高中数学第二章函数第2节对函数的进一步认识第1课时基础知识素材北师大版必修1.doc

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1、2.1 函数概念1了解生活中的变量关系2理解函数的概念3会求出简单函数的定义域、值域1生活中的变量关系(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有_的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系因此说

2、依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系【做一做11】 张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )Ax，y之间有依赖关系 Bx，y之间有函数关系Cy是x的函数 Dx是y的函数【做一做12】 某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？2函数的概念给定两个非空_A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中_数x，在集合B中都存在_确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关

3、系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB，或y_，xA.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合_叫作函数的值域习惯上我们称y是x的函数(1)符号yf(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是一样的；当m是常数时，f(m)表示自变量xm时对应的函数值，是一个常量(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，此时的定义域又称为此函数的“自然定义域”；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意

4、义，此时的定义域又称为此函数的“临时定义域”【做一做2】 下列式子中不能表示函数yf(x)的是( )Axy21 By2x21Cx2y6 Dx3区间与无穷的概念(1)区间设a，b是两个实数，而且ab，规定如下表：定义名称符号几何表示x|axb闭区间_x|axb开区间_x|axb左闭右开区间_x|axb左开右闭区间_这里实数a，b都叫作相应区间的_ 并不是所有的数集都能用区间表示例如：数集M1,2,3,4就不能用区间表示由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言(2)无穷的概念及无穷区间定义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)_无穷大“”是一个符号，不是一个具体的数因此不能将1

5、，)写成1，【做一做3】 将下列集合用区间表示出来，并在数轴上表示区间(1)x|x1；(2)x|x1或x2；(3)x|2x8且x5答案：1(1)唯一确定【做一做11】 A【做一做12】 解：t小时走的路程是svt.由于时间t每取一个值，路程s有唯一确定的值与之对应，所以路程是时间的函数2数集任何一个唯一f(x)f(x)|xA【做一做2】 AA选项中，给定一个x(比如x5)，有两个y(y2)与它对应，所以y不是x的函数同理可验证其他选项中y都是x的函数3(1)a，b(a，b)a，b)(a，b端点(2)a，)(a，)(，a(，a)【做一做3】 解：(1)1，)；(2)(，1)2，)；(3)2,5)

6、(5,8数轴表示分别如图(1)(2)(3)如何理解函数符号f(x)的意义？剖析：(1)符号“yf(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”例如yf(x)x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)a2，f(m1)(m1)2，f(x1)(x1)2.(2)符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相

7、应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数 yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，它也未必就是一个解析式，yf(a)表示自变量xa时的函数值，它是一个常数；yf(x)是函数，通常是一个依赖于x变化而变化的变量函数还可以用其他一些符号

8、来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数题型一 函数的概念【例1】 判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)与g(x)(2)f(x)与g(x)；(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1；(4)f(x)1与g(x)x0(x0)分析：判断函数的定义域和对应关系是否一致反思：判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数表示同一函数；(2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数；(3)对应关系不同，则两个函数不表示同一函数；(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数

9、，也不一定是同一函数，例如yx和y2x1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；(5)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关题型二 求函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域：(1)y2；(2)y.分析：求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组反思：1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合3如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合4如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域

10、的交集)5对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约题型三 求函数值【例3】 已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值分析：解决求值问题，先分清对应法则，再代入求值反思：(1)求函数值问题，首先确定出函数的对应法则f的具体含义，再代入求值(2)求类似f(g(2)的值，要注意f，g作用的对象，按“由内向外”的顺序求值题型四 求函数的值域【例4】 求下列各函数的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6； (2)y1；(3)yx24x6； (4)yx.分析：确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应法则之间的联系，关键是弄

11、清自变量变化时由对应法则确定函数值的变化规律反思：求函数值域的方法：(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x20，|x|0，0等观察出函数的值域；(3)换元法：利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等论函数的值域要先考虑函数的定义域，本例(1)中，如果忽视函数的定义域，那么会错误地得出函数值域为R.避免此类错误的方法是研究函数时要遵循定义域优先的原则题型五 易错辨析易错点 求函数定义域时非等价化简解析式致错【例5】 求函数y的定义域错解：y，由x240，得x2或x2，函数的定义域为x|x2或x2错因分析：错解在

12、求函数的定义域时，对函数的解析式进行了不等价变形，导致定义域范围扩大答案：【例1】 解：(1)f(x)的定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数(2)f(x)的定义域为0，)，而g(x)的定义域为(，10，)，定义域也不相同，所以不是同一函数(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，因此也不是同一函数【例2】 解：(1)令即所以0x.所以函数的定义域为.(2)令即所以x0且x1.

13、所以函数的定义域为x|x0且x1【例3】 解：(1)f(x)，f(2)；又g(x)x22，g(2)2226.(2)f(g(2)f(6).【例4】 解：(1)当x分别取2,3,4,5,6时，yx1分别取3,4,5,6,7，函数的值域为3,4,5,6,7(2)函数的定义域为0，)，当x0时，0，y1，即函数y1的值域为1，)(3)函数的定义域为R.yx24x6(x2)222，该函数的值域为2，)(4)换元法：设t，则x且t0.问题转化为求yt(t0)的值域yt(t1)2(t0)，(t1)21，y的取值范围为.故该函数的值域为.【例5】 正解：由得即x2，函数的定义域为x|x21 下列四个图形中，不

14、是以x为自变量的函数的图像是( )2 已知函数f(x)，则f(2)等于( )A3 B2 C1 D03 函数y的定义域为( )Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x14 函数y，x1,5)的值域是_5 判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由(1)yx1，xR与yx1，xN；(2)y与y；(3)y与u.答案：1C2.A3D要使函数有意义须解得0x1.4. (1,5画出函数的图像，如图所示，观察图像得图像上所有点的纵坐标的取值范围是(f(5)，f(1)，则函数的值域是(1,55解：(1)不相等前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等(2)不相等前者的定义域是R，后者的定义域是x|x0，它们的定义域不同，故不相等(3)相等定义域相同均为非零实数，对应关系相同，都是自变量取倒数后加1，故相等6