f(x)的最大值为f(2)34a，f(x)的最小值为f(a)a21；当1a2时(如图(3)，f(x)的最大值为f(0)1，f(x)的最小值为f(a)a21；当a2时(如图(4)，f(x)的最大值为f(0)1，f(x)的最小值为f(2)34a.【例5】 解：f(x)x22x2(x1)21，当t11，即t0时，函数在t，t1上是减少的，g(t)f(t1)t21；当t11且t1，即0t1时，g(t)f(1)1；当t1时，函数在t，t1上是增加的，g(t

10、)f(t)t22t2.g(t)【例6】 解：(1)由题意，知空闲率为，ykx(0xm)(2)yx2kx2，0且0xm，当x时，ymax.(3)当x时，ymax，又实际养殖量不能达到最大养殖量，此时，需要m，解得k2.又k0，0k2.1 函数yx24的最大值和最小值情况是( )A有最小值0，无最大值 B有最大值4，无最小值C有最小值4，无最大值 D有最大值4，有最小值02 函数y2x2x在下列哪个区间上是增加的( )AR B2，)C. D.3 函数f(x)ax22(a3)x1在区间(2，)上是减少的，则a的取值范围是( )A3,0 B(，3C3,0) D2,04 抛物线y8x2(m1)xm7的顶

11、点在x轴上，则m_.5 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？答案：1C2.D函数y2x2x的图像的对称轴是直线，图像的开口向下，所以函数在对称轴的左边是增加的3A(1)当a0时，显然正确(2)当a0时，f(x)ax22(a3)x1在(2，)上是减少的，应满足解得3a0.由(1)(2)可知，a的取值范围是3,049或25抛物线的顶点在x轴上，0，即b24ac0.(m1)248(m7)0.解得m9或m25.5分析：设售价及利润，建立利润与售价的函数关系式解：设售价为x元时，利润为y元，单个涨价为(x50)元，销量减少10(x50)个，50x100.y(x40)50010(x50)10(x70)29 000.当x70时，ymax9 000，即售价为70元时，利润最大为9 000元6