21.4　第1课时　利用二次函数模型解决最值问题同步练习,沪科版九年级数学上册.docx

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1、21.4第1课时利用二次函数模型解决最值问题同步练习,沪科版九年级数学上册21.4第1课时利用二次函数模型解决最值问题 一、选择题 1.某汽车出租公司一天的租车总收入y(元)与每辆出租车的日租金x(元)满意函数表达式y=-35(x-120)2+19440(0x200),则该公司一天的租车总收入最多为 () A.120元 B.200元 C.1200元 D.19440元 2.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图1所示的三处各留1 m宽的门,已知安排中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的两间饲养室总面积最大为() 图1 A.75 m2 B.7

2、52 m2 C.48 m2 D.2252 m2 3.某高校生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式为y=-4x+440,要想每月获得最大利润,该商品的销售单价应定为 () A.60元/件 B.70元/件 C.80元/件 D.90元/件 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满意:y1=-x2+10x,y2=2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为 () A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元 二、填

3、空题 5.某商品的利润y(元)与单价x(元/件)之间的函数表达式为y=-5x2+10x,当0.5x2时,该商品的最大利润是. 6.一件工艺品的进价为100元,若以标价135元出售,每天可售出100件.依据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价元. 7.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是cm2. 8.某县在治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地.如图2,自建房占地是边长为20 m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在AB上,点G在AD的延长线上

4、,且DG=2BE.假如设BE的长为x(单位:m),绿地AEFG的面积为y(单位:m2),那么y与x之间满意的函数表达式为,绿地AEFG的最大面积为m2. 图2 三、解答题 9.某校在基地参与社会实践活动中,带队老师给学生出了一道题:基地安排新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长为69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图3所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境: 图3 请依据上面的信息,解决问题: (1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长; (2)请你推断谁的说法正确,并说明理由. 10. 某水果商店

5、销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每上涨1元/千克,则月销售量就削减10千克. (1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克? (2)当月利润为8750元时,水果的售价为多少? (3)当水果的售价为多少时,获得的月利润最大? 11.如图4,有长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃(由两个小矩形花圃组成).设花圃的一边AB为x m,面积为S m2. (1)求S与x之间的函数表达式. (2)假如要围成面积为45 m2的花圃,那么AB的长是多少米? (3)能围

6、成面积比45 m2更大的花圃吗?假如能,恳求出最大面积,并说明围法;假如不能,请说明理由. 图4 12.如图5,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求出S的最大值. 图5 答案 1.D 2.解析 A设垂直于现有墙的一边长为x m,则平行于现有墙的一边长为27+3-3x=(30-3x)m,则饲养室的总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75.由二次函数的性质可知当x=5时,

7、S取最大值,为75,故能建成的两间饲养室的总面积最大为75 m2. 3.C 4.解析 D设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆.依据题意,得总利润W=y1+y2=-x2+10x+2(15-x)=-x2+8x+30=-(x-4)2+46.由二次函数的性质,可知当x=4时,W取最大值,为46,故能获得的最大利润为46万元. 5.答案 5元 解析 y=-5x2+10x=-5(x-1)2+5,所以当x=1时,函数有最大值5,且1在0.5x2的范围内,所以当0.5x2时,该商品的最大利润为5元. 6.5 7.答案 12.5 解析 设这两个正方形的边长分别为x cm和y cm,它们的面积之和为S c

8、m2.依据题意,得4x+4y=20,S=x2+y2,所以y=5-x,S=x2+(5-x)2=2x2-10x+25=2(x2-5x)+25=2(x-52)2+252.所以当x=2.5时,这两个正方形的面积之和最小,最小值是12.5 cm2. 8.y=-2x2+20x+400450 9.解:(1)由AB=x米,可得BC=69+3-2x=(72-2x)米. (2)小英的说法正确. 理由:设矩形生物园地的面积为S平方米, 则S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648. 72-2x>0,x<36.0<x<36. 当x=18时,S取得最大值,此时x72-2x, 面积最大时不是

9、正方形. 10.解:(1)因为售价为55元/千克,所以售价上涨5元/千克, 所以销售量削减510=50(千克), 所以当售价为55元/千克时,每月销售水果500-50=450(千克). (2)设水果的售价为x元/千克.依据题意,得(x-40)500-10(x-50)=8750, 整理,得x2-140x+4875=0, 即(x-65)(x-75)=0, 解得x1=65,x2=75. 答:当月利润为8750元时,水果的售价为65元/千克或75元/千克. (3)设水果的售价为a元/千克,月利润为y元. 依据题意,得y=(a-40)500-10(a-50)=-10a2+1400a-40000=-10(

10、a-70)2+9000, 所以当a=70时,y有最大值. 即当水果的售价为70元/千克时,获得的月利润最大. 11.解:(1)S=x(24-3x)=-3x2+24x(143x<8). (2)当S=45时,有-3x2+24x=45. 解得x1=3,x2=5. 143x<8,x=5, 即AB的长为5 m. (3)能围成面积比45 m2更大的花圃. S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,其函数图象开口向下,对称轴为直线x=4,当x>4时,y随x的增大而减小, 在143x<8的范围内,当x=143时,S取得最大值,S最大值=1403,即最大面积为1403 m2, 此时A

11、B=143 m,BC=10 m. 素养提升 解析 (1)把点A与点B的坐标代入二次函数表达式,即可求出a与b的值; (2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD,CFx轴,垂足分别为E,F,分别表示出OAD,ACD以及BCD的面积,它们之和即为S,得出S关于x的函数表达式,依据x的取值范围,利用二次函数的性质即可得出S的最大值,以及此时x的值. 解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx, 得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3. (2)由(1)知二次函数的表达式为y=-12x2+3x. 如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D,则D(2,0),连接CD,过点C作CEAD,CFx轴,垂足分别为E,F. SOAD=12ODAD=1224=4, SACD=12ADCE=124(x-2)=2x-4, SBCD=12BDCF=124-12x2+3x=-x2+6x, S=SOAD+SACD+SBCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x, S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6). S=-x2+8x=-(x-4)2+16, 当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.