高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理自主练习苏教版选修1_2.doc

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1、2.1.2 演绎推理自主广场我夯基 我达标1.下列推理正确的是（ ）A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖.B.因为正方形的对角线互相平分且相等，所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形.C.因为ab,ac,所以a-ba-c.D.因为ab,cd,所以a-db-c.思路解析:A、B都是归纳推理，结论不一定正确，而C、D都是演绎推理，但C是不正确的.答案:D2.(2006年陕西高考卷，12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）.已知加密规则为：明文a、b、c、d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如明文1，2，3，

2、4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7解:本题是演绎推理，由一般到特殊的推理.由题意可得可求得答案:B3.(2006年福建高考卷，12)对于直角坐标平面内的任意两点A（x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”：AB=x2-x1+y2-y1.给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则AC+CB=AB；在ABC中，若C=90,则AC2+CB2=AB2；在ABC中，AC+CB=AB.其中真命题的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3思路解析:解：如

3、上图（1）|AB|=|AC|+|BC|在中如图（2），|AC|+|CB|=|AM|+|MC|+|CP|+|PB|=|AN|+|BN| 正确.在中如图（1），|AC|2=|AC|2，|AB|2=（ |AC|+|BC|）2，|BC|2=|BC|2，不正确.在中如图（1）|AC|+|CB|在ABC为直角三角形且C为直角时其值等于|AB|.答案:B4.在推理ab,bcac中，前提是_，结论是_.思路解析:解：把命题ab,bcac改成因为ab,bc所以ac.答案:前提是：ab,bc.结论是：ac.5.(2006年上海高考卷，文12)如图2-1-6，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M

4、，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p、q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是_.图2-1-6思路解析:若pq0,则满足题意的点有且仅有4个，这4个点分别在4个角的内部：且两两关于O点对称.答案:4个.6.如图2-1-7所示已知A、B、C、D四点不共面，M，N分别是ABD和BCD的重心.求证：MN平面ACD.图2-1-7证明：连结BM，BN并延长分别交AD，DC于P、Q两点，连结PQ.因为M，N分别是ABD和BCD的重心，所以P、Q分别为AD、DC的中点，又有,所以MNPQ,又MN平面ADC，PQ平面ADC,MN面ACD.7.设a

5、、b、cR+,求证：(a+b+c)证明：a2+b22ab,a、b、cR*,2(a2+b2)(a2+b2)+2ab=(a+b)2,a2+b2 (a+b).同理 (a+c), (b+c),有(2a+2b+2c)=(a+b+c).即：(a+b+c).我综合 我发展8.用三段论法表示，如果用M表示所有平行四边形的集合，用F表示对角线互相平分的属性，那么M的每一个元素x都具有属性F为真.而所有矩形集合N是集合M的非空真子集，为真，即每一个矩形的对角线互相平分.解：用三段论法表示为：每一个平行四边形的对角线互相平分；每一个矩形是平行四边形；每一个矩形的对角线互相平分；或：平行四边形的对角线互相平分（大前提

6、）矩形是平行四边形（小前提）矩形的对角线互相平行（结论）9求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c)()9.证明：首先，我们知道，.(a+b+c)(+)=(a+b)(+)+(a+b)+c(+)+c=+(a+b)(+)+14+(a+b)+1=5+5+4=910.证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.解：当x0时，f(x)各项都为正数,因此，当x0时，f(x)为正数;当0x1时，f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)0;当x1时，f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+10.综上所述，函数f(x)的值恒为正数.11.证明函数f(x)=-x2+2x在（-,1上是增函数.思路分

7、析:证明本例所依据的大前提是：增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1x2,则有f(x1)f(x2).小前提是：f(x)=-x2+2x,x(-,1满足增函数的定义，这是证明本例的关键.证明：任取x1,x2(-,1,且x1x2,f(x1)-f(x2)=(-+2x1)-(-+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)因为x1x2,所以x2-x10,因为x1,x21,x1x2,所以x2+x1-20,因此,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).于是,根据“三段论”，可知f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.12.如图2-1-8，四棱锥P-

8、ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点，（1）求证：EF面PAB；（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小.图2-1-8（1）证明：连结EP.PD底面ABCD，DE在平面ABCD内.PDDE,又CE=ED,PD=AD=BC,RtBCERtPDE,PE=BE又F为PB中点，EFPB.由三垂线定理得PAAB.在RtABP中，PF=AF,又PE=BE=EA,EFPEFA,EFFA.PB、FA为平面ABP内的两条相交直线，EF面PAB.（2）解：设BC=1，则AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AFPB.PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直.PB平面AEF.连结BE交AC于G，作GHBP交EF于H，则GH面AEF,GAH为AC与平面AEF所成的角.由EGCBGA可知，EG=12GB，EG=13EB.AG=AC=.由EGHEBF可知，GH=BF=.sinGAH=,AG与平面AEF所成的角为arcsin.5