031反函数（含答案）.doc

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1、高一数学学案 序号 031 高一 年级 班 学生 反函数学习目标：理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题学习重难点：反函数的求法，反函数与原函数的关系一、复习回顾函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量和,并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,那么就是的函数， 就叫做自变量， 的取值范围D称为函数的定义域，和的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合A叫做函数的值域，记为： D. 二、新课学习探究 ：研究指数函数及其反函数图象，二者的图象有什么关系？ 反思：（1）如果在函数的图象上，那么P

2、0关于直线的对称点在函数的图象上吗？为什么？解：P0关于直线的对称点在函数的图象上。因为在函数的图象上，所以，P0关于直线的对称点为，则，所以点在函数的图像上。（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 直线 对称.一般地，反函数定义一般地，函数 (D),设它的值域为A,我们根据这个函数中, 的关系，用把表示出，得到 ,如果对于 在 A中的任何一个值，通过 , 在D中都有唯一的值和它对应，那么， 就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数 （A)叫做函数 ( D)的反函数.记作：反函数中，为因变量，为自变量，为和习惯一致，将, 互换得： ( xA).一个函数存在反函数的条件并

3、非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件： 只有在定义域上单调的函数才有反函数原函数与反函数 值域与定义域之间的关系答案：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域三、典型例题例1 求下列函数的反函数：（1） ； （2）.解：（1）的值域为：；由得所以的反函数为（2） 的值域为R。由得所以的反函数为练习：求下列函数的反函数.（1） (xR)； （2）(a0,a1,x0)解：（1）函数的值域为，所以的反函数为（）（2）的值域为R，所以的反函数为，小结：求反函数的步骤（反解x 习惯表示注明定义域）反函数性质的应用例2 点在函数的反函数图象上，求实数a的值.解：的值域为R，因此得反函

4、数为，由题意点在函数的反函数图象上得：，解得（因，所以舍去）综上所述，实数a的值为练习 己知函数的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求的表达式.解：由题意：函数的图象过点（1，3），得；其反函数的图象过点（2，0）则原函数必过，得，解得，因此的表达式为：四、当堂检测1.如图，各图象表示的函数中，存在反函数的只能是( D )2. 函数的反函数是（ D ）. A. B. C. D. 3. 函数的反函数是（ C ）. A. B. C. D. 4. 函数的反函数的图象过点，则a的值为 3 .它的反函数的解析式是 五、课后作业1已知函数是函数的反函数，则（ B ）A B C D2若函数是函

5、数的反函数，则 （ A ）A B C D3已知函数的反函数为，则=（D）A1B2C3D44.函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是（D）A、B、C、D、5.设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ C ）A.0，+） B.（，0 C.0，2） D.（2，06.已知与是互为反函数，则m=_和n=_2_7.已知点在函数的图像上，则 8.已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_-2_9.已知函数的定义域为，（1）若函数具有反函数，求常数的取值范围（2）设是满足（1）的的最大值，当时，求的反函数解：（1）函数，所以对称轴为。因为函数具有反函数，因此，解得；（2） 由题意：是满足（1）的的最大值，因此。设，所以。因此的反函数为