高中数学4.1坐标系4.1.1直角坐标系同步测控苏教版选修4_4.doc

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1、4.1.1 直角坐标系同步侧控我夯基,我达标1.如图，在正方体OABCO1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且EB=2EB1，则点E的坐标为（ ）A.（2，2，1） B.（2，2，）C.（2，2，） D.（2，2，）解析：设E(x,y,z),由EB平面xOy及棱长为2知x=2,y=2.由EB=2EB1知EB=,所以z=,即E（2，2，）.答案：D2.平行四边形ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是（-1，2）、（3，0）、（5，1），则D的坐标是（ ）A.（9，-1） B.（-3，1） C.（1，3） D.（2，2）解析：平行四边形对边互相平行,即斜率相等,可求出D点坐标.设D(x

2、,y),则,即故D(1,3).答案：C3.已知点E的坐标是（2，2，），则E点关于z轴的对称点E的坐标为（ ）A.（-2，-2，1） B.（-2，-2，） C.（-2，-2，） D.（2，2，）解析：求对称点时,关于哪个轴对称，哪个坐标不变，其余相反.答案：C4.点（2，0，3）在空间直角坐标系的位置是（ ）A.y轴上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.第一象限内解析：画出坐标系，找到点（2，0，3）的位置，可知在xOz平面上.答案：C5.点M（2，-3，1）关于坐标原点的对称点是（ ）A.（-2，3，-1） B.（-2，-3，-1）C.（2，-3，-1） D.（-2，3，1）解析：点关于

3、原点对称时，每个轴上坐标都互为相反数.答案：A6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，求B1关于平面xOy对称的点的坐标，B1关于原点O对称的点的坐标.思路分析：可以设出点的坐标，然后根据对称的性质列方程组求解.解：设B1关于平面xOy的对称点为P（x0，y0，z0）,可知B为B1P的中点，又B（1，1，0），B1（1，1，1），得P(1,1,-1).再设B1关于原点O对称的点为M（x1,y1,z1），可知O为B1M的中点，又O（0，0，0），B1（1，1，1），得M(-1,-1,-1).7.有一种大型商品，A、B两地都有销售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，每千米运

4、回的费用：A地是B地的3倍，已知A、B两地相距10千米，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购买地点.思路分析：将问题看作数学中的不等关系，建立适当的坐标系，利用坐标法列式求解.解：如图，以A、B所确定的直线为x轴，AB中点O为坐标原点建立直角坐标系，则A（-5，0）、B（5，0）.设某地P的坐标为（x,y），且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米.所以3aa.因为a0，所以3.两边平方，得9（x+5）2+9y2（x-5）2+y2,即（

5、x+）2+y2（）2，所以以点（，0）为圆心，为半径长的圆是这两地售货区域的分界线.圆内的居民从A地购买便宜；圆外的居民从B地购买便宜；圆上的居民从A、B两地购买的总费用相等，可随意从A、B两地之一购买.我综合,我发展8.在空间直角坐标系中，已知点M（a,b,c），关于下列叙述:点M关于x轴的对称点的坐标是M1（a，-b，c）;点M关于yOz平面的对称点M2的坐标是（a，-b，-c）;点M关于y轴对称的点的坐标是M3（a，-b，c）;点M关于原点对称的点的坐标是M4（-a，-b，c）.其中正确叙述的个数是（ ）A.3 B.2 C.1 D. 0解析：全错.答案：D9.ABC中，若BC的长度为4，

6、中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_.解析：取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则B（-2，0）,C（2，0），D（0，0）.设A（x,y），所以AD=.答案：x2+y2=9(y0)10.在河CM的一侧有一塔CD=5m，河宽BC=3m，另一侧有点A，且AB=4m，求点A与塔顶D的距离AD.思路分析：可以建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间的距离公式求AD长.解：以C点为原点，CB、CD、CM所在的直线分别为x轴、z轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（3，4，0），D（0，0，5）.所以AD=（m），即点A与塔顶D的距离AD等于 m.11.正方形ABCD、

7、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，CM=BN=a（0a）.（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小？ 思路分析：本题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷，又易行的方法.方法的对照比较，也更体现出坐标法解题的优越性.解：（1）因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,ABBE，所以BE平面ABC.所以AB、BC、BE两两垂直.以B为原点，分别以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M（a,0,1-a），N（a,a,0）.则MN=.（2）由（1）知当

8、a=时，MN最短，长度为.此时，M、N恰为AC、BF的中点.12.如图，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线m于点A，又过B、C作O异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，(1)当O的半径改变时，求点P的轨迹方程;(2)经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于23，求直线l的方程.思路分析：（1）先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；（2）根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.解：（1）|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE

9、|=|CA|,|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=186=|BC|,P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是(ab0).a=9,c=3,b2=72.P点的轨迹方程是(y0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),C(3,0)分MN所成的比为23,则整理，得又,.由 又, 由消去y2,得.解之，得x2=-3,y2=8,即N(-3,8).由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.13.如图，某隧道设计为双向四

10、车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=,柱体体积为底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）思路分析：（1）当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；（2）当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到半个椭圆面积的最小值.解：（1）如图建立坐标系,则点P的坐标为(11,4.5),椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=.l=2a=33.3.故隧道

11、的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程及P点坐标,得.因为,即ab99,且l=2a,h=b,所以S=lh=.当S取最小值时,有,得a=,b=.此时,l=2a=31.1,h=b6.4.故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.我创新，我超越14.设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为31，问两人在何处相遇？思路分析：注意到村落为圆形，且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为原点，以开始时A、B的

12、前进方向为x、y轴，建立直角坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件.解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设A出发x0小时，在点P处改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点坐标分别为(3vx0,0),(0,vx0+vy0).由OP2+OQ2=PQ2，知(3vx0)2+(vx0+vy0)2=（3vy0）2，即(x0+y0)(5x0-4y0)=0.x0+y00，5x0=4y0.将代入k PQ=,得kPQ=.又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.设直线y=x+b与圆O：x2+y2=9相切，则有,且b0，b=.答：A、B两人的相遇点在离村中心正北千米处.7